Theorem qcn 10044

Description: A rational number is a complex number. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qcn	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem qcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 10041	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2	1	sseli 3244	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℂcc 8178  ℚcq 10029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-z 9650  df-q 10030

This theorem is used by:  qsubcl  10048  qapne  10049  qdivcl  10053  qrevaddcl  10054  irradd  10056  irraddap  10057  irrmul  10058  irrmulap  10059  qavgle  10704  divfl0  10746  flqzadd  10748  intqfrac2  10771  flqdiv  10773  modqvalr  10777  flqpmodeq  10779  modq0  10781  mulqmod0  10782  negqmod0  10783  modqlt  10785  modqdiffl  10787  modqfrac  10789  flqmod  10790  intqfrac  10791  modqmulnn  10794  modqvalp1  10795  modqid  10801  modqcyc  10811  modqcyc2  10812  modqadd1  10813  modqaddabs  10814  modqmuladdnn0  10820  qnegmod  10821  modqadd2mod  10826  modqm1p1mod0  10827  modqmul1  10829  modqnegd  10831  modqadd12d  10832  modqsub12d  10833  q2txmodxeq0  10836  q2submod  10837  modqmulmodr  10842  modqaddmulmod  10843  modqdi  10844  modqsubdir  10845  modqeqmodmin  10846  qsqcl  11063  qsqeqor  11102  eirraplem  12563  bezoutlemnewy  12792  sqrt2irraplemnn  12978  pcqdiv  13109  pcexp  13111  pcadd  13142  pcadd2  13143  qexpz  13154  4sqlem5  13184  4sqlem10  13189  logbgcd1irraplemap  16166  ex-ceil  16906  qdencn  17238  rirrdisj  17251  apdifflemf  17262  apdifflemr  17263  apdiff  17264  qdiff  17265