Theorem ballotfilemfc0 13210

Description: F takes value 0 between negative and positive values. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotfilem.o	|- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
ballotfilem.p	|- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotlemfp1.c	|- ( ph -> C e. O )
ballotlemfp1.j	|- ( ph -> J e. NN )
ballotlemfc0.3	|- ( ph -> E. i e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
ballotlemfc0.4	|- ( ph -> 0 < ( ( F ` C ) ` J ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemfc0	|- ( ph -> E. k e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F   k, F   C, i   i, J   ph, i, k   k, J   C, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( x, c)   C( x, c)   P( x, i, k, c)   F( x)   J( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotfilemfc0

Dummy variables j q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( i = k -> ( ( F ` C ) ` i ) = ( ( F ` C ) ` k ) )
2	1	breq1d 4135	. . . . . 6 |- ( i = k -> ( ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) )
3	2	elrab 2982	. . . . 5 |- ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } <-> ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) )
4	3	anbi1i 462	. . . 4 |- ( ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) <-> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) )
5		simprlr 544	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 )
6		simprl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) -> k e. ( 1 ... J ) )
7	6	adantrr 483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> k e. ( 1 ... J ) )
8		fzssuz 10449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... J ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
9		uzssz 9921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
10	8, 9	sstri 3257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... J ) C_ ZZ
11		zssre 9630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ZZ C_ RR
12	10, 11	sstri 3257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... J ) C_ RR
13	12	sseli 3244	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. RR )
14	13	ltp1d 9250	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k < ( k + 1 ) )
15		elfzelz 10407	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. ZZ )
16	15	peano2zd 9750	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
17		zltnle 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> -. ( k + 1 ) <_ k ) )
18	15, 16, 17	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> -. ( k + 1 ) <_ k ) )
19	14, 18	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> -. ( k + 1 ) <_ k )
20	7, 19	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> -. ( k + 1 ) <_ k )
21		simprr 537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k )
22		ballotlemfc0.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < ( ( F ` C ) ` J ) )
23	22	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k = J ) -> 0 < ( ( F ` C ) ` J ) )
24		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k = J ) -> k = J )
25	24	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( ( F ` C ) ` k ) = ( ( F ` C ) ` J ) )
26	25	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` k ) <-> 0 < ( ( F ` C ) ` J ) ) )
27		ballotlemfp1.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> J e. NN )
28		elnnuz 9938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( J e. NN <-> J e. ( ZZ>= ` 1 ) )
29	27, 28	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> J e. ( ZZ>= ` 1 ) )
30		eluzfz2 10415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> J e. ( 1 ... J ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> J e. ( 1 ... J ) )
32		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = J -> ( k e. ( 1 ... J ) <-> J e. ( 1 ... J ) ) )
33	31, 32	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( k = J -> k e. ( 1 ... J ) ) )
34	33	anc2li 329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k = J -> ( ph /\ k e. ( 1 ... J ) ) ) )
35		1eluzge0 9953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
36		fzss1 10447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... J ) C_ ( 0 ... J ) )
37	36	sseld 3247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. ( 0 ... J ) ) )
38	35, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. ( 0 ... J ) )
39		0zd 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> 0 e. ZZ )
40		ballotth.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- M e. NN
41		ballotth.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- N e. NN
42		ballotfilem.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- O = { c e. ( ~P ( 1 ... ( M + N ) ) i^i Fin ) | (♯ ` c ) = M }
43		ballotfilem.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- P = ( x e. ( ~P O i^i Fin ) |-> ( (♯ ` x ) / (♯ ` O ) ) )
44		ballotth.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
45		ballotlemfp1.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> C e. O )
46	45	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> C e. O )
47		elfzelz 10407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( 0 ... J ) -> k e. ZZ )
48	47	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> k e. ZZ )
49	40, 41, 42, 43, 44, 46, 48	ballotfilemfelz 13208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ )
50		zltnle 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` k ) <-> -. ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) )
51	39, 49, 50	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` k ) <-> -. ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) )
52	38, 51	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... J ) ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` k ) <-> -. ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) )
53	34, 52	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( k = J -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` k ) <-> -. ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) )
54	53	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` k ) <-> -. ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) )
55	26, 54	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` J ) <-> -. ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) )
56	23, 55	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k = J ) -> -. ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 )
57	56	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k = J -> -. ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) )
58	57	con2d 633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 -> -. k = J ) )
59		nn1m1nn 9301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( J e. NN -> ( J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) )
60	27, 59	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) )
61		ballotlemfc0.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> E. i e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
62	61	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> E. i e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
63		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( J = 1 -> ( J ... J ) = ( 1 ... J ) )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( J ... J ) = ( 1 ... J ) )
65	27	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> J e. ZZ )
