Theorem cndcap 15104

Description: Real number trichotomy is equivalent to decidability of complex number apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cndcap	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cndcap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝑤) → ((ℜ‘𝑧) # 𝑦 ↔ (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤)))
2	1	dcbid 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝑤) → (DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦 ↔ DECID (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤)))
3		breq1 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (ℜ‘𝑧) # 𝑦))
4	3	dcbid 839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦))
5	4	ralbidv 2487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦))
6		triap 15074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
7	6	ralbidva 2483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦))
8	7	ralbiia 2501	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦)
9	8	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦)
11		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
12	11	recld 10961	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
13	5, 10, 12	rspcdva 2858	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦)
14		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → 𝑤 ∈ ℂ)
15	14	recld 10961	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑤) ∈ ℝ)
16	2, 13, 15	rspcdva 2858	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤))
17		breq2 4019	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑤) → ((ℑ‘𝑧) # 𝑦 ↔ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤)))
18	17	dcbid 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑤) → (DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦 ↔ DECID (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤)))
19		breq1 4018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘𝑧) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (ℑ‘𝑧) # 𝑦))
20	19	dcbid 839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘𝑧) → (DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦))
21	20	ralbidv 2487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘𝑧) → (∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦))
22	11	imcld 10962	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
23	21, 10, 22	rspcdva 2858	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦)
24	14	imcld 10962	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑤) ∈ ℝ)
25	18, 23, 24	rspcdva 2858	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))
26		dcor 936	. . . . 5 ⊢ (DECID (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) → (DECID (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤) → DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
27	16, 25, 26	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤)))
28		cnreim 11001	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 # 𝑤 ↔ ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
29	28	dcbid 839	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
30	29	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
31	27, 30	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID 𝑧 # 𝑤)
32	31	ralrimivva 2569	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)
33		breq2 4019	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 # 𝑤 ↔ 𝑥 # 𝑦))
34	33	dcbid 839	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (DECID 𝑥 # 𝑤 ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
35		breq1 4018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 𝑤 ↔ 𝑥 # 𝑤))
36	35	dcbid 839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ DECID 𝑥 # 𝑤))
37	36	ralbidv 2487	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑥 # 𝑤))
38		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)
39		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
40	39	recnd 8000	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
41	37, 38, 40	rspcdva 2858	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑥 # 𝑤)
42		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
43	42	recnd 8000	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
44	34, 41, 43	rspcdva 2858	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID 𝑥 # 𝑦)
45	6	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
46	44, 45	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
47	46	ralrimivva 2569	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
48	32, 47	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∨ w3o 978   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465   class class class wbr 4015  ‘cfv 5228  ℂcc 7823  ℝcr 7824   < clt 8006   # cap 8552  ℜcre 10863  ℑcim 10864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-2 8992  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867

This theorem is referenced by: (None)