![]() |
Metamath
Proof Explorer Theorem List (p. 167 of 479) | < Previous Next > |
Bad symbols? Try the
GIF version. |
||
Mirrors > Metamath Home Page > MPE Home Page > Theorem List Contents > Recent Proofs This page: Page List |
Color key: | ![]() (1-30171) |
![]() (30172-31694) |
![]() (31695-47852) |
Type | Label | Description |
---|---|---|
Statement | ||
Theorem | congr 16601* | Definition of congruence by integer multiple (see ProofWiki "Congruence (Number Theory)", 11-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Definition:Congruence_(Number_Theory)): An integer ๐ด is congruent to an integer ๐ต modulo ๐ if their difference is a multiple of ๐. See also the definition in [ApostolNT] p. 104: "... ๐ is congruent to ๐ modulo ๐, and we write ๐โก๐ (mod ๐) if ๐ divides the difference ๐ โ ๐", or Wikipedia "Modular arithmetic - Congruence", https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic#Congruence, 11-Jul-2021,: "Given an integer n > 1, called a modulus, two integers are said to be congruent modulo n, if n is a divisor of their difference (i.e., if there is an integer k such that a-b = kn)". (Contributed by AV, 11-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ) โ ((๐ด mod ๐) = (๐ต mod ๐) โ โ๐ โ โค (๐ ยท ๐) = (๐ด โ ๐ต))) | ||
Theorem | divgcdcoprm0 16602 | Integers divided by gcd are coprime. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ต โ 0) โ ((๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) gcd (๐ต / (๐ด gcd ๐ต))) = 1) | ||
Theorem | divgcdcoprmex 16603* | Integers divided by gcd are coprime (see ProofWiki "Integers Divided by GCD are Coprime", 11-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Integers_Divided_by_GCD_are_Coprime): Any pair of integers, not both zero, can be reduced to a pair of coprime ones by dividing them by their gcd. (Contributed by AV, 12-Jul-2021.) |
โข ((๐ด โ โค โง (๐ต โ โค โง ๐ต โ 0) โง ๐ = (๐ด gcd ๐ต)) โ โ๐ โ โค โ๐ โ โค (๐ด = (๐ ยท ๐) โง ๐ต = (๐ ยท ๐) โง (๐ gcd ๐) = 1)) | ||
Theorem | cncongr1 16604 | One direction of the bicondition in cncongr 16606. Theorem 5.4 in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.) |
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โค) โง (๐ โ โ โง ๐ = (๐ / (๐ถ gcd ๐)))) โ (((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐) โ (๐ด mod ๐) = (๐ต mod ๐))) | ||
Theorem | cncongr2 16605 | The other direction of the bicondition in cncongr 16606. (Contributed by AV, 11-Jul-2021.) |
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โค) โง (๐ โ โ โง ๐ = (๐ / (๐ถ gcd ๐)))) โ ((๐ด mod ๐) = (๐ต mod ๐) โ ((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐))) | ||
Theorem | cncongr 16606 | Cancellability of Congruences (see ProofWiki "Cancellability of Congruences, https://proofwiki.org/wiki/Cancellability_of_Congruences, 10-Jul-2021): Two products with a common factor are congruent modulo a positive integer iff the other factors are congruent modulo the integer divided by the greates common divisor of the integer and the common factor. See also Theorem 5.4 "Cancellation law" in [ApostolNT] p. 109. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.) |
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โค) โง (๐ โ โ โง ๐ = (๐ / (๐ถ gcd ๐)))) โ (((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐) โ (๐ด mod ๐) = (๐ต mod ๐))) | ||
Theorem | cncongrcoprm 16607 | Corollary 1 of Cancellability of Congruences: Two products with a common factor are congruent modulo an integer being coprime to the common factor iff the other factors are congruent modulo the integer. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.) |
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โค) โง (๐ โ โ โง (๐ถ gcd ๐) = 1)) โ (((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐) โ (๐ด mod ๐) = (๐ต mod ๐))) | ||
Remark: to represent odd prime numbers, i.e., all prime numbers except 2, the idiom ๐ โ (โ โ {2}) is used. It is a little bit shorter than (๐ โ โ โง ๐ โ 2). Both representations can be converted into each other by eldifsn 4791. | ||
