MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1idssfct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1idssfct 16658
Description: The positive divisors of a positive integer include 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
1idssfct (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem 1idssfct
StepHypRef Expression
1 1nn 12261 . . 3 1 ∈ ℕ
2 nnz 12617 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3 1dvds 16255 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑁)
5 breq1 5155 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
65elrab 3684 . . . 4 (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁))
76biimpri 227 . . 3 ((1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁) → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
81, 4, 7sylancr 585 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
9 iddvds 16254 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
102, 9syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁𝑁)
11 breq1 5155 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑁𝑁𝑁))
1211elrab 3684 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑁))
1312biimpri 227 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑁) → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
1410, 13mpdan 685 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
158, 14prssd 4830 1 (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  {crab 3430  wss 3949  {cpr 4634   class class class wbr 5152  1c1 11147  cn 12250  cz 12596  cdvds 16238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-neg 11485  df-nn 12251  df-z 12597  df-dvds 16239
This theorem is referenced by:  isprm2  16660
  Copyright terms: Public domain W3C validator