Theorem cndcap 15960

Description: Real number trichotomy is equivalent to decidability of complex number apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cndcap	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cndcap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝑤) → ((ℜ‘𝑧) # 𝑦 ↔ (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤)))
2	1	dcbid 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝑤) → (DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦 ↔ DECID (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤)))
3		breq1 4046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (ℜ‘𝑧) # 𝑦))
4	3	dcbid 839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦))
5	4	ralbidv 2505	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦))
6		triap 15930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
7	6	ralbidva 2501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦))
8	7	ralbiia 2519	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦)
9	8	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦)
11		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
12	11	recld 11220	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
13	5, 10, 12	rspcdva 2881	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦)
14		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → 𝑤 ∈ ℂ)
15	14	recld 11220	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑤) ∈ ℝ)
16	2, 13, 15	rspcdva 2881	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤))
17		breq2 4047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑤) → ((ℑ‘𝑧) # 𝑦 ↔ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤)))
18	17	dcbid 839	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑤) → (DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦 ↔ DECID (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤)))
19		breq1 4046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘𝑧) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (ℑ‘𝑧) # 𝑦))
20	19	dcbid 839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘𝑧) → (DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦))
21	20	ralbidv 2505	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘𝑧) → (∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦))
22	11	imcld 11221	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
23	21, 10, 22	rspcdva 2881	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦)
24	14	imcld 11221	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑤) ∈ ℝ)
25	18, 23, 24	rspcdva 2881	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))
26		dcor 937	. . . . 5 ⊢ (DECID (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) → (DECID (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤) → DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
27	16, 25, 26	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤)))
28		cnreim 11260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 # 𝑤 ↔ ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
29	28	dcbid 839	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
30	29	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
31	27, 30	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID 𝑧 # 𝑤)
32	31	ralrimivva 2587	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)
33		breq2 4047	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 # 𝑤 ↔ 𝑥 # 𝑦))
34	33	dcbid 839	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (DECID 𝑥 # 𝑤 ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
35		breq1 4046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 𝑤 ↔ 𝑥 # 𝑤))
36	35	dcbid 839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ DECID 𝑥 # 𝑤))
37	36	ralbidv 2505	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑥 # 𝑤))
38		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)
39		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
40	39	recnd 8100	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
41	37, 38, 40	rspcdva 2881	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑥 # 𝑤)
42		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
43	42	recnd 8100	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
44	34, 41, 43	rspcdva 2881	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID 𝑥 # 𝑦)
45	6	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
46	44, 45	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
47	46	ralrimivva 2587	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
48	32, 47	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   ∨ w3o 979   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483   class class class wbr 4043  ‘cfv 5270  ℂcc 7922  ℝcr 7923   < clt 8106   # cap 8653  ℜcre 11122  ℑcim 11123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-2 9094  df-cj 11124  df-re 11125  df-im 11126

This theorem is referenced by: (None)