Theorem fldsdrgfld 20938

Description: A sub-division-ring of a field is itself a field, so it is a subfield. We can therefore use SubDRing to express subfields. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fldsdrgfld	⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)

Proof of Theorem fldsdrgfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20928	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹) ∧ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	simp3bi 1165	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
3	2	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
4		isfld 20877	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
5	4	simprbi 503	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ CRing)
6	1	simp2bi 1164	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹))
7		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s 𝐴)
8	7	subrgcrng 20711	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ CRing)
9	5, 6, 8	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ CRing)
10		isfld 20877	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field ↔ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ CRing))
11	3, 9, 10	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↾_s cress 17315  CRingccrg 20347  SubRingcsubrg 20705  DivRingcdr 20864  Fieldcfield 20865  SubDRingcsdrg 20926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-cmn 19883  df-mgp 20248  df-ring 20348  df-cring 20349  df-subrg 20706  df-field 20867  df-sdrg 20927

This theorem is used by:  fldgenfld  33672  sdrgfldext  34071  fldsdrgfldext  34082  fldsdrgfldext2  34083  fldgenfldext  34089  fldextrspunlem1  34096  irngnzply1lem  34111  minplyirredlem  34131  minplyirred  34132  irredminply  34137  algextdeglem4  34141  algextdeglem7  34144  algextdeglem8  34145  rtelextdg2lem  34147  fldext2chn  34149  constrfld  34197  2sqr3minply  34201