Theorem qcn 9727

Description: A rational number is a complex number. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qcn	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem qcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 9724	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2	1	sseli 3180	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℂcc 7896  ℚcq 9712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-z 9346  df-q 9713

This theorem is referenced by:  qsubcl  9731  qapne  9732  qdivcl  9736  qrevaddcl  9737  irradd  9739  irrmul  9740  irrmulap  9741  qavgle  10367  divfl0  10405  flqzadd  10407  intqfrac2  10430  flqdiv  10432  modqvalr  10436  flqpmodeq  10438  modq0  10440  mulqmod0  10441  negqmod0  10442  modqlt  10444  modqdiffl  10446  modqfrac  10448  flqmod  10449  intqfrac  10450  modqmulnn  10453  modqvalp1  10454  modqid  10460  modqcyc  10470  modqcyc2  10471  modqadd1  10472  modqaddabs  10473  modqmuladdnn0  10479  qnegmod  10480  modqadd2mod  10485  modqm1p1mod0  10486  modqmul1  10488  modqnegd  10490  modqadd12d  10491  modqsub12d  10492  q2txmodxeq0  10495  q2submod  10496  modqmulmodr  10501  modqaddmulmod  10502  modqdi  10503  modqsubdir  10504  modqeqmodmin  10505  qsqcl  10722  qsqeqor  10761  eirraplem  11961  bezoutlemnewy  12190  sqrt2irraplemnn  12374  pcqdiv  12503  pcexp  12505  pcadd  12536  pcadd2  12537  qexpz  12548  4sqlem5  12578  4sqlem10  12583  logbgcd1irraplemap  15313  ex-ceil  15480  qdencn  15784  apdifflemf  15803  apdifflemr  15804  apdiff  15805