Theorem qcn 9699

Description: A rational number is a complex number. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qcn	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem qcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 9696	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2	1	sseli 3175	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  ℂcc 7870  ℚcq 9684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-z 9318  df-q 9685

This theorem is referenced by:  qsubcl  9703  qapne  9704  qdivcl  9708  qrevaddcl  9709  irradd  9711  irrmul  9712  irrmulap  9713  qavgle  10327  divfl0  10365  flqzadd  10367  intqfrac2  10390  flqdiv  10392  modqvalr  10396  flqpmodeq  10398  modq0  10400  mulqmod0  10401  negqmod0  10402  modqlt  10404  modqdiffl  10406  modqfrac  10408  flqmod  10409  intqfrac  10410  modqmulnn  10413  modqvalp1  10414  modqid  10420  modqcyc  10430  modqcyc2  10431  modqadd1  10432  modqaddabs  10433  modqmuladdnn0  10439  qnegmod  10440  modqadd2mod  10445  modqm1p1mod0  10446  modqmul1  10448  modqnegd  10450  modqadd12d  10451  modqsub12d  10452  q2txmodxeq0  10455  q2submod  10456  modqmulmodr  10461  modqaddmulmod  10462  modqdi  10463  modqsubdir  10464  modqeqmodmin  10465  qsqcl  10682  qsqeqor  10721  eirraplem  11920  bezoutlemnewy  12133  sqrt2irraplemnn  12317  pcqdiv  12445  pcexp  12447  pcadd  12478  pcadd2  12479  qexpz  12490  4sqlem5  12520  4sqlem10  12525  logbgcd1irraplemap  15101  ex-ceil  15218  qdencn  15517  apdifflemf  15536  apdifflemr  15537  apdiff  15538