Theorem addclpr 10175

Description: Closure of addition on positive reals. First statement of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addclpr	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)

Proof of Theorem addclpr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plp 10140	. 2 ⊢ +P = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
2		addclnq 10102	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q)
3		ltanq 10128	. 2 ⊢ (ℎ ∈ Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (ℎ +Q 𝑓) <Q (ℎ +Q 𝑔)))
4		addcomnq 10108	. 2 ⊢ (𝑥 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑥)
5		addclprlem2 10174	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔 +Q ℎ) → 𝑥 ∈ (𝐴 +P 𝐵)))
6	1, 2, 3, 4, 5	genpcl 10165	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6922   +_Q cplq 10012  Pcnp 10016   +_P cpp 10018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-ni 10029  df-pli 10030  df-mi 10031  df-lti 10032  df-plpq 10065  df-mpq 10066  df-ltpq 10067  df-enq 10068  df-nq 10069  df-erq 10070  df-plq 10071  df-mq 10072  df-1nq 10073  df-rq 10074  df-ltnq 10075  df-np 10138  df-plp 10140

This theorem is referenced by:  addasspr  10179  distrlem1pr  10182  distrlem4pr  10183  ltaddpr  10191  ltexprlem7  10199  ltaprlem  10201  ltapr  10202  addcanpr  10203  enrer  10220  addcmpblnr  10226  mulcmpblnr  10228  ltsrpr  10234  1sr  10238  m1r  10239  addclsr  10240  mulclsr  10241  addasssr  10245  mulasssr  10247  distrsr  10248  m1p1sr  10249  m1m1sr  10250  ltsosr  10251  0lt1sr  10252  0idsr  10254  1idsr  10255  00sr  10256  ltasr  10257  recexsrlem  10260  mulgt0sr  10262  mappsrpr  10265