sticksstones10 - Mathbox for metakunt

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Theorem sticksstones10 40111

Description: Establish mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sticksstones10.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
sticksstones10.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones10.3	⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones10.4	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones10.5	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

**Assertion**
Ref	Expression
sticksstones10	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)

Distinct variable groups: 𝐴,𝑏 𝐵,𝑏,𝑖,𝑘 𝑓,𝐾,𝑥,𝑦 𝑔,𝐾,𝑖,𝑘 𝑓,𝑁 𝑔,𝑁,𝑖,𝑘 𝑓,𝑏,𝑥,𝑦 𝑔,𝑏 𝜑,𝑏,𝑖,𝑘 𝑥,𝑘,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔) 𝐴(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘) 𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘,𝑏) 𝐾(𝑏) 𝑁(𝑥,𝑦,𝑏)

Proof of Theorem sticksstones10 Dummy variables 𝑠 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones10.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
2	1	nnne0d 12023	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
3	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ≠ 0)
4	3	neneqd 2948	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐾 = 0)
5	4	iffalsed 4470	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
6	5	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
7		eleq1 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀))
8		eleq1 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀))
9		sticksstones10.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
10	9	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	1	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
14	11, 13	zaddcld 12430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
15		sticksstones10.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
16	15	eleq2i 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))})
17		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑏 ∈ V
18		feq1 6581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
19		fveq1 6773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → (𝑓‘𝑥) = (𝑏‘𝑥))
20		fveq1 6773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → (𝑓‘𝑦) = (𝑏‘𝑦))
21	19, 20	breq12d 5087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → ((𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))
22	21	imbi2d 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
23	22	2ralbidv 3129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
24	18, 23	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → ((𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦))) ↔ (𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))))
25	17, 24	elab 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))} ↔ (𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
26	16, 25	bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ (𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
27	26	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
29	28	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
30		1zzd 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
31	1	nnge1d 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ≤ 𝐾)
33	13	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ)
34	33	leidd 11541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ≤ 𝐾)
35	30, 13, 13, 32, 34	elfzd 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (1...𝐾))
36	29, 35	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
37		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℕ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℕ)
39	38	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℤ)
40	14, 39	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℤ)
41	38	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℂ)
43	42	addid1d 11175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘𝐾) + 0) = (𝑏‘𝐾))
44		elfzle2 13260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
45	36, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
46	43, 45	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘𝐾) + 0) ≤ (𝑁 + 𝐾))
47		0red 10978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
48	14	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℝ)
49	41, 47, 48	leaddsub2d 11577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑏‘𝐾) + 0) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ 0 ≤ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
50	46, 49	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)))
51	40, 50	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
52		elnn0z 12332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
53	51, 52	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀)
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀)
55	54	3impa 1109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀)
56	55	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀)
57		eleq1 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀))
58		eleq1 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀))
59		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
60	59	leidd 11541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ≤ 1)
61	30, 13, 30, 60, 32	elfzd 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (1...𝐾))
62	29, 61	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
63		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘1) ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
65	62, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
66	65, 30	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℤ)
67		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℂ)
68	67	addid1d 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (1 + 0) = 1)
69		elfzle1 13259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → 1 ≤ (𝑏‘1))
70	62, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ≤ (𝑏‘1))
71	68, 70	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (1 + 0) ≤ (𝑏‘1))
72	65	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘1) ∈ ℝ)
73	59, 47, 72	leaddsub2d 11577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((1 + 0) ≤ (𝑏‘1) ↔ 0 ≤ ((𝑏‘1) − 1)))
74	71, 73	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ ((𝑏‘1) − 1))
75	66, 74	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑏‘1) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑏‘1) − 1)))
76		elnn0z 12332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝑏‘1) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑏‘1) − 1)))
77	75, 76	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
79	78	3impa 1109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
82	29	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
84		1zzd 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℤ)
85	13	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
87		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
88		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
91	90	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
92	90	nnge1d 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 1 ≤ 𝑘)
93		elfzle2 13260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
94	87, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
96		neqne 2951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
97	96	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
98	97	necomd 2999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑘)
99	95, 98	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 ≤ (𝐾 + 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑘))
100	90	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
101	86	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
102		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
103	101, 102	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
104	100, 103	ltlend 11120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝐾 + 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑘)))
