Theorem fldsdrgfld 20777

Description: A sub-division-ring of a field is itself a field, so it is a subfield. We can therefore use SubDRing to express subfields. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fldsdrgfld	⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)

Proof of Theorem fldsdrgfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20767	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹) ∧ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	simp3bi 1153	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
3	2	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
4		isfld 20719	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
5	4	simprbi 498	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ CRing)
6	1	simp2bi 1152	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹))
7		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s 𝐴)
8	7	subrgcrng 20554	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ CRing)
9	5, 6, 8	syl2an 602	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ CRing)
10		isfld 20719	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field ↔ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ CRing))
11	3, 9, 10	sylanbrc 589	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↾_s cress 17198  CRingccrg 20213  SubRingcsubrg 20548  DivRingcdr 20708  Fieldcfield 20709  SubDRingcsdrg 20765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-cmn 19755  df-mgp 20120  df-ring 20214  df-cring 20215  df-subrg 20549  df-field 20711  df-sdrg 20766

This theorem is referenced by:  fldgenfld  33411  sdrgfldext  33841  fldsdrgfldext  33852  fldsdrgfldext2  33853  fldgenfldext  33859  fldextrspunlem1  33866  irngnzply1lem  33881  minplyirredlem  33901  minplyirred  33902  irredminply  33907  algextdeglem4  33911  algextdeglem7  33914  algextdeglem8  33915  rtelextdg2lem  33917  fldext2chn  33919  constrfld  33967  2sqr3minply  33971