Theorem modqcld 9884

Description: Closure law for the modulo operation. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
modqcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
modqcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
modqcld.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
modqcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℚ)

Proof of Theorem modqcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modqcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
2		modqcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℚ)
3		modqcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
4		modqcl 9882	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℚ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1181	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690  0cc0 7447   < clt 7619  ℚcq 9203   mod cmo 9878

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-q 9204  df-rp 9234  df-fl 9826  df-mod 9879

This theorem is referenced by:  modqabs  9913  modqaddabs  9918  modqaddmod  9919  modqmuladdim  9923  modqmuladdnn0  9924  modqadd2mod  9930  modqltm1p1mod  9932  modqsubmod  9938  modqsubmodmod  9939  modqmulmod  9945  modqmulmodr  9946  modqaddmulmod  9947  modqsubdir  9949  addmodlteq  9954  divalgmod  11354  bezoutlemnewy  11412  crth  11627  phimullem  11628