105	99, 104	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 < (𝐾 + 1))
106	89	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
107		zleltp1 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1)))
108	106, 85, 107	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1)))
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1)))
110	105, 109	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ 𝐾)
111	84, 86, 91, 92, 110	elfzd 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
112	83, 111	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
113		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑘) ∈ ℕ)
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘𝑘) ∈ ℕ)
115	114	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘𝑘) ∈ ℤ)
116	115	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘𝑘) ∈ ℤ)
117	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
118		1zzd 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
119	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
120	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
121	120, 118	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
122	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
123		neqne 2951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 1)
124	123	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
125	122, 124	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1))
126	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
127	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
128	126, 127	ltlend 11120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1)))
129	125, 128	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘)
130	118, 120	zltlem1d 39987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
131	129, 130	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1))
132	89	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
133	59	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
134	33	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
135		lesubadd 11447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑘 − 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 ≤ (𝐾 + 1)))
136	132, 133, 134, 135	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑘 − 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 ≤ (𝐾 + 1)))
137	94, 136	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
138	137	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
139	138	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
140	118, 119, 121, 131, 139	elfzd 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
141	117, 140	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
142		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
143	141, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
144	143	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
145	116, 144	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
146	145, 118	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
147		0p1e1 12095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (0 + 1) = 1)
149		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℂ)
150	149	subidd 11320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 − 1) = 0)
151	144	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
152	151	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
153	152	addid1d 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑏‘(𝑘 − 1)) + 0) = (𝑏‘(𝑘 − 1)))
154	127	ltm1d 11907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
155	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
156	140, 155	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)))
157	28	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))
158	157	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))
159	158	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))
161		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑦))
162		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑏‘𝑥) = (𝑏‘(𝑘 − 1)))
163	162	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦) ↔ (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑦)))
164	161, 163	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑦))))
165		breq2 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑘 − 1) < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑘))
166		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑏‘𝑦) = (𝑏‘𝑘))
167	166	breq2d 5086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑦) ↔ (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑘)))
168	165, 167	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑘))))
169	164, 168	rspc2va 3571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑘)))
170	156, 160, 169	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑘)))
171	154, 170	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑘))
172	153, 171	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑏‘(𝑘 − 1)) + 0) < (𝑏‘𝑘))
173		0red 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ∈ ℝ)
174	116	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘𝑘) ∈ ℝ)
175	151, 173, 174	ltaddsub2d 11576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑏‘(𝑘 − 1)) + 0) < (𝑏‘𝑘) ↔ 0 < ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1)))))
176	172, 175	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 < ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))))
177	150, 176	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 − 1) < ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))))
178		zlem1lt 12372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ) → (1 ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ↔ (1 − 1) < ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1)))))
179	118, 145, 178	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ↔ (1 − 1) < ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1)))))
180	177, 179	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))))
181	148, 180	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (0 + 1) ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))))
182	145	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
183		leaddsub 11451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ∈ ℝ) → ((0 + 1) ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ↔ 0 ≤ (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))
184	173, 126, 182, 183	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((0 + 1) ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ↔ 0 ≤ (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))
185	181, 184	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ≤ (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))
186	146, 185	jca 512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))
187		elnn0z 12332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ ((((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))
188	186, 187	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀)
189	57, 58, 81, 188	ifbothda 4497	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀)
190	7, 8, 56, 189	ifbothda 4497	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀)
191	190	3expa 1117	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀)
192	191	fmpttd 6989	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀)
193		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
194		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝑘 = 𝑖)
195	194	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑖 = (𝐾 + 1)))
196	194	eqeq1d 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑖 = 1))
197	194	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑏‘𝑘) = (𝑏‘𝑖))
198	194	fvoveq1d 7297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) = (𝑏‘(𝑖 − 1)))
199	197, 198	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) = ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
200	199	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))
201	196, 200	ifbieq2d 4485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)))
