Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blen1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blen1b 44995
Description: The binary length of a nonnegative integer is 1 if the integer is 0 or 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
blen1b (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#b𝑁) = 1 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))

Proof of Theorem blen1b
StepHypRef Expression
1 elnn0 11891 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 blennn 44982 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) = ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
32eqeq1d 2803 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) = 1 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) = 1))
4 2rp 12386 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
54a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
6 nnrp 12392 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
7 1ne2 11837 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 2
87necomi 3044 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 1
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
10 relogbcl 25363 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
115, 6, 9, 10syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
1211flcld 13167 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
1312zcnd 12080 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℂ)
14 1cnd 10629 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1513, 14, 14addlsub 11049 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) = 1 ↔ (⌊‘(2 logb 𝑁)) = (1 − 1)))
16 1m1e0 11701 . . . . . . . . 9 (1 − 1) = 0
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 − 1) = 0)
1817eqeq2d 2812 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) = (1 − 1) ↔ (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 0))
19 0z 11984 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
20 flbi 13185 . . . . . . . 8 (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < (0 + 1))))
2111, 19, 20sylancl 589 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) = 0 ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < (0 + 1))))
2215, 18, 213bitrd 308 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) = 1 ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < (0 + 1))))
23 0p1e1 11751 . . . . . . . . 9 (0 + 1) = 1
2423breq2i 5041 . . . . . . . 8 ((2 logb 𝑁) < (0 + 1) ↔ (2 logb 𝑁) < 1)
2524anbi2i 625 . . . . . . 7 ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < (0 + 1)) ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1))
26 nnlog2ge0lt1 44973 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1)))
2726biimpar 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1)) → 𝑁 = 1)
2827olcd 871 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1)) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
2928ex 416 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
3025, 29syl5bi 245 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < (0 + 1)) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
3122, 30sylbid 243 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1) = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
323, 31sylbid 243 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
33 orc 864 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
3433a1d 25 . . . 4 (𝑁 = 0 → ((#b𝑁) = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
3532, 34jaoi 854 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → ((#b𝑁) = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
361, 35sylbi 220 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#b𝑁) = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
37 fveq2 6649 . . . 4 (𝑁 = 0 → (#b𝑁) = (#b‘0))
38 blen0 44979 . . . 4 (#b‘0) = 1
3937, 38eqtrdi 2852 . . 3 (𝑁 = 0 → (#b𝑁) = 1)
40 fveq2 6649 . . . 4 (𝑁 = 1 → (#b𝑁) = (#b‘1))
41 blen1 44991 . . . 4 (#b‘1) = 1
4240, 41eqtrdi 2852 . . 3 (𝑁 = 1 → (#b𝑁) = 1)
4339, 42jaoi 854 . 2 ((𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1) → (#b𝑁) = 1)
4436, 43impbid1 228 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#b𝑁) = 1 ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  cn 11629  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973  +crp 12381  cfl 13159   logb clogb 25354  #bcblen 44976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474  df-log 25152  df-logb 25355  df-blen 44977
This theorem is referenced by:  nn0sumshdiglem2  45029
  Copyright terms: Public domain W3C validator