ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqsubmodmod GIF version

Theorem modqsubmodmod 10291
Description: The difference of a number modulo a modulus and another number modulo the same modulus equals the difference of the two numbers modulo the modulus. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqsubmodmod (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) − (𝐵 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐴𝐵) mod 𝑀))

Proof of Theorem modqsubmodmod
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℚ)
2 simprl 521 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℚ)
3 simprr 522 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 < 𝑀)
41, 2, 3modqcld 10236 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℚ)
5 simplr 520 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → 𝐵 ∈ ℚ)
65, 2, 3modqcld 10236 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (𝐵 mod 𝑀) ∈ ℚ)
7 modqabs2 10266 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 mod 𝑀) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
81, 2, 3, 7syl3anc 1220 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐴 mod 𝑀) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
9 modqabs2 10266 . . 3 ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐵 mod 𝑀) mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))
105, 2, 3, 9syl3anc 1220 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝐵 mod 𝑀) mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀))
114, 1, 6, 5, 2, 3, 8, 10modqsub12d 10289 1 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀)) → (((𝐴 mod 𝑀) − (𝐵 mod 𝑀)) mod 𝑀) = ((𝐴𝐵) mod 𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826  0cc0 7734   < clt 7914  cmin 8050  cq 9534   mod cmo 10230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-n0 9096  df-z 9173  df-q 9535  df-rp 9567  df-fl 10178  df-mod 10231
This theorem is referenced by:  addmodlteq  10306  modprm0  12144
  Copyright terms: Public domain W3C validator