Theorem isprm2 16315

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. Definition in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nprm 16312	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
2		eleq1 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
3	2	biimpcd 248	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 1 → 1 ∈ ℙ))
4	1, 3	mtoi 198	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 1)
5	4	neqned 2949	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 1)
6	5	pm4.71i 559	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1))
7		isprm 16306	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o))
8		isprm2lem 16314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
9		eqss 3932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} ↔ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃}))
10	9	imbi2i 335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})))
11		1idssfct 16313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})
12		jcab 517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})))
13	11, 12	mpbiran2 706	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
14	10, 13	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
15	14	pm5.74ri 271	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
17	8, 16	bitrd 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
18	17	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
19	18	pm5.32d 576	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ 1 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
20	7, 19	syl5bb 282	. . 3 ⊢ (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
21	20	pm5.32ri 575	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1))
22		ancom 460	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
23		anass 468	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
24	22, 23	bitr4i 277	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
25		ancom 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
26		eluz2b3 12591	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
27	25, 26	bitr4i 277	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
28	27	anbi1i 623	. . 3 ⊢ (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
29		dfss2 3903	. . . . 5 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}))
30		breq1 5073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 ∥ 𝑃 ↔ 𝑧 ∥ 𝑃))
31	30	elrab 3617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃))
32		vex 3426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
33	32	elpr 4581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {1, 𝑃} ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
34	31, 33	imbi12i 350	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
35		impexp 450	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
36	34, 35	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
37	36	albii 1823	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
38		df-ral 3068	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
39	37, 38	bitr4i 277	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
40	29, 39	bitri 274	. . . 4 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
41	40	anbi2i 622	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
42	24, 28, 41	3bitri 296	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
43	6, 21, 42	3bitri 296	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843  ∀wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  {crab 3067   ⊆ wss 3883  {cpr 4560   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  2_oc2o 8261   ≈ cen 8688  1c1 10803  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤ_≥cuz 12511   ∥ cdvds 15891  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-prm 16305

This theorem is referenced by:  isprm3  16316  isprm4  16317  dvdsprime  16320  coprm  16344  isprm6  16347  ablsimpgprmd  19633  prmirredlem  20606  znidomb  20681  perfectlem2  26283  perfectALTVlem2  45062