66		fzsn 10450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( J e. ZZ -> ( J ... J ) = { J } )
67	65, 66	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( J ... J ) = { J } )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( J ... J ) = { J } )
69	64, 68	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( 1 ... J ) = { J } )
70	62, 69	rexeqtrdv 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> E. i e. { J } ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
71		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i = J -> ( ( F ` C ) ` i ) = ( ( F ` C ) ` J ) )
72	71	breq1d 4135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i = J -> ( ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 ) )
73	72	rexsng 3746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( J e. NN -> ( E. i e. { J } ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 ) )
74	27, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( E. i e. { J } ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 ) )
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( E. i e. { J } ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 ) )
76	70, 75	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 )
77	22	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> 0 < ( ( F ` C ) ` J ) )
78		0zd 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
79	40, 41, 42, 43, 44, 45, 65	ballotfilemfelz 13208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ` J ) e. ZZ )
80		zltnle 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( F ` C ) ` J ) e. ZZ ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` J ) <-> -. ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 ) )
81	78, 79, 80	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` J ) <-> -. ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 ) )
82	81	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` J ) <-> -. ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 ) )
83	77, 82	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> -. ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 )
84	76, 83	pm2.65da 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> -. J = 1 )
85		biortn 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. J = 1 -> ( ( J - 1 ) e. NN <-> ( -. -. J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) ) )
86	84, 85	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( J - 1 ) e. NN <-> ( -. -. J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) ) )
87		1z 9649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. ZZ
88		zdceq 9699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( J e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID J = 1 )
89	65, 87, 88	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> DECID J = 1 )
90		notnotbdc 884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (DECID J = 1 -> ( J = 1 <-> -. -. J = 1 ) )
91	89, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( J = 1 <-> -. -. J = 1 ) )
92	91	orbi1d 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) <-> ( -. -. J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) ) )
93	86, 92	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( J - 1 ) e. NN <-> ( J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) ) )
94	60, 93	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. NN )
95		elnnuz 9938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J - 1 ) e. NN <-> ( J - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
96	94, 95	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
97		elfzp1 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( k e. ( 1 ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = ( ( J - 1 ) + 1 ) ) ) )
98	96, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = ( ( J - 1 ) + 1 ) ) ) )
99	27	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> J e. CC )
100		1cnd 8332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 1 e. CC )
101	99, 100	npcand 8631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( J - 1 ) + 1 ) = J )
102	101	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) = ( 1 ... J ) )
103	102	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> k e. ( 1 ... J ) ) )
104	101	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k = ( ( J - 1 ) + 1 ) <-> k = J ) )
105	104	orbi2d 802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = J ) ) )
106	98, 103, 105	3bitr3d 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... J ) <-> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = J ) ) )
107		orcom 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = J ) <-> ( k = J \/ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) )
108	106, 107	bitrdi 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... J ) <-> ( k = J \/ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) ) )
109	108	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... J ) -> ( k = J \/ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) ) )
110		pm5.6r 939	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ( 1 ... J ) -> ( k = J \/ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) ) -> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ -. k = J ) -> k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) )
111	109, 110	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ -. k = J ) -> k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) )
112	94	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. ZZ )
113	112, 87	jctil 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 e. ZZ /\ ( J - 1 ) e. ZZ ) )
114		elfzelz 10407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) -> k e. ZZ )
115	114, 87	jctir 313	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) -> ( k e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) )
116		fzaddel 10443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( J - 1 ) e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) <-> ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) ) )
117	113, 115, 116	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) <-> ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) ) )
118	117	biimp3a 1386	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) )
119	118	3anidm23 1338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) )
120		1p1e2 9400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 + 1 ) = 2
121	120	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) = 2 )
122	121, 101	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) = ( 2 ... J ) )
123	122	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> ( k + 1 ) e. ( 2 ... J ) ) )
124		2eluzge1 9955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. ( ZZ>= ` 1 )
125		fzss1 10447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 2 ... J ) C_ ( 1 ... J ) )
126	124, 125	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 ... J ) C_ ( 1 ... J )
127	126	sseli 3244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k + 1 ) e. ( 2 ... J ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
128	123, 127	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
129	128	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
130	119, 129	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
