MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addclpr 10438
Description: Closure of addition on positive reals. First statement of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclpr ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)

Proof of Theorem addclpr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-plp 10403 . 2 +P = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
2 addclnq 10365 . 2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q)
3 ltanq 10391 . 2 (Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
4 addcomnq 10371 . 2 (𝑥 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑥)
5 addclprlem2 10437 . 2 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔 +Q ) → 𝑥 ∈ (𝐴 +P 𝐵)))
61, 2, 3, 4, 5genpcl 10428 1 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  (class class class)co 7149   +Q cplq 10275  Pcnp 10279   +P cpp 10281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-ni 10292  df-pli 10293  df-mi 10294  df-lti 10295  df-plpq 10328  df-mpq 10329  df-ltpq 10330  df-enq 10331  df-nq 10332  df-erq 10333  df-plq 10334  df-mq 10335  df-1nq 10336  df-rq 10337  df-ltnq 10338  df-np 10401  df-plp 10403
This theorem is referenced by:  addasspr  10442  distrlem1pr  10445  distrlem4pr  10446  ltaddpr  10454  ltexprlem7  10462  ltaprlem  10464  ltapr  10465  addcanpr  10466  enrer  10483  addcmpblnr  10489  mulcmpblnr  10491  ltsrpr  10497  1sr  10501  m1r  10502  addclsr  10503  mulclsr  10504  addasssr  10508  mulasssr  10510  distrsr  10511  m1p1sr  10512  m1m1sr  10513  ltsosr  10514  0lt1sr  10515  0idsr  10517  1idsr  10518  00sr  10519  ltasr  10520  recexsrlem  10523  mulgt0sr  10525  mappsrpr  10528
  Copyright terms: Public domain W3C validator