202	195, 201	ifbieq2d 4485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))))
203		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
204		ovexd 7310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ V)
205		ovexd 7310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ V)
206		ovexd 7310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) ∈ V)
207	205, 206	ifcld 4505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ V)
208	204, 207	ifcld 4505	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ V)
209	193, 202, 203, 208	fvmptd 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))))
210	209	sumeq2dv 15415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))))
211	1	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ)
212		nnuz 12621	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
213	211, 212	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1))
214		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) → (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ ℤ))
215		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) → (if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ ℤ))
216	11	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
217	216	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
218	13	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
219	218	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
220	217, 219	zaddcld 12430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
221	38	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℕ)
222	221	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℕ)
223	222	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℤ)
224	220, 223	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℤ)
225		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏‘1) − 1) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) → (((𝑏‘1) − 1) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
226		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) → ((((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
227	65	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
228	227	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
229	228	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
230		1zzd 12351	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑖 = 1) → 1 ∈ ℤ)
231	229, 230	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℤ)
232	29	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
233	232	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
234	233	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
235		1zzd 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℤ)
236	218	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
237		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
238	237	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
239	238	3impa 1109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
240	239	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
241	240	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
242	239	nnge1d 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ 𝑖)
243	242	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 1 ≤ 𝑖)
244		simp3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
245		elfzle2 13260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
246	244, 245	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
247	246	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
248		neqne 2951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑖 = (𝐾 + 1) → 𝑖 ≠ (𝐾 + 1))
249	248	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ≠ (𝐾 + 1))
250	249	necomd 2999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑖)
251	247, 250	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑖 ≤ (𝐾 + 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑖))
252	241	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
253	236	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
254		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
255	253, 254	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
256	252, 255	ltlend 11120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑖 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑖 ≤ (𝐾 + 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑖)))
257	251, 256	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 < (𝐾 + 1))
258		zleltp1 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ 𝐾 ↔ 𝑖 < (𝐾 + 1)))
259	241, 236, 258	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑖 ≤ 𝐾 ↔ 𝑖 < (𝐾 + 1)))
260	257, 259	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ≤ 𝐾)
261	235, 236, 241, 243, 260	elfzd 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ (1...𝐾))
262	261	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ∈ (1...𝐾))
263	234, 262	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘𝑖) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
264		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏‘𝑖) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℕ)
265	263, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℕ)
266	265	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℤ)
267		1zzd 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ∈ ℤ)
268	236	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
269	241	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ∈ ℤ)
270	269, 267	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
271	243	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ≤ 𝑖)
272		neqne 2951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑖 = 1 → 𝑖 ≠ 1)
273	272	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ≠ 1)
274	271, 273	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≠ 1))
275		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ∈ ℝ)
276	269	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ∈ ℝ)
277	275, 276	ltlend 11120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 < 𝑖 ↔ (1 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≠ 1)))
278	274, 277	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 < 𝑖)
279		zltp1le 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (1 < 𝑖 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑖))
280	267, 269, 279	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 < 𝑖 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑖))
281	278, 280	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 + 1) ≤ 𝑖)
282		leaddsub 11451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑖 ↔ 1 ≤ (𝑖 − 1)))
283	275, 275, 276, 282	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ((1 + 1) ≤ 𝑖 ↔ 1 ≤ (𝑖 − 1)))
284	281, 283	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ≤ (𝑖 − 1))
285	247	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
286	253	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
287		lesubadd 11447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑖 − 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑖 ≤ (𝐾 + 1)))
288	276, 275, 286, 287	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ((𝑖 − 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑖 ≤ (𝐾 + 1)))
289	285, 288	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ≤ 𝐾)
290	267, 268, 270, 284, 289	elfzd 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ∈ (1...𝐾))
291	234, 290	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
292		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ ℕ)
293	291, 292	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ ℕ)
294	293	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ ℤ)
295	266, 294	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ ℤ)
296	295, 267	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
297	225, 226, 231, 296	ifbothda 4497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ ℤ)
298	214, 215, 224, 297	ifbothda 4497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ ℤ)
299	298	3expa 1117	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ ℤ)
