Theorem qcn 9737

Description: A rational number is a complex number. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qcn	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem qcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 9734	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2	1	sseli 3188	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  ℂcc 7905  ℚcq 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-z 9355  df-q 9723

This theorem is referenced by:  qsubcl  9741  qapne  9742  qdivcl  9746  qrevaddcl  9747  irradd  9749  irrmul  9750  irrmulap  9751  qavgle  10382  divfl0  10420  flqzadd  10422  intqfrac2  10445  flqdiv  10447  modqvalr  10451  flqpmodeq  10453  modq0  10455  mulqmod0  10456  negqmod0  10457  modqlt  10459  modqdiffl  10461  modqfrac  10463  flqmod  10464  intqfrac  10465  modqmulnn  10468  modqvalp1  10469  modqid  10475  modqcyc  10485  modqcyc2  10486  modqadd1  10487  modqaddabs  10488  modqmuladdnn0  10494  qnegmod  10495  modqadd2mod  10500  modqm1p1mod0  10501  modqmul1  10503  modqnegd  10505  modqadd12d  10506  modqsub12d  10507  q2txmodxeq0  10510  q2submod  10511  modqmulmodr  10516  modqaddmulmod  10517  modqdi  10518  modqsubdir  10519  modqeqmodmin  10520  qsqcl  10737  qsqeqor  10776  eirraplem  12007  bezoutlemnewy  12236  sqrt2irraplemnn  12420  pcqdiv  12549  pcexp  12551  pcadd  12582  pcadd2  12583  qexpz  12594  4sqlem5  12624  4sqlem10  12629  logbgcd1irraplemap  15359  ex-ceil  15526  qdencn  15830  apdifflemf  15849  apdifflemr  15850  apdiff  15851