Theorem qcn 9775

Description: A rational number is a complex number. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qcn	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem qcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 9772	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2	1	sseli 3193	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  ℂcc 7943  ℚcq 9760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-z 9393  df-q 9761

This theorem is referenced by:  qsubcl  9779  qapne  9780  qdivcl  9784  qrevaddcl  9785  irradd  9787  irrmul  9788  irrmulap  9789  qavgle  10423  divfl0  10461  flqzadd  10463  intqfrac2  10486  flqdiv  10488  modqvalr  10492  flqpmodeq  10494  modq0  10496  mulqmod0  10497  negqmod0  10498  modqlt  10500  modqdiffl  10502  modqfrac  10504  flqmod  10505  intqfrac  10506  modqmulnn  10509  modqvalp1  10510  modqid  10516  modqcyc  10526  modqcyc2  10527  modqadd1  10528  modqaddabs  10529  modqmuladdnn0  10535  qnegmod  10536  modqadd2mod  10541  modqm1p1mod0  10542  modqmul1  10544  modqnegd  10546  modqadd12d  10547  modqsub12d  10548  q2txmodxeq0  10551  q2submod  10552  modqmulmodr  10557  modqaddmulmod  10558  modqdi  10559  modqsubdir  10560  modqeqmodmin  10561  qsqcl  10778  qsqeqor  10817  eirraplem  12163  bezoutlemnewy  12392  sqrt2irraplemnn  12576  pcqdiv  12705  pcexp  12707  pcadd  12738  pcadd2  12739  qexpz  12750  4sqlem5  12780  4sqlem10  12785  logbgcd1irraplemap  15516  ex-ceil  15801  qdencn  16107  apdifflemf  16126  apdifflemr  16127  apdiff  16128