Theorem mulgsubcl 13206

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnnsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnnsubcl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnnsubcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgnnsubcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
mulgnnsubcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
mulgnnsubcl.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
mulgnn0subcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulgnn0subcl.c	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
mulgsubcl.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
mulgsubcl.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mulgsubcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, ·   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝐼(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnnsubcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnnsubcl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		mulgnnsubcl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		mulgnnsubcl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		mulgnnsubcl.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6		mulgnnsubcl.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7		mulgnn0subcl.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		mulgnn0subcl.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mulgnn0subcl 13205	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
10	9	3expa 1205	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
11	10	an32s 568	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
12	11	3adantl2 1156	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
13		simp2 1000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 9440	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	negnegd 8321	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
17	16	oveq1d 5933	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
18		id 19	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ)
19	5	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
20		simp3 1001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
21	19, 20	sseldd 3180	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22		mulgsubcl.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
23	1, 2, 22	mulgnegnn 13202	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
24	18, 21, 23	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
25	17, 24	eqtr3d 2228	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
26		fveq2 5554	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (-𝑁 · 𝑋) → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
27	26	eleq1d 2262	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (-𝑁 · 𝑋) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝑆))
28		mulgsubcl.c	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
29	28	ralrimiva 2567	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
30	29	3ad2ant1 1020	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
31	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6	mulgnnsubcl 13204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
33	32	3expa 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
34	33	an32s 568	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
35	34	3adantl2 1156	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
36	27, 31, 35	rspcdva 2869	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝑆)
37	25, 36	eqeltrd 2270	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
38	37	adantrl 478	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
39		elznn0nn 9331	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
40	13, 39	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
41	12, 38, 40	mpjaodan 799	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   ⊆ wss 3153  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℝcr 7871  -cneg 8191  ℕcn 8982  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  0_gc0g 12867  inv_gcminusg 13073  ._gcmg 13189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-minusg 13076  df-mulg 13190

This theorem is referenced by:  mulgcl  13209  subgmulgcl  13257