300	299	zcnd 12427	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ ℂ)
301		eqeq1 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → (𝑖 = (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1)))
302		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → (𝑖 = 1 ↔ (𝐾 + 1) = 1))
303		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → (𝑏‘𝑖) = (𝑏‘(𝐾 + 1)))
304		fvoveq1 7298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) = (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1)))
305	303, 304	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) = ((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))))
306	305	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))
307	302, 306	ifbieq2d 4485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))
308	301, 307	ifbieq2d 4485	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) = if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))))
309	213, 300, 308	fsump1 15468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))))
310		eqidd 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1))
311	310	iftrued 4467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)))
312	311	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
313		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝐾) → 𝑖 ∈ ℕ)
314	313	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ∈ ℕ)
315	314	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ∈ ℝ)
316	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
317		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
318	316, 317	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
319		elfzle2 13260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝐾) → 𝑖 ≤ 𝐾)
320	319	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ≤ 𝐾)
321	316	ltp1d 11905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
322	315, 316, 318, 320, 321	lelttrd 11133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 < (𝐾 + 1))
323	315, 322	ltned 11111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ≠ (𝐾 + 1))
324	323	neneqd 2948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1))
325	324	iffalsed 4470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)))
326	325	sumeq2dv 15415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)))
327	326	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
328		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘1) − 1) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) → (((𝑏‘1) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1)))
329		eqeq1 2742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) → ((((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1)))
330		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘1) − 1) = ((𝑏‘1) − 1))
331		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
332	331	iftrued 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘1))
333	332	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑏‘1) = if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))))
334	333	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘1) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
335	330, 334	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘1) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
336		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))
337		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ¬ 𝑖 = 1)
338	337	iffalsed 4470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
339	338	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))
340	339	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
341	336, 340	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
342	328, 329, 335, 341	ifbothda 4497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
343	342	sumeq2dv 15415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
344	343	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
345		fzfid 13693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (1...𝐾) ∈ Fin)
346		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏‘1) = if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) → ((𝑏‘1) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ ℤ))
347		eleq1 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) = if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ ℤ))
348	65	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
349	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
350		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ∈ (1...𝐾))
351	349, 350	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑏‘𝑖) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
352	264	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑏‘𝑖) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℤ)
353	351, 352	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℤ)
354	353	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℤ)
355	349	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
356		1zzd 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ∈ ℤ)
357	13	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
358	314	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ∈ ℤ)
359	358	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ∈ ℤ)
360	359, 356	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
361	314	nnge1d 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑖)
362	361	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ≤ 𝑖)
363	337, 272	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ≠ 1)
364	362, 363	jca 512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≠ 1))
365	317	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ∈ ℝ)
366	315	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ∈ ℝ)
367	365, 366	ltlend 11120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 < 𝑖 ↔ (1 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≠ 1)))
368	364, 367	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 < 𝑖)
369		zltlem1 12373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (1 < 𝑖 ↔ 1 ≤ (𝑖 − 1)))
370	356, 359, 369	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 < 𝑖 ↔ 1 ≤ (𝑖 − 1)))
371	368, 370	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ≤ (𝑖 − 1))
372	315, 317	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑖 − 1) ∈ ℝ)
373	315	lem1d 11908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑖 − 1) ≤ 𝑖)
374	372, 315, 316, 373, 320	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑖 − 1) ≤ 𝐾)
375	374	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ≤ 𝐾)
376	356, 357, 360, 371, 375	elfzd 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ∈ (1...𝐾))
377	355, 376	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
378	377, 292	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ ℕ)
379	378	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ ℤ)
380	354, 379	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ ℤ)
381	346, 347, 348, 380	ifbothda 4497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ ℤ)
382	381	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ ℂ)
383	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ)
384	345, 382, 383	fsumsub 15500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)1))
385		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 1 → 𝑖 = 1)
386	385	iftrued 4467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 1 → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘1))
387	213, 382, 386	fsum1p 15465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))))
388	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
389		elfzle1 13259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → (1 + 1) ≤ 𝑖)
390	389	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 + 1) ≤ 𝑖)
391	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
392		elfzelz 13256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → 𝑖 ∈ ℤ)
393	392	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑖 ∈ ℤ)
394	391, 393, 279	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 < 𝑖 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑖))
