Theorem qcn 9708

Description: A rational number is a complex number. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qcn	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem qcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 9705	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2	1	sseli 3179	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ℂcc 7877  ℚcq 9693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-z 9327  df-q 9694

This theorem is referenced by:  qsubcl  9712  qapne  9713  qdivcl  9717  qrevaddcl  9718  irradd  9720  irrmul  9721  irrmulap  9722  qavgle  10348  divfl0  10386  flqzadd  10388  intqfrac2  10411  flqdiv  10413  modqvalr  10417  flqpmodeq  10419  modq0  10421  mulqmod0  10422  negqmod0  10423  modqlt  10425  modqdiffl  10427  modqfrac  10429  flqmod  10430  intqfrac  10431  modqmulnn  10434  modqvalp1  10435  modqid  10441  modqcyc  10451  modqcyc2  10452  modqadd1  10453  modqaddabs  10454  modqmuladdnn0  10460  qnegmod  10461  modqadd2mod  10466  modqm1p1mod0  10467  modqmul1  10469  modqnegd  10471  modqadd12d  10472  modqsub12d  10473  q2txmodxeq0  10476  q2submod  10477  modqmulmodr  10482  modqaddmulmod  10483  modqdi  10484  modqsubdir  10485  modqeqmodmin  10486  qsqcl  10703  qsqeqor  10742  eirraplem  11942  bezoutlemnewy  12163  sqrt2irraplemnn  12347  pcqdiv  12476  pcexp  12478  pcadd  12509  pcadd2  12510  qexpz  12521  4sqlem5  12551  4sqlem10  12556  logbgcd1irraplemap  15205  ex-ceil  15372  qdencn  15671  apdifflemf  15690  apdifflemr  15691  apdiff  15692