131	130	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
132	111, 131	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ -. k = J ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
133	58, 132	sylan2d 294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
134	133	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
135	134	adantrr 483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
136		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( F ` C ) ` i ) = ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) )
137	136	breq1d 4135	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 ) )
138	137	elrab 2982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } <-> ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 ) )
139		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j <_ k <-> ( k + 1 ) <_ k ) )
140	139	rspccva 2928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k /\ ( k + 1 ) e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } ) -> ( k + 1 ) <_ k )
141	138, 140	sylan2br 288	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k /\ ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( k + 1 ) <_ k )
142	141	expr 375	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 -> ( k + 1 ) <_ k ) )
143	142	con3d 640	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( -. ( k + 1 ) <_ k -> -. ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 ) )
144	21, 135, 143	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( -. ( k + 1 ) <_ k -> -. ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 ) )
145	20, 144	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> -. ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 )
146	40, 41, 42	ballotfilemelo 13200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( C e. O <-> ( C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) /\ C e. Fin /\ (♯ ` C ) = M ) )
147	45, 146	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) /\ C e. Fin /\ (♯ ` C ) = M ) )
148	147	simp1d 1040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
149		fz1ssnn 10440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ NN
150		nnssz 9640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN C_ ZZ
151	149, 150	sstri 3257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ZZ
152	148, 151	sstrdi 3260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C C_ ZZ )
153	152	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> C C_ ZZ )
154	7, 16	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
155	147	simp2d 1041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. Fin )
156	155	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> C e. Fin )
157		zfidc 9702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C C_ ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ /\ C e. Fin ) -> DECID ( k + 1 ) e. C )
158	153, 154, 156, 157	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> DECID ( k + 1 ) e. C )
159		simplrr 542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k )
160	135	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
161		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ph )
162	134	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
163	36	sseld 3247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) )
164	35, 162, 163	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) )
165	45	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) -> C e. O )
166		elfzelz 10407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
167	166	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
168	40, 41, 42, 43, 44, 165, 167	ballotfilemfelz 13208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
169	168	zred 9747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) e. RR )
170	161, 164, 169	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) e. RR )
171		0red 8317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> 0 e. RR )
172		simplrr 542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 )
173	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> k e. ( 1 ... J ) )
174	173, 38	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> k e. ( 0 ... J ) )
175	133	imdistani 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) -> ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
176	45	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> C e. O )
177		elfznn 10438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) -> ( k + 1 ) e. NN )
178	177	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
179	40, 41, 42, 43, 44, 176, 178	ballotfilemfp1 13209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( -. ( k + 1 ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( ( k + 1 ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
180	179	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( -. ( k + 1 ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) ) )
181	180	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) )
182	175, 181	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) )
183	15	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. CC )
184		1cnd 8332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> 1 e. CC )
185	183, 184	pncand 8628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
186	185	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( ( F ` C ) ` k ) )
187	186	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) )
188	187	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
189	173, 188	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
190	182, 189	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) )
191		0z 9634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. ZZ
192		zlem1lt 9680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 ) )
193	49, 191, 192	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 ) )
194	193	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 ) )
195		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) < 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 ) )
196	195	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) < 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 ) )
197	194, 196	bitr4d 191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) < 0 ) )
198	161, 174, 190, 197	syl21anc 1277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) < 0 ) )
199	172, 198	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) < 0 )
200	170, 171, 199	ltled 8435	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 )
201	200	adantlrr 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 )
202	159, 160, 201, 141	syl12anc 1276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( k + 1 ) <_ k )
203	20	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> -. ( k + 1 ) <_ k )
204	202, 203	condandc 893	. . . . . . . . . 10 |- (DECID ( k + 1 ) e. C -> ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( k + 1 ) e. C ) )
205	158, 204	mpcom 36	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( k + 1 ) e. C )
206	179	simprd 114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( k + 1 ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) ) )
207	206	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) )
208	175, 207	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) )
209	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> k e. ( 1 ... J ) )