395	390, 394	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 < 𝑖)
396	388, 395	ltned 11111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ≠ 𝑖)
397	396	necomd 2999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑖 ≠ 1)
398	397	neneqd 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → ¬ 𝑖 = 1)
399	398	iffalsed 4470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
400	399	sumeq2dv 15415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
401	400	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))))
402	33	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℂ)
403	402, 67	npcand 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
404	403	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 = ((𝐾 − 1) + 1))
405	404	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((1 + 1)...𝐾) = ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)))
406	405	sumeq1d 15413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
407	406	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))))
408		elfzelz 13256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
409	408	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
410	409	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℂ)
411		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℂ)
412	410, 411	npcand 11336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑖 − 1) + 1) = 𝑖)
413	412	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑖 = ((𝑖 − 1) + 1))
414	413	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑏‘𝑖) = (𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)))
415		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) = (𝑏‘(𝑖 − 1)))
416	414, 415	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) = ((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
417	416	sumeq2dv 15415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
418	417	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))))
419	13, 30	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
420	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
421		1zzd 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
422	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
423		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ∈ ℕ)
424	423	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℕ)
425	424	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℤ)
426	425	peano2zd 12429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
427		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
428	424	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
429	428, 427	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
430	424	nnge1d 12021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ 𝑠)
431	428	lep1d 11906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝑠 + 1))
432	427, 428, 429, 430, 431	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ (𝑠 + 1))
433		elfzle2 13260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
434	433	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
435	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
436		leaddsub 11451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
437	428, 427, 435, 436	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
438	434, 437	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ≤ 𝐾)
439	421, 422, 426, 432, 438	elfzd 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ (1...𝐾))
440	420, 439	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑏‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
441		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑏‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
442	440, 441	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑏‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
443	442	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑏‘(𝑠 + 1)) ∈ ℤ)
444	435, 427	resubcld 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
445	435	lem1d 11908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
446	428, 444, 435, 434, 445	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ 𝐾)
447	421, 422, 425, 430, 446	elfzd 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ (1...𝐾))
448	420, 447	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑏‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
449		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑏‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑠) ∈ ℕ)
450	449	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑏‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑠) ∈ ℤ)
451	448, 450	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑏‘𝑠) ∈ ℤ)
452	443, 451	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) ∈ ℤ)
453	452	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) ∈ ℂ)
454		fvoveq1 7298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑠 = (𝑖 − 1) → (𝑏‘(𝑠 + 1)) = (𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)))
455		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑠 = (𝑖 − 1) → (𝑏‘𝑠) = (𝑏‘(𝑖 − 1)))
456	454, 455	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑠 = (𝑖 − 1) → ((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) = ((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
457	30, 30, 419, 453, 456	fsumshft 15492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
458	457	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))))
459	458	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠))))
460		fvoveq1 7298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑠 = 𝑖 → (𝑏‘(𝑠 + 1)) = (𝑏‘(𝑖 + 1)))
461		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑠 = 𝑖 → (𝑏‘𝑠) = (𝑏‘𝑖))
462	460, 461	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑠 = 𝑖 → ((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) = ((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖)))
463		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Ⅎ𝑖(1...(𝐾 − 1))
464		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Ⅎ𝑠(1...(𝐾 − 1))
465		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠))
466		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Ⅎ𝑠((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖))
467	462, 463, 464, 465, 466	cbvsum 15407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖))
468	467	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖)))
469	468	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖))))
470		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑖 → (𝑏‘𝑤) = (𝑏‘𝑖))
471		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = (𝑖 + 1) → (𝑏‘𝑤) = (𝑏‘(𝑖 + 1)))
472		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝑏‘𝑤) = (𝑏‘1))
473		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = ((𝐾 − 1) + 1) → (𝑏‘𝑤) = (𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)))
474	403, 213	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
475	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
476		1zzd 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℤ)
477	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
478		elfzelz 13256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → 𝑤 ∈ ℤ)
479	478	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑤 ∈ ℤ)
480		elfzle1 13259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → 1 ≤ 𝑤)
481	480	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 1 ≤ 𝑤)
482		elfzle2 13260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → 𝑤 ≤ ((𝐾 − 1) + 1))
483	482	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑤 ≤ ((𝐾 − 1) + 1))
484	403	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
485	483, 484	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑤 ≤ 𝐾)
486	476, 477, 479, 481, 485	elfzd 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑤 ∈ (1...𝐾))
487	475, 486	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑏‘𝑤) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
