Theorem konigsberglem4 16486

Description: Lemma 4 for konigsberg 16488: Vertices 0 , 1 , 3 are vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem4	|- { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }

Distinct variable groups:   x, V   x, G

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem konigsberglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 9514	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
2		0elfz 10452	. . . . . 6 |- ( 3 e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 ... 3 )
4		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
5	3, 4	eleqtrri 2308	. . . 4 |- 0 e. V
6		n2dvds3 12601	. . . . 5 |- -. 2 || 3
7		konigsberg.e	. . . . . . 7 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
8		konigsberg.g	. . . . . . 7 |- G = <. V , E >.
9	4, 7, 8	konigsberglem1 16483	. . . . . 6 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) = 3
10	9	breq2i 4117	. . . . 5 |- ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) <-> 2 || 3 )
11	6, 10	mtbir 678	. . . 4 |- -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 )
12		fveq2 5670	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) = ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) )
13	12	breq2d 4121	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) ) )
14	13	notbid 673	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) ) )
15	14	elrab 2973	. . . 4 |- ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } <-> ( 0 e. V /\ -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) ) )
16	5, 11, 15	mpbir2an 951	. . 3 |- 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
17		1nn0 9512	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
18		1le3 9449	. . . . . 6 |- 1 <_ 3
19		elfz2nn0 10446	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
20	17, 1, 18, 19	mpbir3an 1206	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
21	20, 4	eleqtrri 2308	. . . 4 |- 1 e. V
22	4, 7, 8	konigsberglem2 16484	. . . . . 6 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) = 3
23	22	breq2i 4117	. . . . 5 |- ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) <-> 2 || 3 )
24	6, 23	mtbir 678	. . . 4 |- -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 )
25		fveq2 5670	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) = ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) )
26	25	breq2d 4121	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) ) )
27	26	notbid 673	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) ) )
28	27	elrab 2973	. . . 4 |- ( 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } <-> ( 1 e. V /\ -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) ) )
29	21, 24, 28	mpbir2an 951	. . 3 |- 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
30		3re 9311	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
31	30	leidi 8759	. . . . . 6 |- 3 <_ 3
32		elfz2nn0 10446	. . . . . 6 |- ( 3 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 3 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 3 <_ 3 ) )
33	1, 1, 31, 32	mpbir3an 1206	. . . . 5 |- 3 e. ( 0 ... 3 )
34	33, 4	eleqtrri 2308	. . . 4 |- 3 e. V
35	4, 7, 8	konigsberglem3 16485	. . . . . 6 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) = 3
36	35	breq2i 4117	. . . . 5 |- ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) <-> 2 || 3 )
37	6, 36	mtbir 678	. . . 4 |- -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 )
38		fveq2 5670	. . . . . . 7 |- ( x = 3 -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) = ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) )
39	38	breq2d 4121	. . . . . 6 |- ( x = 3 -> ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) ) )
40	39	notbid 673	. . . . 5 |- ( x = 3 -> ( -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) ) )
41	40	elrab 2973	. . . 4 |- ( 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } <-> ( 3 e. V /\ -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) ) )
42	34, 37, 41	mpbir2an 951	. . 3 |- 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
43	16, 29, 42	3pm3.2i 1202	. 2 |- ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )
44		c0ex 8268	. . 3 |- 0 e. _V
45		1ex 8269	. . 3 |- 1 e. _V
46		3ex 9313	. . 3 |- 3 e. _V
47	44, 45, 46	tpss 3862	. 2 |- ( ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )
48	43, 47	mpbi 145	1 |- { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }

Syntax hints:   -. wn 3   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   {crab 2524   C_ wss 3211   {cpr 3690   {ctp 3691   <.cop 3692   class class class wbr 4109   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   0cc0 8127   1c1 8128   <_ cle 8309   2c2 9288   3c3 9289   NN0cn0 9496   ...cfz 10342   <"cs7 11446   || cdvds 12473  VtxDegcvtxdg 16281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-xadd 10106  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-concat 11279  df-s1 11304  df-s2 11448  df-s3 11449  df-s4 11450  df-s5 11451  df-s6 11452  df-s7 11453  df-dvds 12474  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-upgren 16088  df-umgren 16089  df-vtxdg 16282

This theorem is referenced by:  konigsberglem5  16487