210	186	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) )
211	210	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
212	209, 211	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
213	208, 212	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) )
214	213	adantlrr 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) )
215	205, 214	mpdan 425	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) )
216		breq1 4128	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <_ 0 ) )
217	216	notbid 677	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) -> ( -. ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 <-> -. ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <_ 0 ) )
218	215, 217	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( -. ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 <-> -. ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <_ 0 ) )
219	145, 218	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> -. ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <_ 0 )
220	6, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) -> k e. ( 0 ... J ) )
221	220, 49	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ )
222		zleltp1 9679	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
223	191, 221, 222	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
224	221	peano2zd 9750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) e. ZZ )
225		zltnle 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <-> -. ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <_ 0 ) )
226	191, 224, 225	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) -> ( 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <-> -. ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <_ 0 ) )
227	223, 226	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> -. ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <_ 0 ) )
228	227	adantrr 483	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> -. ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <_ 0 ) )
229	219, 228	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) )
230	221	adantrr 483	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ )
231	230	zred 9747	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. RR )
232		0red 8317	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> 0 e. RR )
233	231, 232	letri3d 8431	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) = 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) )
234	5, 229, 233	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
235	4, 234	sylan2b 287	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
236		ssrab2 3333	. . . . . 6 |- { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } C_ ( 1 ... J )
237		zssq 10006	. . . . . . 7 |- ZZ C_ QQ
238	10, 237	sstri 3257	. . . . . 6 |- ( 1 ... J ) C_ QQ
239	236, 238	sstri 3257	. . . . 5 |- { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } C_ QQ
240	239	a1i 9	. . . 4 |- ( ph -> { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } C_ QQ )
241	87	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
242	241, 65	fzfigd 10846	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... J ) e. Fin )
243		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = q -> ( 1 ... i ) = ( 1 ... q ) )
244	243	ineq1d 3431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = q -> ( ( 1 ... i ) i^i c ) = ( ( 1 ... q ) i^i c ) )
245	244	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = q -> (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) = (♯ ` ( ( 1 ... q ) i^i c ) ) )
246	243	difeq1d 3346	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = q -> ( ( 1 ... i ) \ c ) = ( ( 1 ... q ) \ c ) )
247	246	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = q -> (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) = (♯ ` ( ( 1 ... q ) \ c ) ) )
248	245, 247	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = q -> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) = ( (♯ ` ( ( 1 ... q ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... q ) \ c ) ) ) )
249	248	cbvmptv 4222	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) = ( q e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... q ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... q ) \ c ) ) ) )
250	249	mpteq2i 4213	. . . . . . . . 9 |- ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) ) = ( c e. O |-> ( q e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... q ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... q ) \ c ) ) ) ) )
251	44, 250	eqtri 2259	. . . . . . . 8 |- F = ( c e. O |-> ( q e. ZZ |-> ( (♯ ` ( ( 1 ... q ) i^i c ) ) - (♯ ` ( ( 1 ... q ) \ c ) ) ) ) )
252	45	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... J ) ) -> C e. O )
253		elfzelz 10407	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 1 ... J ) -> i e. ZZ )
254	253	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... J ) ) -> i e. ZZ )
255	40, 41, 42, 43, 251, 252, 254	ballotfilemfelz 13208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( F ` C ) ` i ) e. ZZ )
256		zdcle 9700	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` C ) ` i ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
257	255, 191, 256	sylancl 417	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 1 ... J ) ) -> DECID ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
258	257	ralrimiva 2623	. . . . 5 |- ( ph -> A. i e. ( 1 ... J )DECID ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
259	242, 258	ssfirab 7234	. . . 4 |- ( ph -> { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } e. Fin )
260		rabn0r 3548	. . . . 5 |- ( E. i e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 -> { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } =/= (/) )
261	61, 260	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } =/= (/) )
262		fimaxq 11248	. . . 4 |- ( ( { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } C_ QQ /\ { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } e. Fin /\ { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } =/= (/) ) -> E. k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k )
263	240, 259, 261, 262	syl3anc 1278	. . 3 |- ( ph -> E. k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k )
264	235, 263	reximddv 2653	. 2 |- ( ph -> E. k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
265		elrabi 2979	. . . 4 |- ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } -> k e. ( 1 ... J ) )
266	265	anim1i 340	. . 3 |- ( ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) )
267	266	reximi2 2646	. 2 |- ( E. k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } ( ( F ` C ) ` k ) = 0 -> E. k e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
268	264, 267	syl 14	1 |- ( ph -> E. k e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   \ cdif 3217   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ~Pcpw 3685   {csn 3705   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   / cdiv 8992   NNcn 9283   2c2 9334   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   QQcq 9998   ...cfz 10390  ♯chash 11192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-ihash 11193

This theorem is referenced by:  ballotfilem5  13220  ballotfilemic  13228