Theorem 1idssfct 16654

Description: The positive divisors of a positive integer include 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
1idssfct	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})

Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem 1idssfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12256	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nnz 12612	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1dvds 16251	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑁)
5		breq1 5152	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ∥ 𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
6	5	elrab 3679	. . . 4 ⊢ (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁} ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁))
7	6	biimpri 227	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁) → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
8	1, 4, 7	sylancr 585	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
9		iddvds 16250	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∥ 𝑁)
10	2, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∥ 𝑁)
11		breq1 5152	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 ∥ 𝑁))
12	11	elrab 3679	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁} ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑁))
13	12	biimpri 227	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
14	10, 13	mpdan 685	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})
15	8, 14	prssd 4827	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑁})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  {crab 3418   ⊆ wss 3944  {cpr 4632   class class class wbr 5149  1c1 11141  ℕcn 12245  ℤcz 12591   ∥ cdvds 16234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-neg 11479  df-nn 12246  df-z 12592  df-dvds 16235

This theorem is referenced by:  isprm2  16656