Theorem addclpr 10970

Description: Closure of addition on positive reals. First statement of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addclpr	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)

Proof of Theorem addclpr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plp 10935	. 2 ⊢ +P = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
2		addclnq 10897	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q)
3		ltanq 10923	. 2 ⊢ (ℎ ∈ Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (ℎ +Q 𝑓) <Q (ℎ +Q 𝑔)))
4		addcomnq 10903	. 2 ⊢ (𝑥 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑥)
5		addclprlem2 10969	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔 +Q ℎ) → 𝑥 ∈ (𝐴 +P 𝐵)))
6	1, 2, 3, 4, 5	genpcl 10960	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391   +_Q cplq 10807  Pcnp 10811   +_P cpp 10813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-oadd 8435  df-omul 8436  df-er 8672  df-ni 10824  df-pli 10825  df-mi 10826  df-lti 10827  df-plpq 10860  df-mpq 10861  df-ltpq 10862  df-enq 10863  df-nq 10864  df-erq 10865  df-plq 10866  df-mq 10867  df-1nq 10868  df-rq 10869  df-ltnq 10870  df-np 10933  df-plp 10935

This theorem is referenced by:  addasspr  10974  distrlem1pr  10977  distrlem4pr  10978  ltaddpr  10986  ltexprlem7  10994  ltaprlem  10996  ltapr  10997  addcanpr  10998  enrer  11015  addcmpblnr  11021  mulcmpblnr  11023  ltsrpr  11029  1sr  11033  m1r  11034  addclsr  11035  mulclsr  11036  addasssr  11040  mulasssr  11042  distrsr  11043  m1p1sr  11044  m1m1sr  11045  ltsosr  11046  0lt1sr  11047  0idsr  11049  1idsr  11050  00sr  11051  ltasr  11052  recexsrlem  11055  mulgt0sr  11057  mappsrpr  11060