Theorem prdsbasprj 12984

Description: Each point in a structure product restricts on each coordinate to the relevant base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsbasmpt.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
prdsbasprj.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsbasprj	⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐽) ∈ (Base‘(𝑅‘𝐽)))

Proof of Theorem prdsbasprj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5561	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐽))
2		2fveq3 5566	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝐽)))
3	1, 2	eleq12d 2267	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → ((𝑇‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)) ↔ (𝑇‘𝐽) ∈ (Base‘(𝑅‘𝐽))))
4		prdsbasmpt.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
5		prdsbasmpt.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
6		prdsbasmpt.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
7		prdsbasmpt.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
8		prdsbasmpt.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
9		prdsbasmpt.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
10	5, 6, 7, 8, 9	prdsbas2 12981	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))
11	4, 10	eleqtrd 2275	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))
12		elixp2 6770	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)) ↔ (𝑇 ∈ V ∧ 𝑇 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑇‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥))))
13	12	simp3bi 1016	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑇‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
14	11, 13	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝑇‘𝑥) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑥)))
15		prdsbasprj.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
16	3, 14, 15	rspcdva 2873	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘𝐽) ∈ (Base‘(𝑅‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  Vcvv 2763   Fn wfn 5254  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Xcixp 6766  Basecbs 12703  X_scprds 12967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-ixp 6767  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-fz 10101  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-ip 12798  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-hom 12804  df-cco 12805  df-rest 12943  df-topn 12944  df-topgen 12962  df-pt 12963  df-prds 12969

This theorem is referenced by:  prdsplusgsgrpcl  13116  prdssgrpd  13117  prdsplusgcl  13148  prdsidlem  13149  prdsmndd  13150  prdsinvlem  13310