MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm2 16563
Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. Definition in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nprm 16560 . . . . 5 ¬ 1 ∈ ℙ
2 eleq1 2822 . . . . . 6 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
32biimpcd 249 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 1 → 1 ∈ ℙ))
41, 3mtoi 198 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 1)
54neqned 2947 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 1)
65pm4.71i 561 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1))
7 isprm 16554 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o))
8 isprm2lem 16562 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
9 eqss 3960 . . . . . . . . . . 11 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} ↔ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃}))
109imbi2i 336 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})))
11 1idssfct 16561 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})
12 jcab 519 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})))
1311, 12mpbiran2 709 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
1410, 13bitri 275 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
1514pm5.74ri 272 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
178, 16bitrd 279 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
1817expcom 415 . . . . 5 (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
1918pm5.32d 578 . . . 4 (𝑃 ≠ 1 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
207, 19bitrid 283 . . 3 (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
2120pm5.32ri 577 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1))
22 ancom 462 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
23 anass 470 . . . 4 (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
2422, 23bitr4i 278 . . 3 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
25 ancom 462 . . . . 5 ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
26 eluz2b3 12852 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
2725, 26bitr4i 278 . . . 4 ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2827anbi1i 625 . . 3 (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
29 dfss2 3931 . . . . 5 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}))
30 breq1 5109 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑧 → (𝑛𝑃𝑧𝑃))
3130elrab 3646 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃))
32 vex 3448 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
3332elpr 4610 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {1, 𝑃} ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
3431, 33imbi12i 351 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
35 impexp 452 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3634, 35bitri 275 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3736albii 1822 . . . . . 6 (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
38 df-ral 3062 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3937, 38bitr4i 278 . . . . 5 (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
4029, 39bitri 275 . . . 4 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
4140anbi2i 624 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
4224, 28, 413bitri 297 . 2 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
436, 21, 423bitri 297 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  wal 1540   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  {crab 3406  wss 3911  {cpr 4589   class class class wbr 5106  cfv 6497  2oc2o 8407  cen 8883  1c1 11057  cn 12158  2c2 12213  cuz 12768  cdvds 16141  cprime 16552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-prm 16553
This theorem is referenced by:  isprm3  16564  isprm4  16565  dvdsprime  16568  coprm  16592  isprm6  16595  ablsimpgprmd  19899  prmirredlem  20909  znidomb  20984  perfectlem2  26594  perfectALTVlem2  46000
  Copyright terms: Public domain W3C validator