Theorem qcn 9868

Description: A rational number is a complex number. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qcn	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem qcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qsscn 9865	. 2 ⊢ ℚ ⊆ ℂ
2	1	sseli 3223	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ℂcc 8030  ℚcq 9853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-z 9480  df-q 9854

This theorem is referenced by:  qsubcl  9872  qapne  9873  qdivcl  9877  qrevaddcl  9878  irradd  9880  irrmul  9881  irrmulap  9882  qavgle  10519  divfl0  10557  flqzadd  10559  intqfrac2  10582  flqdiv  10584  modqvalr  10588  flqpmodeq  10590  modq0  10592  mulqmod0  10593  negqmod0  10594  modqlt  10596  modqdiffl  10598  modqfrac  10600  flqmod  10601  intqfrac  10602  modqmulnn  10605  modqvalp1  10606  modqid  10612  modqcyc  10622  modqcyc2  10623  modqadd1  10624  modqaddabs  10625  modqmuladdnn0  10631  qnegmod  10632  modqadd2mod  10637  modqm1p1mod0  10638  modqmul1  10640  modqnegd  10642  modqadd12d  10643  modqsub12d  10644  q2txmodxeq0  10647  q2submod  10648  modqmulmodr  10653  modqaddmulmod  10654  modqdi  10655  modqsubdir  10656  modqeqmodmin  10657  qsqcl  10874  qsqeqor  10913  eirraplem  12356  bezoutlemnewy  12585  sqrt2irraplemnn  12769  pcqdiv  12898  pcexp  12900  pcadd  12931  pcadd2  12932  qexpz  12943  4sqlem5  12973  4sqlem10  12978  logbgcd1irraplemap  15712  ex-ceil  16369  qdencn  16682  apdifflemf  16701  apdifflemr  16702  apdiff  16703  qdiff  16704