Theorem konigsberglem4 16937

Description: Lemma 4 for konigsberg 16939: Vertices 0 , 1 , 3 are vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem4	|- { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }

Distinct variable groups:   x, V   x, G

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem konigsberglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 9592	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
2		0elfz 10542	. . . . . 6 |- ( 3 e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 ... 3 )
4		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
5	3, 4	eleqtrri 2314	. . . 4 |- 0 e. V
6		n2dvds3 12707	. . . . 5 |- -. 2 || 3
7		konigsberg.e	. . . . . . 7 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
8		konigsberg.g	. . . . . . 7 |- G = <. V , E >.
9	4, 7, 8	konigsberglem1 16934	. . . . . 6 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) = 3
10	9	breq2i 4139	. . . . 5 |- ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) <-> 2 || 3 )
11	6, 10	mtbir 682	. . . 4 |- -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 )
12		fveq2 5698	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) = ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) )
13	12	breq2d 4143	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) ) )
14	13	notbid 677	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) ) )
15	14	elrab 2982	. . . 4 |- ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } <-> ( 0 e. V /\ -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) ) )
16	5, 11, 15	mpbir2an 955	. . 3 |- 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
17		1nn0 9590	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
18		1le3 9527	. . . . . 6 |- 1 <_ 3
19		elfz2nn0 10536	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
20	17, 1, 18, 19	mpbir3an 1210	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
21	20, 4	eleqtrri 2314	. . . 4 |- 1 e. V
22	4, 7, 8	konigsberglem2 16935	. . . . . 6 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) = 3
23	22	breq2i 4139	. . . . 5 |- ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) <-> 2 || 3 )
24	6, 23	mtbir 682	. . . 4 |- -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 )
25		fveq2 5698	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) = ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) )
26	25	breq2d 4143	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) ) )
27	26	notbid 677	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) ) )
28	27	elrab 2982	. . . 4 |- ( 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } <-> ( 1 e. V /\ -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) ) )
29	21, 24, 28	mpbir2an 955	. . 3 |- 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
30		3re 9387	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
31	30	leidi 8820	. . . . . 6 |- 3 <_ 3
32		elfz2nn0 10536	. . . . . 6 |- ( 3 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 3 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 3 <_ 3 ) )
33	1, 1, 31, 32	mpbir3an 1210	. . . . 5 |- 3 e. ( 0 ... 3 )
34	33, 4	eleqtrri 2314	. . . 4 |- 3 e. V
35	4, 7, 8	konigsberglem3 16936	. . . . . 6 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) = 3
36	35	breq2i 4139	. . . . 5 |- ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) <-> 2 || 3 )
37	6, 36	mtbir 682	. . . 4 |- -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 )
38		fveq2 5698	. . . . . . 7 |- ( x = 3 -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) = ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) )
39	38	breq2d 4143	. . . . . 6 |- ( x = 3 -> ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) ) )
40	39	notbid 677	. . . . 5 |- ( x = 3 -> ( -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) ) )
41	40	elrab 2982	. . . 4 |- ( 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } <-> ( 3 e. V /\ -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) ) )
42	34, 37, 41	mpbir2an 955	. . 3 |- 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
43	16, 29, 42	3pm3.2i 1206	. 2 |- ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )
44		c0ex 8326	. . 3 |- 0 e. _V
45		1ex 8327	. . 3 |- 1 e. _V
46		3ex 9389	. . 3 |- 3 e. _V
47	44, 45, 46	tpss 3883	. 2 |- ( ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )
48	43, 47	mpbi 145	1 |- { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   C_ wss 3220   {cpr 3710   {ctp 3711   <.cop 3712   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   0cc0 8185   1c1 8186   <_ cle 8367   2c2 9364   3c3 9365   NN0cn0 9574   ...cfz 10428   <"cs7 11548   || cdvds 12579  VtxDegcvtxdg 16732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-xadd 10192  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-concat 11381  df-s1 11406  df-s2 11550  df-s3 11551  df-s4 11552  df-s5 11553  df-s6 11554  df-s7 11555  df-dvds 12580  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-upgren 16539  df-umgren 16540  df-vtxdg 16733

This theorem is used by:  konigsberglem5  16938