Syntax | cprime 16608 | Extend the definition of a class to include the set of prime numbers. |
class โ | ||
Definition | df-prm 16609* | Define the set of prime numbers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข โ = {๐ โ โ โฃ {๐ โ โ โฃ ๐ โฅ ๐} โ 2o} | ||
Theorem | isprm 16610* | The predicate "is a prime number". A prime number is a positive integer with exactly two positive divisors. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข (๐ โ โ โ (๐ โ โ โง {๐ โ โ โฃ ๐ โฅ ๐} โ 2o)) | ||
Theorem | prmnn 16611 | A prime number is a positive integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข (๐ โ โ โ ๐ โ โ) | ||
Theorem | prmz 16612 | A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.) |
โข (๐ โ โ โ ๐ โ โค) | ||
Theorem | prmssnn 16613 | The prime numbers are a subset of the positive integers. (Contributed by AV, 22-Jul-2020.) |
โข โ โ โ | ||
Theorem | prmex 16614 | The set of prime numbers exists. (Contributed by AV, 22-Jul-2020.) |
โข โ โ V | ||
Theorem | 0nprm 16615 | 0 is not a prime number. Already Definition df-prm 16609 excludes 0 from being prime (โ = {๐ โ โ โฃ ...), but even if ๐ โ โ0 was allowed, the condition {๐ โ โ โฃ ๐ โฅ ๐} โ 2o would not hold for ๐ = 0, because {๐ โ โ โฃ ๐ โฅ 0} = โ, see dvds0 16215, and ยฌ โ โ 2o (there are more than 2 positive integers). (Contributed by AV, 29-May-2023.) |
โข ยฌ 0 โ โ | ||
Theorem | 1nprm 16616 | 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.) |
โข ยฌ 1 โ โ | ||
Theorem | 1idssfct 16617* | The positive divisors of a positive integer include 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข (๐ โ โ โ {1, ๐} โ {๐ โ โ โฃ ๐ โฅ ๐}) | ||
Theorem | isprm2lem 16618* | Lemma for isprm2 16619. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ 1) โ ({๐ โ โ โฃ ๐ โฅ ๐} โ 2o โ {๐ โ โ โฃ ๐ โฅ ๐} = {1, ๐})) | ||
Theorem | isprm2 16619* | The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only positive divisors are 1 and itself. Definition in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) |
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (โคโฅโ2) โง โ๐ง โ โ (๐ง โฅ ๐ โ (๐ง = 1 โจ ๐ง = ๐)))) | ||
Theorem | isprm3 16620* | The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) |
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (โคโฅโ2) โง โ๐ง โ (2...(๐ โ 1)) ยฌ ๐ง โฅ ๐)) | ||
Theorem | isprm4 16621* | The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 whose only divisor greater than or equal to 2 is itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) |
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (โคโฅโ2) โง โ๐ง โ (โคโฅโ2)(๐ง โฅ ๐ โ ๐ง = ๐))) | ||
Theorem | prmind2 16622* | A variation on prmind 16623 assuming complete induction for primes. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข (๐ฅ = 1 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ง โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ ยท ๐ง) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข ((๐ฅ โ โ โง โ๐ฆ โ (1...(๐ฅ โ 1))๐) โ ๐) & โข ((๐ฆ โ (โคโฅโ2) โง ๐ง โ (โคโฅโ2)) โ ((๐ โง ๐) โ ๐)) โ โข (๐ด โ โ โ ๐) | ||
Theorem | prmind 16623* | Perform induction over the multiplicative structure of โ. If a property ๐(๐ฅ) holds for the primes and 1 and is preserved under multiplication, then it holds for every positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข (๐ฅ = 1 โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ฆ โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ง โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = (๐ฆ ยท ๐ง) โ (๐ โ ๐)) & โข (๐ฅ = ๐ด โ (๐ โ ๐)) & โข ๐ & โข (๐ฅ โ โ โ ๐) & โข ((๐ฆ โ (โคโฅโ2) โง ๐ง โ (โคโฅโ2)) โ ((๐ โง ๐) โ ๐)) โ โข (๐ด โ โ โ ๐) | ||
Theorem | dvdsprime 16624 | If ๐ divides a prime, then ๐ is either the prime or one. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2014.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ โฅ ๐ โ (๐ = ๐ โจ ๐ = 1))) | ||
