MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addclpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addclpr 10042
Description: Closure of addition on positive reals. First statement of Proposition 9-3.5 of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
addclpr ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)

Proof of Theorem addclpr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-plp 10007 . 2 +P = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦 +Q 𝑧)})
2 addclnq 9969 . 2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q)
3 ltanq 9995 . 2 (Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( +Q 𝑓) <Q ( +Q 𝑔)))
4 addcomnq 9975 . 2 (𝑥 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑥)
5 addclprlem2 10041 . 2 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔 +Q ) → 𝑥 ∈ (𝐴 +P 𝐵)))
61, 2, 3, 4, 5genpcl 10032 1 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145  (class class class)co 6793   +Q cplq 9879  Pcnp 9883   +P cpp 9885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-ni 9896  df-pli 9897  df-mi 9898  df-lti 9899  df-plpq 9932  df-mpq 9933  df-ltpq 9934  df-enq 9935  df-nq 9936  df-erq 9937  df-plq 9938  df-mq 9939  df-1nq 9940  df-rq 9941  df-ltnq 9942  df-np 10005  df-plp 10007
This theorem is referenced by:  addasspr  10046  distrlem1pr  10049  distrlem4pr  10050  ltaddpr  10058  ltexprlem7  10066  ltaprlem  10068  ltapr  10069  addcanpr  10070  enrer  10088  addcmpblnr  10092  mulcmpblnr  10094  ltsrpr  10100  1sr  10104  m1r  10105  addclsr  10106  mulclsr  10107  addasssr  10111  mulasssr  10113  distrsr  10114  m1p1sr  10115  m1m1sr  10116  ltsosr  10117  0lt1sr  10118  0idsr  10120  1idsr  10121  00sr  10122  ltasr  10123  recexsrlem  10126  mulgt0sr  10128  mappsrpr  10131
  Copyright terms: Public domain W3C validator