Theorem qcn 9632

Description: A rational number is a complex number. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qcn	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem qcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 9629	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2	1	sseli 3151	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  ℂcc 7808  ℚcq 9617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-z 9252  df-q 9618

This theorem is referenced by:  qsubcl  9636  qapne  9637  qdivcl  9641  qrevaddcl  9642  irradd  9644  irrmul  9645  qavgle  10256  divfl0  10293  flqzadd  10295  intqfrac2  10316  flqdiv  10318  modqvalr  10322  flqpmodeq  10324  modq0  10326  mulqmod0  10327  negqmod0  10328  modqlt  10330  modqdiffl  10332  modqfrac  10334  flqmod  10335  intqfrac  10336  modqmulnn  10339  modqvalp1  10340  modqid  10346  modqcyc  10356  modqcyc2  10357  modqadd1  10358  modqaddabs  10359  modqmuladdnn0  10365  qnegmod  10366  modqadd2mod  10371  modqm1p1mod0  10372  modqmul1  10374  modqnegd  10376  modqadd12d  10377  modqsub12d  10378  q2txmodxeq0  10381  q2submod  10382  modqmulmodr  10387  modqaddmulmod  10388  modqdi  10389  modqsubdir  10390  modqeqmodmin  10391  qsqcl  10588  qsqeqor  10627  eirraplem  11779  bezoutlemnewy  11991  sqrt2irraplemnn  12173  pcqdiv  12301  pcexp  12303  pcadd  12333  qexpz  12344  4sqlem5  12374  4sqlem10  12379  logbgcd1irraplemap  14280  ex-ceil  14360  qdencn  14657  apdifflemf  14676  apdifflemr  14677  apdiff  14678