ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sincossq GIF version

Theorem sincossq 11759
Description: Sine squared plus cosine squared is 1. Equation 17 of [Gleason] p. 311. Note that this holds for non-real arguments, even though individually each term is unbounded. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
sincossq (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)

Proof of Theorem sincossq
StepHypRef Expression
1 negcl 8160 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2 cosadd 11748 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
31, 2mpdan 421 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
4 negid 8207 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
54fveq2d 5521 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (cos‘0))
6 cos0 11741 . . 3 (cos‘0) = 1
75, 6eqtrdi 2226 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = 1)
8 sincl 11717 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
98sqcld 10655 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
10 coscl 11718 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
1110sqcld 10655 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
129, 11addcomd 8111 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
1310sqvald 10654 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
14 cosneg 11738 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
1514oveq2d 5894 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
1613, 15eqtr4d 2213 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)))
178sqvald 10654 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
18 sinneg 11737 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
1918negeqd 8155 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘-𝐴) = --(sin‘𝐴))
208negnegd 8262 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → --(sin‘𝐴) = (sin‘𝐴))
2119, 20eqtrd 2210 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘-𝐴) = (sin‘𝐴))
2221oveq2d 5894 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
2317, 22eqtr4d 2213 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)))
241sincld 11721 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) ∈ ℂ)
258, 24mulneg2d 8372 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)) = -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)))
2623, 25eqtrd 2210 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)))
2716, 26oveq12d 5896 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
281coscld 11722 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) ∈ ℂ)
2910, 28mulcld 7981 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) ∈ ℂ)
308, 24mulcld 7981 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)) ∈ ℂ)
3129, 30negsubd 8277 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
3212, 27, 313eqtrrd 2215 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
333, 7, 323eqtr3rd 2219 1 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5218  (class class class)co 5878  cc 7812  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   · cmul 7819  cmin 8131  -cneg 8132  2c2 8973  cexp 10522  sincsin 11655  cosccos 11656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-sup 6986  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-ico 9897  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-bc 10731  df-ihash 10759  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365  df-ef 11659  df-sin 11661  df-cos 11662
This theorem is referenced by:  cos2t  11761  cos2tsin  11762  sinbnd  11763  cosbnd  11764  absefi  11779  sinhalfpilem  14352  sincos6thpi  14403
  Copyright terms: Public domain W3C validator