Theorem cats1catd 11356

Description: Closure of concatenation with a singleton word. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
cats1cld.1	⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
cats1catd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word V)
cats1catd.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word V)
cats1catd.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
cats1catd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩))
cats1catd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 ++ 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
cats1catd	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 ++ 𝑇))

Proof of Theorem cats1catd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cats1catd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 ++ 𝑆))
2	1	oveq1d 6036	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) = ((𝐴 ++ 𝑆) ++ ⟨“𝑋”⟩))
3		cats1catd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Word V)
4		cats1catd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word V)
5		cats1catd.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
6	5	s1cld 11206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑊)
7		wrdv 11136	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑊 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V)
9		ccatass 11192	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝑆 ∈ Word V ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → ((𝐴 ++ 𝑆) ++ ⟨“𝑋”⟩) = (𝐴 ++ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)))
10	3, 4, 8, 9	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝑆) ++ ⟨“𝑋”⟩) = (𝐴 ++ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)))
11	2, 10	eqtrd 2264	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩) = (𝐴 ++ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)))
12		cats1catd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐵 ++ ⟨“𝑋”⟩))
13		cats1cld.1	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)
14	13	oveq2i 6032	. . 3 ⊢ (𝐴 ++ 𝑇) = (𝐴 ++ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩))
15	14	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ++ 𝑇) = (𝐴 ++ (𝑆 ++ ⟨“𝑋”⟩)))
16	11, 12, 15	3eqtr4d 2274	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 ++ 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802  (class class class)co 6021  Word cword 11120   ++ cconcat 11174  ⟨“cs1 11199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-addass 8137  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-apti 8150  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-recs 6474  df-frec 6560  df-1o 6585  df-er 6705  df-en 6913  df-dom 6914  df-fin 6915  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-inn 9147  df-n0 9406  df-z 9483  df-uz 9759  df-fz 10247  df-fzo 10381  df-ihash 11042  df-word 11121  df-concat 11175  df-s1 11200

This theorem is referenced by:  s1s2d  11382  s1s3d  11383  s1s4d  11384  s1s5d  11385  s1s6d  11386  s1s7d  11387  s2s2d  11388  s4s2d  11389  s4s3d  11390  s4s4d  11394