Theorem pfxfv0 11392

Description: The first symbol of a prefix is the first symbol of the word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jun-2018.) (Revised by AV, 3-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxfv0	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem pfxfv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		fz1ssfz0 10458	. . . 4 ⊢ (1...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊))
3	2	sseli 3236	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
4	3	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
5		elfznn 10394	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ)
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝐿 ∈ ℕ)
7		lbfzo0 10526	. . 3 ⊢ (0 ∈ (0..^𝐿) ↔ 𝐿 ∈ ℕ)
8	6, 7	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 0 ∈ (0..^𝐿))
9		pfxfv 11384	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 0 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘0) = (𝑊‘0))
10	1, 4, 8, 9	syl3anc 1274	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 prefix 𝐿)‘0) = (𝑊‘0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  0cc0 8132  1c1 8133  ℕcn 9242  ...cfz 10348  ..^cfzo 10483  ♯chash 11146  Word cword 11232   prefix cpfx 11372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-1o 6649  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-ihash 11147  df-word 11233  df-substr 11346  df-pfx 11373

This theorem is referenced by: (None)