MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1idssfct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1idssfct 16717
Description: The positive divisors of a positive integer include 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
1idssfct (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem 1idssfct
StepHypRef Expression
1 1nn 12277 . . 3 1 ∈ ℕ
2 nnz 12634 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3 1dvds 16308 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑁)
5 breq1 5146 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
65elrab 3692 . . . 4 (1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁))
76biimpri 228 . . 3 ((1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁) → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
81, 4, 7sylancr 587 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
9 iddvds 16307 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
102, 9syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁𝑁)
11 breq1 5146 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝑁𝑁𝑁))
1211elrab 3692 . . . 4 (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁} ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑁))
1312biimpri 228 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁𝑁) → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
1410, 13mpdan 687 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
158, 14prssd 4822 1 (𝑁 ∈ ℕ → {1, 𝑁} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑁})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  {crab 3436  wss 3951  {cpr 4628   class class class wbr 5143  1c1 11156  cn 12266  cz 12613  cdvds 16290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-neg 11495  df-nn 12267  df-z 12614  df-dvds 16291
This theorem is referenced by:  isprm2  16719
  Copyright terms: Public domain W3C validator