Theorem qcn 9593

Description: A rational number is a complex number. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qcn	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem qcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 9590	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2	1	sseli 3143	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ℂcc 7772  ℚcq 9578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-z 9213  df-q 9579

This theorem is referenced by:  qsubcl  9597  qapne  9598  qdivcl  9602  qrevaddcl  9603  irradd  9605  irrmul  9606  qavgle  10215  divfl0  10252  flqzadd  10254  intqfrac2  10275  flqdiv  10277  modqvalr  10281  flqpmodeq  10283  modq0  10285  mulqmod0  10286  negqmod0  10287  modqlt  10289  modqdiffl  10291  modqfrac  10293  flqmod  10294  intqfrac  10295  modqmulnn  10298  modqvalp1  10299  modqid  10305  modqcyc  10315  modqcyc2  10316  modqadd1  10317  modqaddabs  10318  modqmuladdnn0  10324  qnegmod  10325  modqadd2mod  10330  modqm1p1mod0  10331  modqmul1  10333  modqnegd  10335  modqadd12d  10336  modqsub12d  10337  q2txmodxeq0  10340  q2submod  10341  modqmulmodr  10346  modqaddmulmod  10347  modqdi  10348  modqsubdir  10349  modqeqmodmin  10350  qsqcl  10547  qsqeqor  10586  eirraplem  11739  bezoutlemnewy  11951  sqrt2irraplemnn  12133  pcqdiv  12261  pcexp  12263  pcadd  12293  qexpz  12304  4sqlem5  12334  4sqlem10  12339  logbgcd1irraplemap  13681  ex-ceil  13761  qdencn  14059  apdifflemf  14078  apdifflemr  14079  apdiff  14080