Theorem qcn 10043

Description: A rational number is a complex number. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qcn	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem qcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 10040	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2	1	sseli 3244	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ℂcc 8177  ℚcq 10028

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-z 9649  df-q 10029

This theorem is used by:  qsubcl  10047  qapne  10048  qdivcl  10052  qrevaddcl  10053  irradd  10055  irraddap  10056  irrmul  10057  irrmulap  10058  qavgle  10703  divfl0  10744  flqzadd  10746  intqfrac2  10769  flqdiv  10771  modqvalr  10775  flqpmodeq  10777  modq0  10779  mulqmod0  10780  negqmod0  10781  modqlt  10783  modqdiffl  10785  modqfrac  10787  flqmod  10788  intqfrac  10789  modqmulnn  10792  modqvalp1  10793  modqid  10799  modqcyc  10809  modqcyc2  10810  modqadd1  10811  modqaddabs  10812  modqmuladdnn0  10818  qnegmod  10819  modqadd2mod  10824  modqm1p1mod0  10825  modqmul1  10827  modqnegd  10829  modqadd12d  10830  modqsub12d  10831  q2txmodxeq0  10834  q2submod  10835  modqmulmodr  10840  modqaddmulmod  10841  modqdi  10842  modqsubdir  10843  modqeqmodmin  10844  qsqcl  11061  qsqeqor  11100  eirraplem  12560  bezoutlemnewy  12789  sqrt2irraplemnn  12975  pcqdiv  13106  pcexp  13108  pcadd  13139  pcadd2  13140  qexpz  13151  4sqlem5  13181  4sqlem10  13186  logbgcd1irraplemap  16124  ex-ceil  16838  qdencn  17170  apdifflemf  17193  apdifflemr  17194  apdiff  17195  qdiff  17196