Theorem isprm2 16837

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. Definition in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm2	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm2

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nprm 16834	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 ∈ ℙ
2		eleq1 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
3	2	biimpcd 252	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 1 → 1 ∈ ℙ))
4	1, 3	mtoi 202	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 = 1)
5	4	neqned 2963	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≠ 1)
6	5	pm4.71i 569	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1))
7		isprm 16828	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o))
8		isprm2lem 16836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}))
9		eqss 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} ↔ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃}))
10	9	imbi2i 339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})))
11		1idssfct 16835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})
12		jcab 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ (𝑃 ∈ ℕ → {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})))
13	11, 12	mpbiran2 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ∧ {1, 𝑃} ⊆ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃})) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
14	10, 13	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ ℕ → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
15	14	pm5.74ri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} = {1, 𝑃} ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
17	8, 16	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1) → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
18	17	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℕ → ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
19	18	pm5.32d 588	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ 1 → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ≈ 2o) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
20	7, 19	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝑃 ≠ 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
21	20	pm5.32ri 586	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1))
22		ancom 466	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
23		anass 474	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ≠ 1 ∧ (𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃})))
24	22, 23	bitr4i 281	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
25		ancom 466	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
26		eluz2b3 13030	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ≠ 1))
27	25, 26	bitr4i 281	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ↔ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
28	27	anbi1i 636	. . 3 ⊢ (((𝑃 ≠ 1 ∧ 𝑃 ∈ ℕ) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}))
29		df-ss 3916	. . . . 5 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}))
30		breq1 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 ∥ 𝑃 ↔ 𝑧 ∥ 𝑃))
31	30	elrab 3645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃))
32		vex 3455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
33	32	elpr 4609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {1, 𝑃} ↔ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
34	31, 33	imbi12i 353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
35		impexp 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
36	34, 35	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
37	36	albii 1852	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
38		df-ral 3078	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧(𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
39	37, 38	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧(𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} → 𝑧 ∈ {1, 𝑃}) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
40	29, 39	bitri 278	. . . 4 ⊢ ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃} ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
41	40	anbi2i 635	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
42	24, 28, 41	3bitri 300	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 𝑃} ⊆ {1, 𝑃}) ∧ 𝑃 ≠ 1) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
43	6, 21, 42	3bitri 300	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  {crab 3413   ⊆ wss 3899  {cpr 4586   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  2_oc2o 8454   ≈ cen 8954  1c1 11182  ℕcn 12316  2c2 12378  ℤ_≥cuz 12946   ∥ cdvds 16402  ℙcprime 16826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-prm 16827

This theorem is used by:  isprm3  16838  isprm4  16839  dvdsprime  16842  coprm  16867  isprm6  16870  ablsimpgprmd  20311  prmirredlem  21758  znidomb  21847  perfectlem2  27539  perfectALTVlem2  48764