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Theorem 4atlem3 39101
Description: Lemma for 4at 39118. Break inequality into 4 cases. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
4at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
4atlem3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∨ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ∨ (Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∨ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉))))
Proof of Theorem 4atlem3
StepHypRef Expression
1 simpl11 1245 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl1 1188 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
3 simpl21 1248 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
4 simpl22 1249 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
5 simpr 483 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
6 4at.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 4at.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 4at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 eqid 2728 . . . . . 6 (LVolsβ€˜πΎ) = (LVolsβ€˜πΎ)
106, 7, 8, 9lvoli2 39086 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (LVolsβ€˜πΎ))
112, 3, 4, 5, 10syl121anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (LVolsβ€˜πΎ))
12 simpl23 1250 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
13 simpl3l 1225 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
14 simpl3r 1226 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
156, 7, 8, 9lvolnle3at 39087 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (LVolsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉))
161, 11, 12, 13, 14, 15syl23anc 1374 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ Β¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉))
171hllatd 38868 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
18 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1918, 7, 8hlatjcl 38871 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
202, 19syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2118, 7, 8hlatjcl 38871 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
221, 3, 4, 21syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2318, 7, 8hlatjcl 38871 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
241, 12, 13, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2518, 8atbase 38793 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ 𝐴 β†’ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2614, 25syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2718, 7latjcl 18438 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑉 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2817, 24, 26, 27syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2918, 6, 7latjle12 18449 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)))
3017, 20, 22, 28, 29syl13anc 1369 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)))
31 simpl12 1246 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
3218, 8atbase 38793 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3331, 32syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
34 simpl13 1247 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
3518, 8atbase 38793 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3634, 35syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3718, 6, 7latjle12 18449 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)))
3817, 33, 36, 28, 37syl13anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)))
3918, 8atbase 38793 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
403, 39syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4118, 8atbase 38793 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
424, 41syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4318, 6, 7latjle12 18449 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)))
4417, 40, 42, 28, 43syl13anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)))
4538, 44anbi12d 630 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉))) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉))))
4618, 7latjass 18482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
4717, 20, 40, 42, 46syl13anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
4847breq1d 5162 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)))
4930, 45, 483bitr4d 310 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉))) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)))
5016, 49mtbird 324 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ Β¬ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉))))
51 ianor 979 . . 3 (Β¬ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉))) ↔ (Β¬ (𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ∨ Β¬ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉))))
52 ianor 979 . . . 4 (Β¬ (𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ↔ (Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∨ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)))
53 ianor 979 . . . 4 (Β¬ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ↔ (Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∨ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)))
5452, 53orbi12i 912 . . 3 ((Β¬ (𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ∨ Β¬ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉))) ↔ ((Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∨ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ∨ (Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∨ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉))))
5551, 54bitri 274 . 2 (Β¬ ((𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ∧ (𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∧ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉))) ↔ ((Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∨ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ∨ (Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∨ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉))))
5650, 55sylib 217 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ ((Β¬ 𝑃 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∨ Β¬ 𝑄 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉)) ∨ (Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉) ∨ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∨ 𝑉))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  Latclat 18430  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LVolsclvol 38998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005
This theorem is referenced by:  4atlem3a  39102  4atlem12  39117
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