Theorem zsqcl 10621

Description: Integers are closed under squaring. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zsqcl	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zsqcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 9222	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		zexpcl 10565	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3	1, 2	mpan2 425	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160  (class class class)co 5895  2c2 8999  ℕ₀cn0 9205  ℤcz 9282  ↑cexp 10549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-frec 6415  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-inn 8949  df-2 9007  df-n0 9206  df-z 9283  df-uz 9558  df-seqfrec 10476  df-exp 10550

This theorem is referenced by:  zsqcl2  10628  zesq  10669  sqoddm1div8  10704  dvdssqim  12056  dvdssq  12063  isprm5lem  12172  sqrt2irrlem  12192  nn0gcdsq  12231  numdensq  12233  pythagtriplem2  12297  pythagtriplem3  12298  pythagtrip  12314  pockthg  12388  4sqlem8  12416  4sqlem10  12418  4sqlemafi  12426  4sqlemffi  12427  4sqleminfi  12428  4sqexercise1  12429  4sqexercise2  12430  4sqlem11  12432  4sqlem12  12433  4sqlem14  12435  4sqlem15  12436  4sqlem16  12437  lgsval  14858  lgscllem  14861  lgsdir  14889  lgsne0  14892  lgsmulsqcoprm  14900  lgsdinn0  14902  2lgsoddprmlem2  14907  2sqlem3  14917  2sqlem4  14918  2sqlem8  14923