Theorem konigsberglem4 16646

Description: Lemma 4 for konigsberg 16648: Vertices 0 , 1 , 3 are vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem4	|- { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }

Distinct variable groups:   x, V   x, G

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem konigsberglem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 9560	. . . . . 6 |- 3 e. NN0
2		0elfz 10503	. . . . . 6 |- ( 3 e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 ... 3 )
4		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
5	3, 4	eleqtrri 2314	. . . 4 |- 0 e. V
6		n2dvds3 12660	. . . . 5 |- -. 2 || 3
7		konigsberg.e	. . . . . . 7 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
8		konigsberg.g	. . . . . . 7 |- G = <. V , E >.
9	4, 7, 8	konigsberglem1 16643	. . . . . 6 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) = 3
10	9	breq2i 4133	. . . . 5 |- ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) <-> 2 || 3 )
11	6, 10	mtbir 682	. . . 4 |- -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 )
12		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) = ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) )
13	12	breq2d 4137	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) ) )
14	13	notbid 677	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) ) )
15	14	elrab 2982	. . . 4 |- ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } <-> ( 0 e. V /\ -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 0 ) ) )
16	5, 11, 15	mpbir2an 955	. . 3 |- 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
17		1nn0 9558	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
18		1le3 9495	. . . . . 6 |- 1 <_ 3
19		elfz2nn0 10497	. . . . . 6 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
20	17, 1, 18, 19	mpbir3an 1210	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
21	20, 4	eleqtrri 2314	. . . 4 |- 1 e. V
22	4, 7, 8	konigsberglem2 16644	. . . . . 6 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) = 3
23	22	breq2i 4133	. . . . 5 |- ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) <-> 2 || 3 )
24	6, 23	mtbir 682	. . . 4 |- -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 )
25		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) = ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) )
26	25	breq2d 4137	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) ) )
27	26	notbid 677	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) ) )
28	27	elrab 2982	. . . 4 |- ( 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } <-> ( 1 e. V /\ -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) ) )
29	21, 24, 28	mpbir2an 955	. . 3 |- 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
30		3re 9357	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
31	30	leidi 8803	. . . . . 6 |- 3 <_ 3
32		elfz2nn0 10497	. . . . . 6 |- ( 3 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 3 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 3 <_ 3 ) )
33	1, 1, 31, 32	mpbir3an 1210	. . . . 5 |- 3 e. ( 0 ... 3 )
34	33, 4	eleqtrri 2314	. . . 4 |- 3 e. V
35	4, 7, 8	konigsberglem3 16645	. . . . . 6 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) = 3
36	35	breq2i 4133	. . . . 5 |- ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) <-> 2 || 3 )
37	6, 36	mtbir 682	. . . 4 |- -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 )
38		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( x = 3 -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) = ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) )
39	38	breq2d 4137	. . . . . 6 |- ( x = 3 -> ( 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) ) )
40	39	notbid 677	. . . . 5 |- ( x = 3 -> ( -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) <-> -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) ) )
41	40	elrab 2982	. . . 4 |- ( 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } <-> ( 3 e. V /\ -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) ) )
42	34, 37, 41	mpbir2an 955	. . 3 |- 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
43	16, 29, 42	3pm3.2i 1206	. 2 |- ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )
44		c0ex 8310	. . 3 |- 0 e. _V
45		1ex 8311	. . 3 |- 1 e. _V
46		3ex 9359	. . 3 |- 3 e. _V
47	44, 45, 46	tpss 3878	. 2 |- ( ( 0 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 1 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } /\ 3 e. { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )
48	43, 47	mpbi 145	1 |- { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }

Syntax hints:   -. wn 3   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   C_ wss 3220   {cpr 3706   {ctp 3707   <.cop 3708   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   0cc0 8169   1c1 8170   <_ cle 8351   2c2 9334   3c3 9335   NN0cn0 9542   ...cfz 10390   <"cs7 11504   || cdvds 12532  VtxDegcvtxdg 16441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-xadd 10154  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-concat 11337  df-s1 11362  df-s2 11506  df-s3 11507  df-s4 11508  df-s5 11509  df-s6 11510  df-s7 11511  df-dvds 12533  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-edgf 16160  df-vtx 16169  df-iedg 16170  df-upgren 16248  df-umgren 16249  df-vtxdg 16442

This theorem is referenced by:  konigsberglem5  16647