Theorem addclpr 11004

Description: Closure of addition on positive reals. First statement of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addclpr	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)

Proof of Theorem addclpr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plp 10969	. 2 ⊢ +P = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
2		addclnq 10931	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q)
3		ltanq 10957	. 2 ⊢ (ℎ ∈ Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (ℎ +Q 𝑓) <Q (ℎ +Q 𝑔)))
4		addcomnq 10937	. 2 ⊢ (𝑥 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑥)
5		addclprlem2 11003	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔 +Q ℎ) → 𝑥 ∈ (𝐴 +P 𝐵)))
6	1, 2, 3, 4, 5	genpcl 10994	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412   +_Q cplq 10841  Pcnp 10845   +_P cpp 10847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-ni 10858  df-pli 10859  df-mi 10860  df-lti 10861  df-plpq 10894  df-mpq 10895  df-ltpq 10896  df-enq 10897  df-nq 10898  df-erq 10899  df-plq 10900  df-mq 10901  df-1nq 10902  df-rq 10903  df-ltnq 10904  df-np 10967  df-plp 10969

This theorem is referenced by:  addasspr  11008  distrlem1pr  11011  distrlem4pr  11012  ltaddpr  11020  ltexprlem7  11028  ltaprlem  11030  ltapr  11031  addcanpr  11032  enrer  11049  addcmpblnr  11055  mulcmpblnr  11057  ltsrpr  11063  1sr  11067  m1r  11068  addclsr  11069  mulclsr  11070  addasssr  11074  mulasssr  11076  distrsr  11077  m1p1sr  11078  m1m1sr  11079  ltsosr  11080  0lt1sr  11081  0idsr  11083  1idsr  11084  00sr  11085  ltasr  11086  recexsrlem  11089  mulgt0sr  11091  mappsrpr  11094