New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  nchoicelem7 GIF version

Theorem nchoicelem7 6295
 Description: Lemma for nchoice 6308. Calculate the cardinality of a special set generator. Theorem 6.7 of [Specker] p. 974. (Contributed by SF, 13-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nchoicelem7 ((M NC (Mc 0c) NC ) → Nc ( SpacM) = ( Nc ( Spac ‘(2cc M)) +c 1c))

Proof of Theorem nchoicelem7
StepHypRef Expression
1 nchoicelem6 6294 . . 3 ((M NC (Mc 0c) NC ) → ( SpacM) = ({M} ∪ ( Spac ‘(2cc M))))
21nceqd 6110 . 2 ((M NC (Mc 0c) NC ) → Nc ( SpacM) = Nc ({M} ∪ ( Spac ‘(2cc M))))
3 incom 3448 . . . . . 6 ({M} ∩ ( Spac ‘(2cc M))) = (( Spac ‘(2cc M)) ∩ {M})
4 nchoicelem5 6293 . . . . . . 7 ((M NC (Mc 0c) NC ) → ¬ M ( Spac ‘(2cc M)))
5 disjsn 3786 . . . . . . 7 ((( Spac ‘(2cc M)) ∩ {M}) = ↔ ¬ M ( Spac ‘(2cc M)))
64, 5sylibr 203 . . . . . 6 ((M NC (Mc 0c) NC ) → (( Spac ‘(2cc M)) ∩ {M}) = )
73, 6syl5eq 2397 . . . . 5 ((M NC (Mc 0c) NC ) → ({M} ∩ ( Spac ‘(2cc M))) = )
8 snex 4111 . . . . . 6 {M} V
9 fvex 5339 . . . . . 6 ( Spac ‘(2cc M)) V
108, 9ncdisjun 6136 . . . . 5 (({M} ∩ ( Spac ‘(2cc M))) = Nc ({M} ∪ ( Spac ‘(2cc M))) = ( Nc {M} +c Nc ( Spac ‘(2cc M))))
117, 10syl 15 . . . 4 ((M NC (Mc 0c) NC ) → Nc ({M} ∪ ( Spac ‘(2cc M))) = ( Nc {M} +c Nc ( Spac ‘(2cc M))))
12 df1c3g 6141 . . . . . 6 (M NC → 1c = Nc {M})
1312addceq1d 4389 . . . . 5 (M NC → (1c +c Nc ( Spac ‘(2cc M))) = ( Nc {M} +c Nc ( Spac ‘(2cc M))))
1413adantr 451 . . . 4 ((M NC (Mc 0c) NC ) → (1c +c Nc ( Spac ‘(2cc M))) = ( Nc {M} +c Nc ( Spac ‘(2cc M))))
1511, 14eqtr4d 2388 . . 3 ((M NC (Mc 0c) NC ) → Nc ({M} ∪ ( Spac ‘(2cc M))) = (1c +c Nc ( Spac ‘(2cc M))))
16 addccom 4406 . . 3 (1c +c Nc ( Spac ‘(2cc M))) = ( Nc ( Spac ‘(2cc M)) +c 1c)
1715, 16syl6eq 2401 . 2 ((M NC (Mc 0c) NC ) → Nc ({M} ∪ ( Spac ‘(2cc M))) = ( Nc ( Spac ‘(2cc M)) +c 1c))
182, 17eqtrd 2385 1 ((M NC (Mc 0c) NC ) → Nc ( SpacM) = ( Nc ( Spac ‘(2cc M)) +c 1c))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 358   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ∪ cun 3207   ∩ cin 3208  ∅c0 3550  {csn 3737  1cc1c 4134  0cc0c 4374   +c cplc 4375   ‘cfv 4781  (class class class)co 5525   NC cncs 6088   Nc cnc 6091  2cc2c 6094   ↑c cce 6096   Spac cspac 6273 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-1st 4723  df-swap 4724  df-sset 4725  df-co 4726  df-ima 4727  df-si 4728  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789  df-fn 4790  df-f 4791  df-f1 4792  df-fo 4793  df-f1o 4794  df-fv 4795  df-2nd 4797  df-ov 5526  df-oprab 5528  df-mpt 5652  df-mpt2 5654  df-txp 5736  df-fix 5740  df-compose 5748  df-ins2 5750  df-ins3 5752  df-image 5754  df-ins4 5756  df-si3 5758  df-funs 5760  df-fns 5762  df-pw1fn 5766  df-fullfun 5768  df-clos1 5873  df-trans 5899  df-sym 5908  df-er 5909  df-ec 5947  df-qs 5951  df-map 6001  df-en 6029  df-ncs 6098  df-lec 6099  df-ltc 6100  df-nc 6101  df-2c 6104  df-ce 6106  df-spac 6274 This theorem is referenced by:  nchoicelem9  6297  nchoicelem12  6300  nchoicelem17  6305
 Copyright terms: Public domain W3C validator