Theorem | nprm 16625 | A product of two integers greater than one is composite. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข ((๐ด โ (โคโฅโ2) โง ๐ต โ (โคโฅโ2)) โ ยฌ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) | ||
Theorem | nprmi 16626 | An inference for compositeness. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข 1 < ๐ด & โข 1 < ๐ต & โข (๐ด ยท ๐ต) = ๐ โ โข ยฌ ๐ โ โ | ||
Theorem | dvdsnprmd 16627 | If a number is divisible by an integer greater than 1 and less than the number, the number is not prime. (Contributed by AV, 24-Jul-2021.) |
โข (๐ โ 1 < ๐ด) & โข (๐ โ ๐ด < ๐) & โข (๐ โ ๐ด โฅ ๐) โ โข (๐ โ ยฌ ๐ โ โ) | ||
Theorem | prm2orodd 16628 | A prime number is either 2 or odd. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.) |
โข (๐ โ โ โ (๐ = 2 โจ ยฌ 2 โฅ ๐)) | ||
Theorem | 2prm 16629 | 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.) |
โข 2 โ โ | ||
Theorem | 2mulprm 16630 | A multiple of two is prime iff the multiplier is one. (Contributed by AV, 8-Jun-2023.) |
โข (๐ด โ โค โ ((2 ยท ๐ด) โ โ โ ๐ด = 1)) | ||
Theorem | 3prm 16631 | 3 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข 3 โ โ | ||
Theorem | 4nprm 16632 | 4 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข ยฌ 4 โ โ | ||
Theorem | prmuz2 16633 | A prime number is an integer greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) |
โข (๐ โ โ โ ๐ โ (โคโฅโ2)) | ||
Theorem | prmgt1 16634 | A prime number is an integer greater than 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.) |
โข (๐ โ โ โ 1 < ๐) | ||
Theorem | prmm2nn0 16635 | Subtracting 2 from a prime number results in a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Aug-2018.) |
โข (๐ โ โ โ (๐ โ 2) โ โ0) | ||
Theorem | oddprmgt2 16636 | An odd prime is greater than 2. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.) |
โข (๐ โ (โ โ {2}) โ 2 < ๐) | ||
Theorem | oddprmge3 16637 | An odd prime is greater than or equal to 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 20-Aug-2021.) |
โข (๐ โ (โ โ {2}) โ ๐ โ (โคโฅโ3)) | ||
Theorem | ge2nprmge4 16638 | A composite integer greater than or equal to 2 is greater than or equal to 4. (Contributed by AV, 5-Jun-2023.) |
โข ((๐ โ (โคโฅโ2) โง ๐ โ โ) โ ๐ โ (โคโฅโ4)) | ||
Theorem | sqnprm 16639 | A square is never prime. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข (๐ด โ โค โ ยฌ (๐ดโ2) โ โ) | ||
Theorem | dvdsprm 16640 | An integer greater than or equal to 2 divides a prime number iff it is equal to it. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) |
โข ((๐ โ (โคโฅโ2) โง ๐ โ โ) โ (๐ โฅ ๐ โ ๐ = ๐)) | ||
Theorem | exprmfct 16641* | Every integer greater than or equal to 2 has a prime factor. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) |
โข (๐ โ (โคโฅโ2) โ โ๐ โ โ ๐ โฅ ๐) | ||
Theorem | prmdvdsfz 16642* | Each integer greater than 1 and less then or equal to a fixed number is divisible by a prime less then or equal to this fixed number. (Contributed by AV, 15-Aug-2020.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ผ โ (2...๐)) โ โ๐ โ โ (๐ โค ๐ โง ๐ โฅ ๐ผ)) | ||
Theorem | nprmdvds1 16643 | No prime number divides 1. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) |
โข (๐ โ โ โ ยฌ ๐ โฅ 1) | ||
Theorem | isprm5 16644* | One need only check prime divisors of ๐ up to โ๐ in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (โคโฅโ2) โง โ๐ง โ โ ((๐งโ2) โค ๐ โ ยฌ ๐ง โฅ ๐))) | ||
Theorem | isprm7 16645* | One need only check prime divisors of ๐ up to โ๐ in order to ensure primality. This version of isprm5 16644 combines the primality and bound on ๐ง into a finite interval of prime numbers. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) |
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (โคโฅโ2) โง โ๐ง โ ((2...(โโ(โโ๐))) โฉ โ) ยฌ ๐ง โฅ ๐)) | ||
Theorem | maxprmfct 16646* | The set of prime factors of an integer greater than or equal to 2 satisfies the conditions to have a supremum, and that supremum is a member of the set. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) |
