Theorem fldsdrgfld 20645

Description: A sub-division-ring of a field is itself a field, so it is a subfield. We can therefore use SubDRing to express subfields. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fldsdrgfld	⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)

Proof of Theorem fldsdrgfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20635	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹) ∧ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	simp3bi 1146	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
4		isfld 20594	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
5	4	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ CRing)
6	1	simp2bi 1145	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹))
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s 𝐴)
8	7	subrgcrng 20473	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ CRing)
9	5, 6, 8	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ CRing)
10		isfld 20594	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field ↔ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ CRing))
11	3, 9, 10	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↾_s cress 17180  CRingccrg 20135  SubRingcsubrg 20465  DivRingcdr 20583  Fieldcfield 20584  SubDRingcsdrg 20633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-cmn 19698  df-mgp 20036  df-ring 20136  df-cring 20137  df-subrg 20467  df-field 20586  df-sdrg 20634

This theorem is referenced by:  fldgenfld  32845  irngnzply1lem  33208  minplyirredlem  33223  minplyirred  33224  algextdeglem4  33230  algextdeglem7  33233  algextdeglem8  33234