Theorem qcn 9825

Description: A rational number is a complex number. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qcn	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem qcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 9822	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2	1	sseli 3220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ℂcc 7993  ℚcq 9810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-z 9443  df-q 9811

This theorem is referenced by:  qsubcl  9829  qapne  9830  qdivcl  9834  qrevaddcl  9835  irradd  9837  irrmul  9838  irrmulap  9839  qavgle  10473  divfl0  10511  flqzadd  10513  intqfrac2  10536  flqdiv  10538  modqvalr  10542  flqpmodeq  10544  modq0  10546  mulqmod0  10547  negqmod0  10548  modqlt  10550  modqdiffl  10552  modqfrac  10554  flqmod  10555  intqfrac  10556  modqmulnn  10559  modqvalp1  10560  modqid  10566  modqcyc  10576  modqcyc2  10577  modqadd1  10578  modqaddabs  10579  modqmuladdnn0  10585  qnegmod  10586  modqadd2mod  10591  modqm1p1mod0  10592  modqmul1  10594  modqnegd  10596  modqadd12d  10597  modqsub12d  10598  q2txmodxeq0  10601  q2submod  10602  modqmulmodr  10607  modqaddmulmod  10608  modqdi  10609  modqsubdir  10610  modqeqmodmin  10611  qsqcl  10828  qsqeqor  10867  eirraplem  12283  bezoutlemnewy  12512  sqrt2irraplemnn  12696  pcqdiv  12825  pcexp  12827  pcadd  12858  pcadd2  12859  qexpz  12870  4sqlem5  12900  4sqlem10  12905  logbgcd1irraplemap  15637  ex-ceil  16048  qdencn  16354  apdifflemf  16373  apdifflemr  16374  apdiff  16375