Theorem isprm2 16647

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. Definition in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nprm 16644	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
2		eleq1 2817	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
3	2	biimpcd 248	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 1 → 1 ∈ ℙ))
4	1, 3	mtoi 198	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 1)
5	4	neqned 2943	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 1)
6	5	pm4.71i 559	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1))
7		isprm 16638	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o))
8		isprm2lem 16646	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
9		eqss 3994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} ↔ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃}))
10	9	imbi2i 336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})))
11		1idssfct 16645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})
12		jcab 517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})))
13	11, 12	mpbiran2 709	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
14	10, 13	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
15	14	pm5.74ri 272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
17	8, 16	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
18	17	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
19	18	pm5.32d 576	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ 1 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
20	7, 19	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
21	20	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1))
22		ancom 460	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
23		anass 468	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
24	22, 23	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
25		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
26		eluz2b3 12931	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
27	25, 26	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
28	27	anbi1i 623	. . 3 ⊢ (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
29		dfss2 3965	. . . . 5 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}))
30		breq1 5146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 ∥ 𝑃 ↔ 𝑧 ∥ 𝑃))
31	30	elrab 3681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃))
32		vex 3474	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
33	32	elpr 4648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {1, 𝑃} ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
34	31, 33	imbi12i 350	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
35		impexp 450	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
36	34, 35	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
37	36	albii 1814	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
38		df-ral 3058	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
39	37, 38	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
40	29, 39	bitri 275	. . . 4 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
41	40	anbi2i 622	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
42	24, 28, 41	3bitri 297	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
43	6, 21, 42	3bitri 297	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846  ∀wal 1532   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  ∀wral 3057  {crab 3428   ⊆ wss 3945  {cpr 4627   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  2_oc2o 8475   ≈ cen 8955  1c1 11134  ℕcn 12237  2c2 12292  ℤ_≥cuz 12847   ∥ cdvds 16225  ℙcprime 16636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-dvds 16226  df-prm 16637

This theorem is referenced by:  isprm3  16648  isprm4  16649  dvdsprime  16652  coprm  16676  isprm6  16679  ablsimpgprmd  20066  prmirredlem  21392  znidomb  21489  perfectlem2  27157  perfectALTVlem2  47053