Theorem qcn 9572

Description: A rational number is a complex number. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qcn	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem qcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 9569	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2	1	sseli 3138	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  ℂcc 7751  ℚcq 9557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-z 9192  df-q 9558

This theorem is referenced by:  qsubcl  9576  qapne  9577  qdivcl  9581  qrevaddcl  9582  irradd  9584  irrmul  9585  qavgle  10194  divfl0  10231  flqzadd  10233  intqfrac2  10254  flqdiv  10256  modqvalr  10260  flqpmodeq  10262  modq0  10264  mulqmod0  10265  negqmod0  10266  modqlt  10268  modqdiffl  10270  modqfrac  10272  flqmod  10273  intqfrac  10274  modqmulnn  10277  modqvalp1  10278  modqid  10284  modqcyc  10294  modqcyc2  10295  modqadd1  10296  modqaddabs  10297  modqmuladdnn0  10303  qnegmod  10304  modqadd2mod  10309  modqm1p1mod0  10310  modqmul1  10312  modqnegd  10314  modqadd12d  10315  modqsub12d  10316  q2txmodxeq0  10319  q2submod  10320  modqmulmodr  10325  modqaddmulmod  10326  modqdi  10327  modqsubdir  10328  modqeqmodmin  10329  qsqcl  10526  qsqeqor  10565  eirraplem  11717  bezoutlemnewy  11929  sqrt2irraplemnn  12111  pcqdiv  12239  pcexp  12241  pcadd  12271  qexpz  12282  4sqlem5  12312  4sqlem10  12317  logbgcd1irraplemap  13527  ex-ceil  13607  qdencn  13906  apdifflemf  13925  apdifflemr  13926  apdiff  13927