โข ๐ = {๐ง โ โ โฃ ๐ง โฅ ๐} โ โข (๐ โ (โคโฅโ2) โ ((๐ โ โค โง ๐ โ โ โง โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ ๐ ๐ฆ โค ๐ฅ) โง sup(๐, โ, < ) โ ๐)) | ||
Theorem | divgcdodd 16647 | Either ๐ด / (๐ด gcd ๐ต) is odd or ๐ต / (๐ด gcd ๐ต) is odd. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (ยฌ 2 โฅ (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โจ ยฌ 2 โฅ (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)))) | ||
This section is about coprimality with respect to primes, and a special version of Euclid's lemma for primes is provided, see euclemma 16650. | ||
Theorem | coprm 16648 | A prime number either divides an integer or is coprime to it, but not both. Theorem 1.8 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โค) โ (ยฌ ๐ โฅ ๐ โ (๐ gcd ๐) = 1)) | ||
Theorem | prmrp 16649 | Unequal prime numbers are relatively prime. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ ((๐ gcd ๐) = 1 โ ๐ โ ๐)) | ||
Theorem | euclemma 16650 | Euclid's lemma. A prime number divides the product of two integers iff it divides at least one of them. Theorem 1.9 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ (๐ ยท ๐) โ (๐ โฅ ๐ โจ ๐ โฅ ๐))) | ||
Theorem | isprm6 16651* | A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 16650. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.) |
โข (๐ โ โ โ (๐ โ (โคโฅโ2) โง โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โค (๐ โฅ (๐ฅ ยท ๐ฆ) โ (๐ โฅ ๐ฅ โจ ๐ โฅ ๐ฆ)))) | ||
Theorem | prmdvdsexp 16652 | A prime divides a positive power of an integer iff it divides the integer. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ด โ โค โง ๐ โ โ) โ (๐ โฅ (๐ดโ๐) โ ๐ โฅ ๐ด)) | ||
Theorem | prmdvdsexpb 16653 | A prime divides a positive power of another iff they are equal. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐ โฅ (๐โ๐) โ ๐ = ๐)) | ||
Theorem | prmdvdsexpr 16654 | If a prime divides a nonnegative power of another, then they are equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ0) โ (๐ โฅ (๐โ๐) โ ๐ = ๐)) | ||
Theorem | prmdvdssq 16655 | Condition for a prime dividing a square. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.) (Proof shortened by SN, 21-Aug-2024.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ ๐ โฅ (๐โ2))) | ||
Theorem | prmdvdssqOLD 16656 | Obsolete version of prmdvdssq 16655 as of 21-Aug-2024. (Contributed by Scott Fenton, 8-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โค) โ (๐ โฅ ๐ โ ๐ โฅ (๐โ2))) | ||
Theorem | prmexpb 16657 | Two positive prime powers are equal iff the primes and the powers are equal. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.) |
โข (((๐ โ โ โง ๐ โ โ) โง (๐ โ โ โง ๐ โ โ)) โ ((๐โ๐) = (๐โ๐) โ (๐ = ๐ โง ๐ = ๐))) | ||
Theorem | prmfac1 16658 | The factorial of a number only contains primes less than the base. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Mar-2014.) |
โข ((๐ โ โ0 โง ๐ โ โ โง ๐ โฅ (!โ๐)) โ ๐ โค ๐) | ||
Theorem | rpexp 16659 | If two numbers ๐ด and ๐ต are relatively prime, then they are still relatively prime if raised to a power. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ) โ (((๐ดโ๐) gcd ๐ต) = 1 โ (๐ด gcd ๐ต) = 1)) | ||
Theorem | rpexp1i 16660 | Relative primality passes to asymmetric powers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ โ โ0) โ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ ((๐ดโ๐) gcd ๐ต) = 1)) | ||
Theorem | rpexp12i 16661 | Relative primality passes to symmetric powers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0)) โ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ ((๐ดโ๐) gcd (๐ตโ๐)) = 1)) | ||
Theorem | prmndvdsfaclt 16662 | A prime number does not divide the factorial of a nonnegative integer less than the prime number. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.) |
โข ((๐ โ โ โง ๐ โ โ0) โ (๐ < ๐ โ ยฌ ๐ โฅ (!โ๐))) | ||
Theorem | prmdvdsncoprmbd 16663* | Two positive integers are not coprime iff a prime divides both integers. Deduction version of ncoprmgcdne1b 16587 with the existential quantifier over the primes instead of integers greater than or equal to 2. (Contributed by SN, 24-Aug-2024.) |
