Theorem mulgsubcl 13710

Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnnsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnnsubcl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnnsubcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
mulgnnsubcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
mulgnnsubcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
mulgnnsubcl.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
mulgnn0subcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulgnn0subcl.c	⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
mulgsubcl.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
mulgsubcl.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mulgsubcl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, ·   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   · (𝑦)   𝐼(𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mulgsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgnnsubcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		mulgnnsubcl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		mulgnnsubcl.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		mulgnnsubcl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
5		mulgnnsubcl.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
6		mulgnnsubcl.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7		mulgnn0subcl.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		mulgnn0subcl.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mulgnn0subcl 13709	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
10	9	3expa 1227	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
11	10	an32s 568	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
12	11	3adantl2 1178	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
13		simp2 1022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	zcnd 9591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
16	15	negnegd 8469	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → --𝑁 = 𝑁)
17	16	oveq1d 6026	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
18		id 19	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ)
19	5	3ad2ant1 1042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
20		simp3 1023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
21	19, 20	sseldd 3226	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22		mulgsubcl.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
23	1, 2, 22	mulgnegnn 13706	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
24	18, 21, 23	syl2anr 290	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
25	17, 24	eqtr3d 2264	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
26		fveq2 5633	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (-𝑁 · 𝑋) → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
27	26	eleq1d 2298	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (-𝑁 · 𝑋) → ((𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝑆))
28		mulgsubcl.c	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
29	28	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
30	29	3ad2ant1 1042	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
31	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐼‘𝑥) ∈ 𝑆)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6	mulgnnsubcl 13708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
33	32	3expa 1227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
34	33	an32s 568	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
35	34	3adantl2 1178	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
36	27, 31, 35	rspcdva 2913	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) ∈ 𝑆)
37	25, 36	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
38	37	adantrl 478	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)
39		elznn0nn 9481	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
40	13, 39	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
41	12, 38, 40	mpjaodan 803	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3198  ‘cfv 5322  (class class class)co 6011  ℝcr 8019  -cneg 8339  ℕcn 9131  ℕ₀cn0 9390  ℤcz 9467  Basecbs 13069  +_gcplusg 13147  0_gc0g 13326  inv_gcminusg 13571  ._gcmg 13693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltwlin 8133  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-iord 4459  df-on 4461  df-ilim 4462  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-frec 6550  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-inn 9132  df-2 9190  df-n0 9391  df-z 9468  df-uz 9744  df-seqfrec 10698  df-ndx 13072  df-slot 13073  df-base 13075  df-plusg 13160  df-0g 13328  df-minusg 13574  df-mulg 13694

This theorem is referenced by:  mulgcl  13713  subgmulgcl  13761