Theorem flqzadd 10367

Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqzadd	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘(𝑁 + 𝐴)) = (𝑁 + (⌊‘𝐴)))

Proof of Theorem flqzadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqaddz 10366	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁))
2		qcn 9699	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		zcn 9322	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
4		addcom 8156	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐴))
6	5	fveq2d 5558	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = (⌊‘(𝑁 + 𝐴)))
7		flqcl 10342	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
8	7	zcnd 9440	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
9		addcom 8156	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((⌊‘𝐴) + 𝑁) = (𝑁 + (⌊‘𝐴)))
10	8, 3, 9	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 𝑁) = (𝑁 + (⌊‘𝐴)))
11	1, 6, 10	3eqtr3d 2234	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑁 + 𝐴)) = (𝑁 + (⌊‘𝐴)))
12	11	ancoms 268	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘(𝑁 + 𝐴)) = (𝑁 + (⌊‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870   + caddc 7875  ℤcz 9317  ℚcq 9684  ⌊cfl 10337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-q 9685  df-rp 9720  df-fl 10339

This theorem is referenced by: (None)