Theorem konigsberglem4 16732

Description: Lemma 4 for konigsberg 16734: Vertices 0 , 1 , 3 are vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem4	|- { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }

Distinct variable groups:   x, V   x, G

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem konigsberglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 9581	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
2		0elfz 10525	. . . . . 6 |- ( 3 e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 ... 3 )
4		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
5	3, 4	eleqtrri 2314	. . . 4 |- 0 e. V
6		n2dvds3 12682	. . . . 5 |- -. 2 || 3
7		konigsberg.e	. . . . . . 7 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
8		konigsberg.g	. . . . . . 7 |- G = <. V , E >.
9	4, 7, 8	konigsberglem1 16729	. . . . . 6 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) = 3
10	9	breq2i 4138	. . . . 5 |- ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) <-> 2 || 3 )
11	6, 10	mtbir 682	. . . 4 |- -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 )
12		fveq2 5695	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) = ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) )
13	12	breq2d 4142	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) ) )
14	13	notbid 677	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) ) )
15	14	elrab 2982	. . . 4 |- ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } <-> ( 0 e. V /\ -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) ) )
16	5, 11, 15	mpbir2an 955	. . 3 |- 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
17		1nn0 9579	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
18		1le3 9516	. . . . . 6 |- 1 <_ 3
19		elfz2nn0 10519	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
20	17, 1, 18, 19	mpbir3an 1210	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
21	20, 4	eleqtrri 2314	. . . 4 |- 1 e. V
22	4, 7, 8	konigsberglem2 16730	. . . . . 6 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) = 3
23	22	breq2i 4138	. . . . 5 |- ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) <-> 2 || 3 )
24	6, 23	mtbir 682	. . . 4 |- -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 )
25		fveq2 5695	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) = ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) )
26	25	breq2d 4142	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) ) )
27	26	notbid 677	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) ) )
28	27	elrab 2982	. . . 4 |- ( 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } <-> ( 1 e. V /\ -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) ) )
29	21, 24, 28	mpbir2an 955	. . 3 |- 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
30		3re 9378	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
31	30	leidi 8813	. . . . . 6 |- 3 <_ 3
32		elfz2nn0 10519	. . . . . 6 |- ( 3 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 3 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 3 <_ 3 ) )
33	1, 1, 31, 32	mpbir3an 1210	. . . . 5 |- 3 e. ( 0 ... 3 )
34	33, 4	eleqtrri 2314	. . . 4 |- 3 e. V
35	4, 7, 8	konigsberglem3 16731	. . . . . 6 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) = 3
36	35	breq2i 4138	. . . . 5 |- ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) <-> 2 || 3 )
37	6, 36	mtbir 682	. . . 4 |- -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 )
38		fveq2 5695	. . . . . . 7 |- ( x = 3 -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) = ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) )
39	38	breq2d 4142	. . . . . 6 |- ( x = 3 -> ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) ) )
40	39	notbid 677	. . . . 5 |- ( x = 3 -> ( -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) ) )
41	40	elrab 2982	. . . 4 |- ( 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } <-> ( 3 e. V /\ -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) ) )
42	34, 37, 41	mpbir2an 955	. . 3 |- 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
43	16, 29, 42	3pm3.2i 1206	. 2 |- ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )
44		c0ex 8320	. . 3 |- 0 e. _V
45		1ex 8321	. . 3 |- 1 e. _V
46		3ex 9380	. . 3 |- 3 e. _V
47	44, 45, 46	tpss 3883	. 2 |- ( ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )
48	43, 47	mpbi 145	1 |- { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   C_ wss 3220   {cpr 3710   {ctp 3711   <.cop 3712   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   0cc0 8179   1c1 8180   <_ cle 8361   2c2 9355   3c3 9356   NN0cn0 9563   ...cfz 10411   <"cs7 11526   || cdvds 12554  VtxDegcvtxdg 16527

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-xadd 10175  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-concat 11359  df-s1 11384  df-s2 11528  df-s3 11529  df-s4 11530  df-s5 11531  df-s6 11532  df-s7 11533  df-dvds 12555  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-edgf 16246  df-vtx 16255  df-iedg 16256  df-upgren 16334  df-umgren 16335  df-vtxdg 16528

This theorem is used by:  konigsberglem5  16733