Theorem cndcap 15790

Description: Real number trichotomy is equivalent to decidability of complex number apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cndcap	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cndcap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝑤) → ((ℜ‘𝑧) # 𝑦 ↔ (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤)))
2	1	dcbid 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝑤) → (DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦 ↔ DECID (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤)))
3		breq1 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (ℜ‘𝑧) # 𝑦))
4	3	dcbid 839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦))
5	4	ralbidv 2497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦))
6		triap 15760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
7	6	ralbidva 2493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦))
8	7	ralbiia 2511	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦)
9	8	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦)
11		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
12	11	recld 11120	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
13	5, 10, 12	rspcdva 2873	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦)
14		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → 𝑤 ∈ ℂ)
15	14	recld 11120	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑤) ∈ ℝ)
16	2, 13, 15	rspcdva 2873	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤))
17		breq2 4038	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑤) → ((ℑ‘𝑧) # 𝑦 ↔ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤)))
18	17	dcbid 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑤) → (DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦 ↔ DECID (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤)))
19		breq1 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘𝑧) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (ℑ‘𝑧) # 𝑦))
20	19	dcbid 839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘𝑧) → (DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦))
21	20	ralbidv 2497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘𝑧) → (∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦))
22	11	imcld 11121	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
23	21, 10, 22	rspcdva 2873	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦)
24	14	imcld 11121	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑤) ∈ ℝ)
25	18, 23, 24	rspcdva 2873	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))
26		dcor 937	. . . . 5 ⊢ (DECID (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) → (DECID (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤) → DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
27	16, 25, 26	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤)))
28		cnreim 11160	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 # 𝑤 ↔ ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
29	28	dcbid 839	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
30	29	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
31	27, 30	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID 𝑧 # 𝑤)
32	31	ralrimivva 2579	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)
33		breq2 4038	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 # 𝑤 ↔ 𝑥 # 𝑦))
34	33	dcbid 839	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (DECID 𝑥 # 𝑤 ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
35		breq1 4037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 𝑤 ↔ 𝑥 # 𝑤))
36	35	dcbid 839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ DECID 𝑥 # 𝑤))
37	36	ralbidv 2497	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑥 # 𝑤))
38		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)
39		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
40	39	recnd 8072	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
41	37, 38, 40	rspcdva 2873	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑥 # 𝑤)
42		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
43	42	recnd 8072	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
44	34, 41, 43	rspcdva 2873	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID 𝑥 # 𝑦)
45	6	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
46	44, 45	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
47	46	ralrimivva 2579	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
48	32, 47	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  ℂcc 7894  ℝcr 7895   < clt 8078   # cap 8625  ℜcre 11022  ℑcim 11023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-2 9066  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026

This theorem is referenced by: (None)