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) โ โข (๐ โ (โ๐ โ โ (๐ โฅ ๐ด โง ๐ โฅ ๐ต) โ (๐ด gcd ๐ต) โ 1)) | ||
Theorem | ncoprmlnprm 16664 | If two positive integers are not coprime, the larger of them is not a prime number. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด < ๐ต) โ (1 < (๐ด gcd ๐ต) โ ๐ต โ โ)) | ||
Theorem | cncongrprm 16665 | Corollary 2 of Cancellability of Congruences: Two products with a common factor are congruent modulo a prime number not dividing the common factor iff the other factors are congruent modulo the prime number. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.) |
โข (((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โค) โง (๐ โ โ โง ยฌ ๐ โฅ ๐ถ)) โ (((๐ด ยท ๐ถ) mod ๐) = ((๐ต ยท ๐ถ) mod ๐) โ (๐ด mod ๐) = (๐ต mod ๐))) | ||
Theorem | isevengcd2 16666 | The predicate "is an even number". An even number and 2 have 2 as greatest common divisor. (Contributed by AV, 1-Jul-2020.) (Revised by AV, 8-Aug-2021.) |
โข (๐ โ โค โ (2 โฅ ๐ โ (2 gcd ๐) = 2)) | ||
Theorem | isoddgcd1 16667 | The predicate "is an odd number". An odd number and 2 have 1 as greatest common divisor. (Contributed by AV, 1-Jul-2020.) (Revised by AV, 8-Aug-2021.) |
โข (๐ โ โค โ (ยฌ 2 โฅ ๐ โ (2 gcd ๐) = 1)) | ||
Theorem | 3lcm2e6 16668 | The least common multiple of three and two is six. The operands are unequal primes and thus coprime, so the result is (the absolute value of) their product. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 27-Aug-2020.) |
โข (3 lcm 2) = 6 | ||
Syntax | cnumer 16669 | Extend class notation to include canonical numerator function. |
class numer | ||
Syntax | cdenom 16670 | Extend class notation to include canonical denominator function. |
class denom | ||
Definition | df-numer 16671* | The canonical numerator of a rational is the numerator of the rational's reduced fraction representation (no common factors, denominator positive). (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข numer = (๐ฆ โ โ โฆ (1st โ(โฉ๐ฅ โ (โค ร โ)(((1st โ๐ฅ) gcd (2nd โ๐ฅ)) = 1 โง ๐ฆ = ((1st โ๐ฅ) / (2nd โ๐ฅ)))))) | ||
Definition | df-denom 16672* | The canonical denominator of a rational is the denominator of the rational's reduced fraction representation (no common factors, denominator positive). (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข denom = (๐ฆ โ โ โฆ (2nd โ(โฉ๐ฅ โ (โค ร โ)(((1st โ๐ฅ) gcd (2nd โ๐ฅ)) = 1 โง ๐ฆ = ((1st โ๐ฅ) / (2nd โ๐ฅ)))))) | ||
Theorem | qnumval 16673* | Value of the canonical numerator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ (numerโ๐ด) = (1st โ(โฉ๐ฅ โ (โค ร โ)(((1st โ๐ฅ) gcd (2nd โ๐ฅ)) = 1 โง ๐ด = ((1st โ๐ฅ) / (2nd โ๐ฅ)))))) | ||
Theorem | qdenval 16674* | Value of the canonical denominator function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ (denomโ๐ด) = (2nd โ(โฉ๐ฅ โ (โค ร โ)(((1st โ๐ฅ) gcd (2nd โ๐ฅ)) = 1 โง ๐ด = ((1st โ๐ฅ) / (2nd โ๐ฅ)))))) | ||
Theorem | qnumdencl 16675 | Lemma for qnumcl 16676 and qdencl 16677. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ ((numerโ๐ด) โ โค โง (denomโ๐ด) โ โ)) | ||
Theorem | qnumcl 16676 | The canonical numerator of a rational is an integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ (numerโ๐ด) โ โค) | ||
Theorem | qdencl 16677 | The canonical denominator is a positive integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ (denomโ๐ด) โ โ) | ||
Theorem | fnum 16678 | Canonical numerator defines a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข numer:โโถโค | ||
Theorem | fden 16679 | Canonical denominator defines a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข denom:โโถโ | ||
Theorem | qnumdenbi 16680 | Two numbers are the canonical representation of a rational iff they are coprime and have the right quotient. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โค โง ๐ถ โ โ) โ (((๐ต gcd ๐ถ) = 1 โง ๐ด = (๐ต / ๐ถ)) โ ((numerโ๐ด) = ๐ต โง (denomโ๐ด) = ๐ถ))) | ||
