Theorem minabs 11244

Description: The minimum of two real numbers in terms of absolute value. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
minabs	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))

Proof of Theorem minabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minmax 11238	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
2		renegcl 8218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3		renegcl 8218	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
4		maxabs 11218	. . . . 5 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = (((-𝐴 + -𝐵) + (abs‘(-𝐴 − -𝐵))) / 2))
5	2, 3, 4	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = (((-𝐴 + -𝐵) + (abs‘(-𝐴 − -𝐵))) / 2))
6	5	negeqd 8152	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -(((-𝐴 + -𝐵) + (abs‘(-𝐴 − -𝐵))) / 2))
7	1, 6	eqtrd 2210	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -(((-𝐴 + -𝐵) + (abs‘(-𝐴 − -𝐵))) / 2))
8		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	recnd 7986	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	negcld 8255	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℂ)
11		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	recnd 7986	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	negcld 8255	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐵 ∈ ℂ)
14	10, 13	addcld 7977	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 + -𝐵) ∈ ℂ)
15	10, 13	subcld 8268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 − -𝐵) ∈ ℂ)
16	15	abscld 11190	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(-𝐴 − -𝐵)) ∈ ℝ)
17	16	recnd 7986	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(-𝐴 − -𝐵)) ∈ ℂ)
18	14, 17	addcld 7977	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((-𝐴 + -𝐵) + (abs‘(-𝐴 − -𝐵))) ∈ ℂ)
19		2cnd 8992	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
20		2ap0 9012	. . . 4 ⊢ 2 # 0
21	20	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 2 # 0)
22	18, 19, 21	divnegapd 8760	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -(((-𝐴 + -𝐵) + (abs‘(-𝐴 − -𝐵))) / 2) = (-((-𝐴 + -𝐵) + (abs‘(-𝐴 − -𝐵))) / 2))
23	14, 17	negdi2d 8282	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -((-𝐴 + -𝐵) + (abs‘(-𝐴 − -𝐵))) = (-(-𝐴 + -𝐵) − (abs‘(-𝐴 − -𝐵))))
24	10, 13	negdid 8281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -(-𝐴 + -𝐵) = (--𝐴 + --𝐵))
25	9	negnegd 8259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → --𝐴 = 𝐴)
26	12	negnegd 8259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → --𝐵 = 𝐵)
27	25, 26	oveq12d 5893	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (--𝐴 + --𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
28	24, 27	eqtrd 2210	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -(-𝐴 + -𝐵) = (𝐴 + 𝐵))
29	9, 12	neg2subd 8285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 − -𝐵) = (𝐵 − 𝐴))
30	29	fveq2d 5520	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(-𝐴 − -𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
31	9, 12	abssubd 11202	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
32	30, 31	eqtr4d 2213	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (abs‘(-𝐴 − -𝐵)) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
33	28, 32	oveq12d 5893	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-(-𝐴 + -𝐵) − (abs‘(-𝐴 − -𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
34	23, 33	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -((-𝐴 + -𝐵) + (abs‘(-𝐴 − -𝐵))) = ((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
35	34	oveq1d 5890	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-((-𝐴 + -𝐵) + (abs‘(-𝐴 − -𝐵))) / 2) = (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))
36	7, 22, 35	3eqtrd 2214	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = (((𝐴 + 𝐵) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cpr 3594   class class class wbr 4004  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  supcsup 6981  infcinf 6982  ℝcr 7810  0cc0 7811   + caddc 7814   < clt 7992   − cmin 8128  -cneg 8129   # cap 8538   / cdiv 8629  2c2 8970  abscabs 11006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008

This theorem is referenced by:  bdtri  11248