Theorem qcn 10034

Description: A rational number is a complex number. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qcn	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem qcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 10031	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2	1	sseli 3244	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℂcc 8177  ℚcq 10019

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-z 9645  df-q 10020

This theorem is used by:  qsubcl  10038  qapne  10039  qdivcl  10043  qrevaddcl  10044  irradd  10046  irrmul  10047  irrmulap  10048  qavgle  10693  divfl0  10731  flqzadd  10733  intqfrac2  10756  flqdiv  10758  modqvalr  10762  flqpmodeq  10764  modq0  10766  mulqmod0  10767  negqmod0  10768  modqlt  10770  modqdiffl  10772  modqfrac  10774  flqmod  10775  intqfrac  10776  modqmulnn  10779  modqvalp1  10780  modqid  10786  modqcyc  10796  modqcyc2  10797  modqadd1  10798  modqaddabs  10799  modqmuladdnn0  10805  qnegmod  10806  modqadd2mod  10811  modqm1p1mod0  10812  modqmul1  10814  modqnegd  10816  modqadd12d  10817  modqsub12d  10818  q2txmodxeq0  10821  q2submod  10822  modqmulmodr  10827  modqaddmulmod  10828  modqdi  10829  modqsubdir  10830  modqeqmodmin  10831  qsqcl  11048  qsqeqor  11087  eirraplem  12544  bezoutlemnewy  12773  sqrt2irraplemnn  12957  pcqdiv  13086  pcexp  13088  pcadd  13119  pcadd2  13120  qexpz  13131  4sqlem5  13161  4sqlem10  13166  logbgcd1irraplemap  16071  ex-ceil  16740  qdencn  17072  apdifflemf  17095  apdifflemr  17096  apdiff  17097  qdiff  17098