Theorem abslts 28522

Description: Surreal absolute value and less-than relation. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
abslts	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us ‘𝐵) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))

Proof of Theorem abslts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negscl 28309	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
2	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
3		absscl 28513	. . . . . . . 8 ⊢ (( -us ‘𝐴) ∈ No → (abss‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
4	1, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
5	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘( -us ‘𝐴)) ∈ No )
6		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐵 ∈ No )
7		leabss 28521	. . . . . . . 8 ⊢ (( -us ‘𝐴) ∈ No → ( -us ‘𝐴) ≤s (abss‘( -us ‘𝐴)))
8	1, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘𝐴) ≤s (abss‘( -us ‘𝐴)))
9	8	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → ( -us ‘𝐴) ≤s (abss‘( -us ‘𝐴)))
10		absnegs 28520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘( -us ‘𝐴)) = (abss‘𝐴))
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (abss‘( -us ‘𝐴)) = (abss‘𝐴))
12	11	breq1d 5117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘( -us ‘𝐴)) <s 𝐵 ↔ (abss‘𝐴) <s 𝐵))
13	12	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘( -us ‘𝐴)) <s 𝐵)
14	2, 5, 6, 9, 13	leltstrd 28009	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → ( -us ‘𝐴) <s 𝐵)
15		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 ∈ No )
16		absscl 28513	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → (abss‘𝐴) ∈ No )
17	16	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘𝐴) ∈ No )
18		leabss 28521	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ≤s (abss‘𝐴))
19	18	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 ≤s (abss‘𝐴))
20		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵)
21	15, 17, 6, 19, 20	leltstrd 28009	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
22	14, 21	jca 521	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) ∧ (abss‘𝐴) <s 𝐵) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵))
23	22	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))
24		abssor 28519	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)))
25	24	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)))
26		breq1 5110	. . . . . . 7 ⊢ ((abss‘𝐴) = 𝐴 → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s 𝐵))
27	26	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ ((abss‘𝐴) = 𝐴 → (𝐴 <s 𝐵 → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
28		breq1 5110	. . . . . . 7 ⊢ ((abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐴) <s 𝐵))
29	28	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ ((abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
30	27, 29	jaoa 970	. . . . 5 ⊢ (((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)) → ((𝐴 <s 𝐵 ∧ ( -us ‘𝐴) <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
31	30	ancomsd 471	. . . 4 ⊢ (((abss‘𝐴) = 𝐴 ∨ (abss‘𝐴) = ( -us ‘𝐴)) → ((( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
32	25, 31	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → (abss‘𝐴) <s 𝐵))
33	23, 32	impbid 215	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))
34	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( -us ‘𝐴) ∈ No )
35		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝐵 ∈ No )
36	34, 35	ltnegsd 28320	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘( -us ‘𝐴))))
37		negnegs 28317	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)
38	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ( -us ‘( -us ‘𝐴)) = 𝐴)
39	38	breq2d 5119	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐵) <s ( -us ‘( -us ‘𝐴)) ↔ ( -us ‘𝐵) <s 𝐴))
40	36, 39	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ↔ ( -us ‘𝐵) <s 𝐴))
41	40	anbi1d 643	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((( -us ‘𝐴) <s 𝐵 ∧ 𝐴 <s 𝐵) ↔ (( -us ‘𝐵) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))
42	33, 41	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → ((abss‘𝐴) <s 𝐵 ↔ (( -us ‘𝐵) <s 𝐴 ∧ 𝐴 <s 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537   No csur 27884   <s clts 27885   ≤s cles 27988   -u_s cnegs 28292  abs_scabss 28510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-1o 8459  df-2o 8460  df-nadd 8658  df-no 27887  df-lts 27888  df-bday 27889  df-les 27989  df-slts 28031  df-cuts 28033  df-0s 28080  df-made 28100  df-old 28101  df-left 28103  df-right 28104  df-norec 28211  df-norec2 28222  df-adds 28233  df-negs 28294  df-abss 28511

This theorem is used by:  remulscllem2  28774