Theorem prdsbas2 14124

Description: The base set of a structure product is an indexed set product. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsbas2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Proof of Theorem prdsbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsbasmpt.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3		prdsbasmpt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
4		prdsbasmpt.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		fnex 5911	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7		prdsbasmpt.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	3	fndmd 5462	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
9	1, 2, 6, 7, 8	prdsbas 14121	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   Fn wfn 5352  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Xcixp 6946  Basecbs 13299  X_scprds 14114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-ixp 6947  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-z 9598  df-dec 9731  df-uz 9875  df-fz 10365  df-struct 13301  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-sca 13393  df-vsca 13394  df-ip 13395  df-tset 13396  df-ple 13397  df-ds 13399  df-hom 13401  df-cco 13402  df-rest 13541  df-topn 13542  df-topgen 13560  df-pt 13561  df-prds 14115

This theorem is referenced by:  prdsbasmpt  14125  prdsbasfn  14126  prdsbasprj  14127  prdsbas3  14132