Theorem cndcap 17014

Description: Real number trichotomy is equivalent to decidability of complex number apartness. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
cndcap	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)

Distinct variable group:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧

Proof of Theorem cndcap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4129	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝑤) → ((ℜ‘𝑧) # 𝑦 ↔ (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤)))
2	1	dcbid 850	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℜ‘𝑤) → (DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦 ↔ DECID (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤)))
3		breq1 4128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (ℜ‘𝑧) # 𝑦))
4	3	dcbid 850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦))
5	4	ralbidv 2550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦))
6		triap 16983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
7	6	ralbidva 2546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦))
8	7	ralbiia 2564	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦)
9	8	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦)
11		simprl 535	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
12	11	recld 11682	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
13	5, 10, 12	rspcdva 2934	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℜ‘𝑧) # 𝑦)
14		simprr 537	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → 𝑤 ∈ ℂ)
15	14	recld 11682	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℜ‘𝑤) ∈ ℝ)
16	2, 13, 15	rspcdva 2934	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤))
17		breq2 4129	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑤) → ((ℑ‘𝑧) # 𝑦 ↔ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤)))
18	17	dcbid 850	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑤) → (DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦 ↔ DECID (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤)))
19		breq1 4128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘𝑧) → (𝑥 # 𝑦 ↔ (ℑ‘𝑧) # 𝑦))
20	19	dcbid 850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘𝑧) → (DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦))
21	20	ralbidv 2550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (ℑ‘𝑧) → (∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦))
22	11	imcld 11683	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
23	21, 10, 22	rspcdva 2934	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ∀𝑦 ∈ ℝ DECID (ℑ‘𝑧) # 𝑦)
24	14	imcld 11683	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (ℑ‘𝑤) ∈ ℝ)
25	18, 23, 24	rspcdva 2934	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))
26		dcor 948	. . . . 5 ⊢ (DECID (ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) → (DECID (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤) → DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
27	16, 25, 26	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤)))
28		cnreim 11722	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (𝑧 # 𝑤 ↔ ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
29	28	dcbid 850	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
30	29	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → (DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ DECID ((ℜ‘𝑧) # (ℜ‘𝑤) ∨ (ℑ‘𝑧) # (ℑ‘𝑤))))
31	27, 30	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → DECID 𝑧 # 𝑤)
32	31	ralrimivva 2632	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)
33		breq2 4129	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑥 # 𝑤 ↔ 𝑥 # 𝑦))
34	33	dcbid 850	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (DECID 𝑥 # 𝑤 ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
35		breq1 4128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 # 𝑤 ↔ 𝑥 # 𝑤))
36	35	dcbid 850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ DECID 𝑥 # 𝑤))
37	36	ralbidv 2550	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ↔ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑥 # 𝑤))
38		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)
39		simprl 535	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
40	39	recnd 8344	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
41	37, 38, 40	rspcdva 2934	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑥 # 𝑤)
42		simprr 537	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
43	42	recnd 8344	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
44	34, 41, 43	rspcdva 2934	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID 𝑥 # 𝑦)
45	6	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ DECID 𝑥 # 𝑦))
46	44, 45	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
47	46	ralrimivva 2632	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
48	32, 47	impbii 126	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ ℂ ∀𝑤 ∈ ℂ DECID 𝑧 # 𝑤)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∨ w3o 1008   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  ℂcc 8167  ℝcr 8168   < clt 8350   # cap 8899  ℜcre 11583  ℑcim 11584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-2 9342  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587

This theorem is referenced by: (None)