Theorem znlidl 14911

Description: The set 𝑛ℤ is an ideal in ℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
znval.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
znlidl	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))

Proof of Theorem znlidl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zringring 14870	. 2 ⊢ ℤring ∈ Ring
2		snssi 3843	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → {𝑁} ⊆ ℤ)
3		znval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
4		zringbas 14873	. . 3 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
5		eqid 2234	. . 3 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
6	3, 4, 5	rspcl 14768	. 2 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ {𝑁} ⊆ ℤ) → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
7	1, 2, 6	sylancr 414	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214  {csn 3694  ‘cfv 5357  ℤcz 9597  Ringcrg 14242  LIdealclidl 14744  RSpancrsp 14745  ℤ_ringczring 14867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-z 9598  df-dec 9731  df-uz 9875  df-rp 10008  df-fz 10365  df-cj 11555  df-abs 11712  df-struct 13301  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-iress 13307  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-starv 13392  df-sca 13393  df-vsca 13394  df-ip 13395  df-tset 13396  df-ple 13397  df-ds 13399  df-unif 13400  df-0g 13558  df-topgen 13560  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-grp 13761  df-minusg 13762  df-sbg 13763  df-subg 13926  df-cmn 14042  df-mgp 14163  df-ur 14206  df-ring 14244  df-cring 14245  df-subrg 14468  df-lmod 14566  df-lssm 14630  df-lsp 14664  df-sra 14712  df-rgmod 14713  df-lidl 14746  df-rsp 14747  df-bl 14823  df-mopn 14824  df-fg 14826  df-metu 14827  df-cnfld 14834  df-zring 14868

This theorem is referenced by:  zncrng2  14912  znzrh2  14923