Theorem | qnumdencoprm 16681 | The canonical representation of a rational is fully reduced. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ ((numerโ๐ด) gcd (denomโ๐ด)) = 1) | ||
Theorem | qeqnumdivden 16682 | Recover a rational number from its canonical representation. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ ๐ด = ((numerโ๐ด) / (denomโ๐ด))) | ||
Theorem | qmuldeneqnum 16683 | Multiplying a rational by its denominator results in an integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ (๐ด ยท (denomโ๐ด)) = (numerโ๐ด)) | ||
Theorem | divnumden 16684 | Calculate the reduced form of a quotient using gcd. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ ((numerโ(๐ด / ๐ต)) = (๐ด / (๐ด gcd ๐ต)) โง (denomโ(๐ด / ๐ต)) = (๐ต / (๐ด gcd ๐ต)))) | ||
Theorem | divdenle 16685 | Reducing a quotient never increases the denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โ) โ (denomโ(๐ด / ๐ต)) โค ๐ต) | ||
Theorem | qnumgt0 16686 | A rational is positive iff its canonical numerator is. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ (0 < ๐ด โ 0 < (numerโ๐ด))) | ||
Theorem | qgt0numnn 16687 | A rational is positive iff its canonical numerator is a positive integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.) |
โข ((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โ (numerโ๐ด) โ โ) | ||
Theorem | nn0gcdsq 16688 | Squaring commutes with GCD, in particular two coprime numbers have coprime squares. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.) |
โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ0) โ ((๐ด gcd ๐ต)โ2) = ((๐ดโ2) gcd (๐ตโ2))) | ||
Theorem | zgcdsq 16689 | nn0gcdsq 16688 extended to integers by symmetry. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.) |
โข ((๐ด โ โค โง ๐ต โ โค) โ ((๐ด gcd ๐ต)โ2) = ((๐ดโ2) gcd (๐ตโ2))) | ||
Theorem | numdensq 16690 | Squaring a rational squares its canonical components. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ ((numerโ(๐ดโ2)) = ((numerโ๐ด)โ2) โง (denomโ(๐ดโ2)) = ((denomโ๐ด)โ2))) | ||
Theorem | numsq 16691 | Square commutes with canonical numerator. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ (numerโ(๐ดโ2)) = ((numerโ๐ด)โ2)) | ||
Theorem | densq 16692 | Square commutes with canonical denominator. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ (denomโ(๐ดโ2)) = ((denomโ๐ด)โ2)) | ||
Theorem | qden1elz 16693 | A rational is an integer iff it has denominator 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.) |
โข (๐ด โ โ โ ((denomโ๐ด) = 1 โ ๐ด โ โค)) | ||
Theorem | zsqrtelqelz 16694 | If an integer has a rational square root, that root is must be an integer. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.) |
โข ((๐ด โ โค โง (โโ๐ด) โ โ) โ (โโ๐ด) โ โค) | ||
Theorem | nonsq 16695 | Any integer strictly between two adjacent squares has an irrational square root. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.) |
โข (((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ0) โง ((๐ตโ2) < ๐ด โง ๐ด < ((๐ต + 1)โ2))) โ ยฌ (โโ๐ด) โ โ) | ||
Syntax | codz 16696 | Extend class notation with the order function on the class of integers modulo N. |
class odโค | ||
Syntax | cphi 16697 | Extend class notation with the Euler phi function. |
class ฯ | ||
Definition | df-odz 16698* | Define the order function on the class of integers modulo N. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by AV, 26-Sep-2020.) |
โข odโค = (๐ โ โ โฆ (๐ฅ โ {๐ฅ โ โค โฃ (๐ฅ gcd ๐) = 1} โฆ inf({๐ โ โ โฃ ๐ โฅ ((๐ฅโ๐) โ 1)}, โ, < ))) | ||
Definition | df-phi 16699* | Define the Euler phi function (also called "Euler totient function"), which counts the number of integers less than ๐ and coprime to it, see definition in [ApostolNT] p. 25. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) |
โข ฯ = (๐ โ โ โฆ (โฏโ{๐ฅ โ (1...๐) โฃ (๐ฅ gcd ๐) = 1})) | ||
Theorem | phival 16700* | Value of the Euler ฯ function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) |
โข (๐ โ โ โ (ฯโ๐) = (โฏโ{๐ฅ โ (1...๐) โฃ (๐ฅ gcd ๐) = 1})) |
< Previous Next > |
Copyright terms: Public domain | < Previous Next > |