Theorem cndcap 16663

Description: Real number trichotomy is equivalent to decidability of complex number apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cndcap	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cndcap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝑤) → ((ℜ‘𝑧) # 𝑦 ↔ (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤)))
2	1	dcbid 845	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝑤) → (DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦 ↔ DECID (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤)))
3		breq1 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (ℜ‘𝑧) # 𝑦))
4	3	dcbid 845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦))
5	4	ralbidv 2532	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦))
6		triap 16633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
7	6	ralbidva 2528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦))
8	7	ralbiia 2546	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦)
9	8	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦)
11		simprl 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
12	11	recld 11498	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
13	5, 10, 12	rspcdva 2915	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦)
14		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → 𝑤 ∈ ℂ)
15	14	recld 11498	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑤) ∈ ℝ)
16	2, 13, 15	rspcdva 2915	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤))
17		breq2 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑤) → ((ℑ‘𝑧) # 𝑦 ↔ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤)))
18	17	dcbid 845	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑤) → (DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦 ↔ DECID (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤)))
19		breq1 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘𝑧) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (ℑ‘𝑧) # 𝑦))
20	19	dcbid 845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘𝑧) → (DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦))
21	20	ralbidv 2532	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘𝑧) → (∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦))
22	11	imcld 11499	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
23	21, 10, 22	rspcdva 2915	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦)
24	14	imcld 11499	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑤) ∈ ℝ)
25	18, 23, 24	rspcdva 2915	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))
26		dcor 943	. . . . 5 ⊢ (DECID (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) → (DECID (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤) → DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
27	16, 25, 26	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤)))
28		cnreim 11538	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 # 𝑤 ↔ ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
29	28	dcbid 845	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
30	29	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
31	27, 30	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID 𝑧 # 𝑤)
32	31	ralrimivva 2614	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)
33		breq2 4092	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 # 𝑤 ↔ 𝑥 # 𝑦))
34	33	dcbid 845	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (DECID 𝑥 # 𝑤 ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
35		breq1 4091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 𝑤 ↔ 𝑥 # 𝑤))
36	35	dcbid 845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ DECID 𝑥 # 𝑤))
37	36	ralbidv 2532	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑥 # 𝑤))
38		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)
39		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
40	39	recnd 8207	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
41	37, 38, 40	rspcdva 2915	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑥 # 𝑤)
42		simprr 533	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
43	42	recnd 8207	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
44	34, 41, 43	rspcdva 2915	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID 𝑥 # 𝑦)
45	6	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
46	44, 45	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
47	46	ralrimivva 2614	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
48	32, 47	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   ∨ w3o 1003   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  ℂcc 8029  ℝcr 8030   < clt 8213   # cap 8760  ℜcre 11400  ℑcim 11401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-2 9201  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404

This theorem is referenced by: (None)