Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm2 16024
 Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. Definition in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nprm 16021 . . . . 5 ¬ 1 ∈ ℙ
2 eleq1 2903 . . . . . 6 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
32biimpcd 252 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 1 → 1 ∈ ℙ))
41, 3mtoi 202 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 1)
54neqned 3021 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 1)
65pm4.71i 563 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1))
7 isprm 16015 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o))
8 isprm2lem 16023 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
9 eqss 3968 . . . . . . . . . . 11 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} ↔ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃}))
109imbi2i 339 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})))
11 1idssfct 16022 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})
12 jcab 521 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})))
1311, 12mpbiran2 709 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
1410, 13bitri 278 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
1514pm5.74ri 275 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
1615adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
178, 16bitrd 282 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
1817expcom 417 . . . . 5 (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
1918pm5.32d 580 . . . 4 (𝑃 ≠ 1 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
207, 19syl5bb 286 . . 3 (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
2120pm5.32ri 579 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1))
22 ancom 464 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
23 anass 472 . . . 4 (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
2422, 23bitr4i 281 . . 3 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
25 ancom 464 . . . . 5 ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
26 eluz2b3 12319 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
2725, 26bitr4i 281 . . . 4 ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2827anbi1i 626 . . 3 (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
29 dfss2 3939 . . . . 5 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}))
30 breq1 5055 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑧 → (𝑛𝑃𝑧𝑃))
3130elrab 3666 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃))
32 vex 3483 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
3332elpr 4573 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {1, 𝑃} ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
3431, 33imbi12i 354 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
35 impexp 454 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3634, 35bitri 278 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3736albii 1821 . . . . . 6 (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
38 df-ral 3138 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3937, 38bitr4i 281 . . . . 5 (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
4029, 39bitri 278 . . . 4 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
4140anbi2i 625 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
4224, 28, 413bitri 300 . 2 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
436, 21, 423bitri 300 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  {crab 3137   ⊆ wss 3919  {cpr 4552   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  2oc2o 8092   ≈ cen 8502  1c1 10536  ℕcn 11634  2c2 11689  ℤ≥cuz 12240   ∥ cdvds 15607  ℙcprime 16013 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-prm 16014 This theorem is referenced by:  isprm3  16025  isprm4  16026  dvdsprime  16029  coprm  16053  isprm6  16056  ablsimpgprmd  19237  prmirredlem  20193  znidomb  20260  perfectlem2  25821  perfectALTVlem2  44171
 Copyright terms: Public domain W3C validator