Theorem prdsbasprj 13189

Description: Each point in a structure product restricts on each coordinate to the relevant base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsbasmpt.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
prdsbasprj.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsbasprj	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐽) ∈ (Base‘(𝑅‘𝐽)))

Proof of Theorem prdsbasprj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5589	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐽))
2		2fveq3 5594	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝐽)))
3	1, 2	eleq12d 2277	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → ((𝑇‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)) ↔ (𝑇‘𝐽) ∈ (Base‘(𝑅‘𝐽))))
4		prdsbasmpt.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
5		prdsbasmpt.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
6		prdsbasmpt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
7		prdsbasmpt.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
8		prdsbasmpt.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
9		prdsbasmpt.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
10	5, 6, 7, 8, 9	prdsbas2 13186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))
11	4, 10	eleqtrd 2285	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))
12		elixp2 6802	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)) ↔ (𝑇 ∈ V ∧ 𝑇 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑇‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))))
13	12	simp3bi 1017	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑇‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
14	11, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑇‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
15		prdsbasprj.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
16	3, 14, 15	rspcdva 2886	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐽) ∈ (Base‘(𝑅‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  Vcvv 2773   Fn wfn 5275  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Xcixp 6798  Basecbs 12907  X_scprds 13172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-map 6750  df-ixp 6799  df-sup 7101  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122  df-n0 9316  df-z 9393  df-dec 9525  df-uz 9669  df-fz 10151  df-struct 12909  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-sca 13000  df-vsca 13001  df-ip 13002  df-tset 13003  df-ple 13004  df-ds 13006  df-hom 13008  df-cco 13009  df-rest 13148  df-topn 13149  df-topgen 13167  df-pt 13168  df-prds 13174

This theorem is referenced by:  prdsplusgsgrpcl  13321  prdssgrpd  13322  prdsplusgcl  13353  prdsidlem  13354  prdsmndd  13355  prdsinvlem  13515