Theorem flqzadd 10298

Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqzadd	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘(𝑁 + 𝐴)) = (𝑁 + (⌊‘𝐴)))

Proof of Theorem flqzadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqaddz 10297	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁))
2		qcn 9634	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
3		zcn 9258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
4		addcom 8094	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐴))
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐴))
6	5	fveq2d 5520	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = (⌊‘(𝑁 + 𝐴)))
7		flqcl 10273	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
8	7	zcnd 9376	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
9		addcom 8094	. . . 4 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((⌊‘𝐴) + 𝑁) = (𝑁 + (⌊‘𝐴)))
10	8, 3, 9	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 𝑁) = (𝑁 + (⌊‘𝐴)))
11	1, 6, 10	3eqtr3d 2218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑁 + 𝐴)) = (𝑁 + (⌊‘𝐴)))
12	11	ancoms 268	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘(𝑁 + 𝐴)) = (𝑁 + (⌊‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809   + caddc 7814  ℤcz 9253  ℚcq 9619  ⌊cfl 10268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-q 9620  df-rp 9654  df-fl 10270

This theorem is referenced by: (None)