MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm2 16624
Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. Definition in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
isprm2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nprm 16621 . . . . 5 ¬ 1 ∈ ℙ
2 eleq1 2815 . . . . . 6 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
32biimpcd 248 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 1 → 1 ∈ ℙ))
41, 3mtoi 198 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 1)
54neqned 2941 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 1)
65pm4.71i 559 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1))
7 isprm 16615 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o))
8 isprm2lem 16623 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}))
9 eqss 3992 . . . . . . . . . . 11 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} ↔ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃}))
109imbi2i 336 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})))
11 1idssfct 16622 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})
12 jcab 517 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})))
1311, 12mpbiran2 707 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃})) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
1410, 13bitri 275 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
1514pm5.74ri 272 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
178, 16bitrd 279 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
1817expcom 413 . . . . 5 (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
1918pm5.32d 576 . . . 4 (𝑃 ≠ 1 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ≈ 2o) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
207, 19bitrid 283 . . 3 (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
2120pm5.32ri 575 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1))
22 ancom 460 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
23 anass 468 . . . 4 (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
2422, 23bitr4i 278 . . 3 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
25 ancom 460 . . . . 5 ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
26 eluz2b3 12907 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
2725, 26bitr4i 278 . . . 4 ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2827anbi1i 623 . . 3 (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
29 dfss2 3963 . . . . 5 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}))
30 breq1 5144 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑧 → (𝑛𝑃𝑧𝑃))
3130elrab 3678 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃))
32 vex 3472 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
3332elpr 4646 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {1, 𝑃} ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
3431, 33imbi12i 350 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
35 impexp 450 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3634, 35bitri 275 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3736albii 1813 . . . . . 6 (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
38 df-ral 3056 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
3937, 38bitr4i 278 . . . . 5 (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
4029, 39bitri 275 . . . 4 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
4140anbi2i 622 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
4224, 28, 413bitri 297 . 2 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
436, 21, 423bitri 297 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  {crab 3426  wss 3943  {cpr 4625   class class class wbr 5141  cfv 6536  2oc2o 8458  cen 8935  1c1 11110  cn 12213  2c2 12268  cuz 12823  cdvds 16202  cprime 16613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-prm 16614
This theorem is referenced by:  isprm3  16625  isprm4  16626  dvdsprime  16629  coprm  16653  isprm6  16656  ablsimpgprmd  20035  prmirredlem  21355  znidomb  21452  perfectlem2  27114  perfectALTVlem2  46943
  Copyright terms: Public domain W3C validator