Theorem fldsdrgfld 20711

Description: A sub-division-ring of a field is itself a field, so it is a subfield. We can therefore use SubDRing to express subfields. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fldsdrgfld	⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)

Proof of Theorem fldsdrgfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20701	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹) ∧ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	simp3bi 1147	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
4		isfld 20653	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Field ↔ (𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CRing))
5	4	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 ∈ CRing)
6	1	simp2bi 1146	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹))
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝐹 ↾s 𝐴) = (𝐹 ↾s 𝐴)
8	7	subrgcrng 20488	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ CRing)
9	5, 6, 8	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ CRing)
10		isfld 20653	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field ↔ ((𝐹 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ CRing))
11	3, 9, 10	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Field ∧ 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝐹)) → (𝐹 ↾s 𝐴) ∈ Field)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↾_s cress 17138  CRingccrg 20150  SubRingcsubrg 20482  DivRingcdr 20642  Fieldcfield 20643  SubDRingcsdrg 20699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-cmn 19692  df-mgp 20057  df-ring 20151  df-cring 20152  df-subrg 20483  df-field 20645  df-sdrg 20700

This theorem is referenced by:  fldgenfld  33281  sdrgfldext  33658  fldsdrgfldext  33669  fldsdrgfldext2  33670  fldgenfldext  33676  fldextrspunlem1  33683  irngnzply1lem  33698  minplyirredlem  33718  minplyirred  33719  irredminply  33724  algextdeglem4  33728  algextdeglem7  33731  algextdeglem8  33732  rtelextdg2lem  33734  fldext2chn  33736  constrfld  33784  2sqr3minply  33788