488		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑏‘𝑤) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑤) ∈ ℕ)
489	488	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑏‘𝑤) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑤) ∈ ℂ)
490	487, 489	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑏‘𝑤) ∈ ℂ)
491	470, 471, 472, 473, 419, 474, 490	telfsum2 15517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖)) = ((𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑏‘1)))
492	491	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖))) = ((𝑏‘1) + ((𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑏‘1))))
493	72	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘1) ∈ ℂ)
494	38	nncnd 11989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℂ)
495	403	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑏‘𝐾))
496	495	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) ∈ ℂ ↔ (𝑏‘𝐾) ∈ ℂ))
497	494, 496	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) ∈ ℂ)
498	493, 497	pncan3d 11335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + ((𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑏‘1))) = (𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)))
499	498, 495	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + ((𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑏‘1))) = (𝑏‘𝐾))
500	492, 499	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖))) = (𝑏‘𝐾))
501	469, 500	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠))) = (𝑏‘𝐾))
502	459, 501	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘𝐾))
503	418, 502	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘𝐾))
504	407, 503	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘𝐾))
505	401, 504	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))) = (𝑏‘𝐾))
506	387, 505	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘𝐾))
507		fsumconst 15502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
508	345, 67, 507	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
509	211	nnnn0d 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
510		hashfz1 14060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
511	509, 510	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
512	511	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = (𝐾 · 1))
513	402	mulid1d 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 1) = 𝐾)
514	512, 513	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = 𝐾)
515	508, 514	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)1 = 𝐾)
516	506, 515	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)1) = ((𝑏‘𝐾) − 𝐾))
517	384, 516	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = ((𝑏‘𝐾) − 𝐾))
518	42	addid2d 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (0 + (𝑏‘𝐾)) = (𝑏‘𝐾))
519	518	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) = (0 + (𝑏‘𝐾)))
520	519	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘𝐾) − 𝐾) = ((0 + (𝑏‘𝐾)) − 𝐾))
521	517, 520	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = ((0 + (𝑏‘𝐾)) − 𝐾))
522		0cnd 10968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℂ)
523	522, 402, 42	subsub3d 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))) = ((0 + (𝑏‘𝐾)) − 𝐾))
524	523	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((0 + (𝑏‘𝐾)) − 𝐾) = (0 − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))))
525	521, 524	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (0 − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))))
526	11	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℂ)
527	526	subidd 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑁 − 𝑁) = 0)
528	527	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 = (𝑁 − 𝑁))
529	528	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))) = ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))))
530	525, 529	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))))
531	402, 42	subcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐾 − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℂ)
532	526, 526, 531	subsub4d 11363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑏‘𝐾)))))
533	530, 532	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑏‘𝐾)))))
534	526, 402, 42	addsubassd 11352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) = (𝑁 + (𝐾 − (𝑏‘𝐾))))
535	534	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑁 + (𝐾 − (𝑏‘𝐾))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)))
536	535	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑏‘𝐾)))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
537	533, 536	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
538		1zzd 12351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
539	381, 538	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) ∈ ℤ)
540	345, 539	fsumzcl 15447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) ∈ ℤ)
541	540	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) ∈ ℂ)
542	53	nn0cnd 12295	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℂ)
543	541, 542, 526	addlsub 11391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)))))
544	537, 543	mpbird 256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = 𝑁)
545	344, 544	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = 𝑁)
546	327, 545	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = 𝑁)
547	312, 546	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = 𝑁)
548	309, 547	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) = 𝑁)
549	210, 548	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)
550	192, 549	jca 512	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
551		ovex 7308	. . . . . . 7 ⊢ (1...(𝐾 + 1)) ∈ V
552	551	mptex 7099	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ V
553		feq1 6581	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ↔ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀))
554		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
555	554	fveq1d 6776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑔‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
556	555	sumeq2dv 15415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
557	556	eqeq1d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
558	553, 557	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)))
559	552, 558	elab 3609	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
560	550, 559	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
561		sticksstones10.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
562	561	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
563	560, 562	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ 𝐴)
564	6, 563	eqeltrrd 2840	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) ∈ 𝐴)
565		sticksstones10.3	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
566	564, 565	fmptd 6988	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 {cab 2715 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 Vcvv 3432 ifcif 4459 {csn 4561 ⟨cop 4567 class class class wbr 5074 ↦ cmpt 5157 ⟶wf 6429 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 Fincfn 8733 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 1c1 10872 + caddc 10874 · cmul 10876 < clt 11009 ≤ cle 11010 − cmin 11205 ℕcn 11973 ℕ₀cn0 12233 ℤcz 12319 ℤ_≥cuz 12582 ...cfz 13239 ♯chash 14044 Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-inf2 9399 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-se 5545 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-isom 6442 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-er 8498 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-sup 9201 df-oi 9269 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12583 df-rp 12731 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-seq 13722 df-exp 13783 df-hash 14045 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-clim 15197 df-sum 15398

This theorem is referenced by: sticksstones12 40114

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