ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqzadd GIF version

Theorem flqzadd 9854
Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqzadd ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘(𝑁 + 𝐴)) = (𝑁 + (⌊‘𝐴)))

Proof of Theorem flqzadd
StepHypRef Expression
1 flqaddz 9853 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = ((⌊‘𝐴) + 𝑁))
2 qcn 9218 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 zcn 8853 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
4 addcom 7716 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐴))
52, 3, 4syl2an 284 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝑁) = (𝑁 + 𝐴))
65fveq2d 5344 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 𝑁)) = (⌊‘(𝑁 + 𝐴)))
7 flqcl 9829 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
87zcnd 8968 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
9 addcom 7716 . . . 4 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((⌊‘𝐴) + 𝑁) = (𝑁 + (⌊‘𝐴)))
108, 3, 9syl2an 284 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) + 𝑁) = (𝑁 + (⌊‘𝐴)))
111, 6, 103eqtr3d 2135 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑁 + 𝐴)) = (𝑁 + (⌊‘𝐴)))
1211ancoms 265 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℚ) → (⌊‘(𝑁 + 𝐴)) = (𝑁 + (⌊‘𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1296  wcel 1445  cfv 5049  (class class class)co 5690  cc 7445   + caddc 7450  cz 8848  cq 9203  cfl 9824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-q 9204  df-rp 9234  df-fl 9826
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator