sticksstones10 - Mathbox for metakunt

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Theorem sticksstones10 42846

Description: Establish mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sticksstones10.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
sticksstones10.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones10.3	⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones10.4	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones10.5	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

**Assertion**
Ref	Expression
sticksstones10	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)

Distinct variable groups: 𝐴,𝑏 𝐵,𝑏,𝑖,𝑘 𝑓,𝐾,𝑥,𝑦 𝑔,𝐾,𝑖,𝑘 𝑓,𝑁 𝑔,𝑁,𝑖,𝑘 𝑓,𝑏,𝑥,𝑦 𝑔,𝑏 𝜑,𝑏,𝑖,𝑘 𝑥,𝑘,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔) 𝐴(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘) 𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘,𝑏) 𝐾(𝑏) 𝑁(𝑥,𝑦,𝑏)

Proof of Theorem sticksstones10 Dummy variables 𝑠 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones10.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
2	1	nnne0d 12286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
3	2	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ≠ 0)
4	3	neneqd 2969	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐾 = 0)
5	4	iffalsed 4503	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
6	5	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
7		eleq1 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀))
8		eleq1 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀))
9		sticksstones10.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
10	9	nn0zd 12616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	1	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
14	11, 13	zaddcld 12704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
15		sticksstones10.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
16	15	eleq2i 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))})
17		vex 3467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑏 ∈ V
18		feq1 6684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
19		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → (𝑓‘𝑥) = (𝑏‘𝑥))
20		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → (𝑓‘𝑦) = (𝑏‘𝑦))
21	19, 20	breq12d 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → ((𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))
22	21	imbi2d 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
23	22	2ralbidv 3235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
24	18, 23	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → ((𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦))) ↔ (𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))))
25	17, 24	elab 3647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))} ↔ (𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
26	16, 25	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ (𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
27	26	bilani 509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
28	27	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
29		1zzd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
30	1	nnge1d 12284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
31	30	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ≤ 𝐾)
32	13	zred 12700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ)
33	32	leidd 11780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ≤ 𝐾)
34	29, 13, 13, 31, 33	elfzd 13543	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (1...𝐾))
35	28, 34	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
36		elfznn 13581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℕ)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℕ)
38	37	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℤ)
39	14, 38	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℤ)
40	37	nnred 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℂ)
42	41	addridd 11410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘𝐾) + 0) = (𝑏‘𝐾))
43		elfzle2 13556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
44	35, 43	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
45	42, 44	eqbrtrd 5137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘𝐾) + 0) ≤ (𝑁 + 𝐾))
46		0red 11211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
47	14	zred 12700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℝ)
48	40, 46, 47	leaddsub2d 11816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑏‘𝐾) + 0) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ 0 ≤ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
49	45, 48	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)))
50	39, 49	jca 520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
51		elnn0z 12604	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
52	50, 51	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀)
53	52	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀)
54	53	3impa 1125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀)
55	54	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀)
56		eleq1 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀))
57		eleq1 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀))
58		1red 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
59	58	leidd 11780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ≤ 1)
60	29, 13, 29, 59, 31	elfzd 13543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (1...𝐾))
61	28, 60	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
62		elfznn 13581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘1) ∈ ℕ)
63	62	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
64	61, 63	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
65	64, 29	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℤ)
66		1cnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℂ)
67	66	addridd 11410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (1 + 0) = 1)
68		elfzle1 13555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → 1 ≤ (𝑏‘1))
69	61, 68	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ≤ (𝑏‘1))
70	67, 69	eqbrtrd 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (1 + 0) ≤ (𝑏‘1))
71	64	zred 12700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘1) ∈ ℝ)
72	58, 46, 71	leaddsub2d 11816	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((1 + 0) ≤ (𝑏‘1) ↔ 0 ≤ ((𝑏‘1) − 1)))
73	70, 72	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ ((𝑏‘1) − 1))
74	65, 73	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑏‘1) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑏‘1) − 1)))
75		elnn0z 12604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝑏‘1) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑏‘1) − 1)))
76	74, 75	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
77	76	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
78	77	3impa 1125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
79	78	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
80	79	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
81	28	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
82	81	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
83		1zzd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℤ)
84	13	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
85	84	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
86		simp3 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
87		elfznn 13581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
88	86, 87	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
89	88	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
90	89	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
91	89	nnge1d 12284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 1 ≤ 𝑘)
92		elfzle2 13556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
93	86, 92	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
94	93	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
95		neqne 2972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
96	95	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
97	96	necomd 3019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑘)
98	94, 97	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 ≤ (𝐾 + 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑘))
99	89	nnred 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
100	85	zred 12700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
101		1red 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
102	100, 101	readdcld 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
103	99, 102	ltlend 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝐾 + 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑘)))
104	98, 103	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 < (𝐾 + 1))
105	88	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
106		zleltp1 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1)))
107	105, 84, 106	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1)))
108	107	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1)))
109	104, 108	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ 𝐾)
110	83, 85, 90, 91, 109	elfzd 13543	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
111	82, 110	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
112		elfznn 13581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑘) ∈ ℕ)
113	111, 112	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘𝑘) ∈ ℕ)
114	113	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘𝑘) ∈ ℤ)
115	114	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘𝑘) ∈ ℤ)
116	82	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
117		1zzd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
118	85	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
119	90	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
120	119, 117	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
121	91	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
122		neqne 2972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 1)
123	122	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
124	121, 123	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1))
125	101	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
126	99	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
127	125, 126	ltlend 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1)))
128	124, 127	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘)
129	117, 119	zltlem1d 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
130	128, 129	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1))
131	88	nnred 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
132	58	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
133	32	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
134		lesubadd 11686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑘 − 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 ≤ (𝐾 + 1)))
135	131, 132, 133, 134	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑘 − 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 ≤ (𝐾 + 1)))
136	93, 135	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
137	136	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
138	137	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
139	117, 118, 120, 130, 138	elfzd 13543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
140	116, 139	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
141		elfznn 13581	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
142	140, 141	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
143	142	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
144	115, 143	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
145	144, 117	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
146		0p1e1 12361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
147	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (0 + 1) = 1)
148		1cnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℂ)
149	148	subidd 11557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 − 1) = 0)
150	143	zred 12700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
151	150	recnd 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
152	151	addridd 11410	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑏‘(𝑘 − 1)) + 0) = (𝑏‘(𝑘 − 1)))
153	126	ltm1d 12147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
154	110	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
155	139, 154	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)))
156	27	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))
157	156	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))
158	157	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))
159	158	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))
160		breq1 5116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑦))
161		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑏‘𝑥) = (𝑏‘(𝑘 − 1)))
162	161	breq1d 5123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦) ↔ (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑦)))
163	160, 162	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑦))))
164		breq2 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑘 − 1) < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑘))
165		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑏‘𝑦) = (𝑏‘𝑘))
166	165	breq2d 5125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑦) ↔ (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑘)))
167	164, 166	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑘))))
168	163, 167	rspc2va 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑘)))
169	155, 159, 168	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑘)))
170	153, 169	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑘))
171	152, 170	eqbrtrd 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑏‘(𝑘 − 1)) + 0) < (𝑏‘𝑘))
172		0red 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ∈ ℝ)
173	115	zred 12700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘𝑘) ∈ ℝ)
174	150, 172, 173	ltaddsub2d 11815	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑏‘(𝑘 − 1)) + 0) < (𝑏‘𝑘) ↔ 0 < ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1)))))
175	171, 174	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 < ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))))
176	149, 175	eqbrtrd 5137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 − 1) < ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))))
177		zlem1lt 12646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ) → (1 ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ↔ (1 − 1) < ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1)))))
178	117, 144, 177	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ↔ (1 − 1) < ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1)))))
179	176, 178	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))))
180	147, 179	eqbrtrd 5137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (0 + 1) ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))))
181	144	zred 12700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
182		leaddsub 11690	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ∈ ℝ) → ((0 + 1) ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ↔ 0 ≤ (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))
183	172, 125, 181, 182	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((0 + 1) ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ↔ 0 ≤ (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))
184	180, 183	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ≤ (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))
185	145, 184	jca 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))
186		elnn0z 12604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ ((((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))
187	185, 186	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀)
188	56, 57, 80, 187	ifbothda 4531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀)
189	7, 8, 55, 188	ifbothda 4531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀)
190	189	3expa 1134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀)
191	190	fmpttd 7111	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀)
192		eqidd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
193		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝑘 = 𝑖)
194	193	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑖 = (𝐾 + 1)))
195	193	eqeq1d 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑖 = 1))
196	193	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑏‘𝑘) = (𝑏‘𝑖))
197	193	fvoveq1d 7433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) = (𝑏‘(𝑖 − 1)))
198	196, 197	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) = ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
199	198	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))
200	195, 199	ifbieq2d 4519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)))
201	194, 200	ifbieq2d 4519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))))
202		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
203		ovexd 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ V)
204		ovexd 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ V)
205		ovexd 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) ∈ V)
206	204, 205	ifcld 4539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ V)
207	203, 206	ifcld 4539	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ V)
208	192, 201, 202, 207	fvmptd 6998	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))))
209	208	sumeq2dv 15753	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))))
210	1	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ)
211		nnuz 12901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
212	210, 211	eleqtrdi 2879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1))
213		eleq1 2857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) → (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ ℤ))
214		eleq1 2857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) → (if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ ℤ))
215	11	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
216	215	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
217	13	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
218	217	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
219	216, 218	zaddcld 12704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
220	37	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℕ)
221	220	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℕ)
222	221	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℤ)
223	219, 222	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℤ)
224		eleq1 2857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏‘1) − 1) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) → (((𝑏‘1) − 1) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
225		eleq1 2857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) → ((((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
226	64	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
227	226	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
228	227	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
229		1zzd 12625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑖 = 1) → 1 ∈ ℤ)
230	228, 229	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℤ)
231	28	3adant3 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
232	231	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
233	232	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
234		1zzd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℤ)
235	217	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
236		elfznn 13581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
237	236	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
238	237	3impa 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
239	238	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
240	239	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
241	238	nnge1d 12284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ 𝑖)
242	241	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 1 ≤ 𝑖)
243		simp3 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
244		elfzle2 13556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
245	243, 244	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
246	245	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
247		neqne 2972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑖 = (𝐾 + 1) → 𝑖 ≠ (𝐾 + 1))
248	247	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ≠ (𝐾 + 1))
249	248	necomd 3019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑖)
250	246, 249	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑖 ≤ (𝐾 + 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑖))
251	240	zred 12700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
252	235	zred 12700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
253		1red 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
254	252, 253	readdcld 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
255	251, 254	ltlend 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑖 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑖 ≤ (𝐾 + 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑖)))
256	250, 255	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 < (𝐾 + 1))
257		zleltp1 12645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ 𝐾 ↔ 𝑖 < (𝐾 + 1)))
258	240, 235, 257	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑖 ≤ 𝐾 ↔ 𝑖 < (𝐾 + 1)))
259	256, 258	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ≤ 𝐾)
260	234, 235, 240, 242, 259	elfzd 13543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ (1...𝐾))
261	260	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ∈ (1...𝐾))
262	233, 261	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘𝑖) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
263		elfznn 13581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏‘𝑖) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℕ)
264	262, 263	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℕ)
265	264	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℤ)
266		1zzd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ∈ ℤ)
267	235	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
268	240	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ∈ ℤ)
269	268, 266	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
270	242	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ≤ 𝑖)
271		neqne 2972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑖 = 1 → 𝑖 ≠ 1)
272	271	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ≠ 1)
273	270, 272	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≠ 1))
274		1red 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ∈ ℝ)
275	268	zred 12700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ∈ ℝ)
276	274, 275	ltlend 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 < 𝑖 ↔ (1 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≠ 1)))
277	273, 276	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 < 𝑖)
278		zltp1le 12644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (1 < 𝑖 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑖))
279	266, 268, 278	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 < 𝑖 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑖))
280	277, 279	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 + 1) ≤ 𝑖)
281		leaddsub 11690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑖 ↔ 1 ≤ (𝑖 − 1)))
282	274, 274, 275, 281	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ((1 + 1) ≤ 𝑖 ↔ 1 ≤ (𝑖 − 1)))
283	280, 282	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ≤ (𝑖 − 1))
284	246	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
285	252	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
286		lesubadd 11686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑖 − 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑖 ≤ (𝐾 + 1)))
287	275, 274, 285, 286	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ((𝑖 − 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑖 ≤ (𝐾 + 1)))
288	284, 287	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ≤ 𝐾)
289	266, 267, 269, 283, 288	elfzd 13543	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ∈ (1...𝐾))
290	233, 289	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
291		elfznn 13581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ ℕ)
292	290, 291	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ ℕ)
293	292	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ ℤ)
294	265, 293	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ ℤ)
295	294, 266	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
296	224, 225, 230, 295	ifbothda 4531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ ℤ)
297	213, 214, 223, 296	ifbothda 4531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ ℤ)
298	297	3expa 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ ℤ)
299	298	zcnd 12701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ ℂ)
300		eqeq1 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → (𝑖 = (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1)))
301		eqeq1 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → (𝑖 = 1 ↔ (𝐾 + 1) = 1))
302		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → (𝑏‘𝑖) = (𝑏‘(𝐾 + 1)))
303		fvoveq1 7434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) = (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1)))
304	302, 303	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) = ((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))))
305	304	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))
306	301, 305	ifbieq2d 4519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))
307	300, 306	ifbieq2d 4519	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) = if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))))
308	212, 299, 307	fsump1 15807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))))
309		eqidd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1))
310	309	iftrued 4500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)))
311	310	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
312		elfznn 13581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝐾) → 𝑖 ∈ ℕ)
313	312	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ∈ ℕ)
314	313	nnred 12248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ∈ ℝ)
315	32	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
316		1red 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
317	315, 316	readdcld 11238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
318		elfzle2 13556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝐾) → 𝑖 ≤ 𝐾)
319	318	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ≤ 𝐾)
320	315	ltp1d 12145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
321	314, 315, 317, 319, 320	lelttrd 11368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 < (𝐾 + 1))
322	314, 321	ltned 11346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ≠ (𝐾 + 1))
323	322	neneqd 2969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1))
324	323	iffalsed 4503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)))
325	324	sumeq2dv 15753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)))
326	325	oveq1d 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
327		eqeq1 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘1) − 1) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) → (((𝑏‘1) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1)))
328		eqeq1 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) → ((((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1)))
329		eqidd 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘1) − 1) = ((𝑏‘1) − 1))
330		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
331	330	iftrued 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘1))
332	331	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑏‘1) = if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))))
333	332	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘1) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
334	329, 333	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘1) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
335		eqidd 2770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))
336		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ¬ 𝑖 = 1)
337	336	iffalsed 4503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
338	337	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))
339	338	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
340	335, 339	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
341	327, 328, 334, 340	ifbothda 4531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
342	341	sumeq2dv 15753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
343	342	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
344		fzfid 14009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (1...𝐾) ∈ Fin)
345		eleq1 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏‘1) = if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) → ((𝑏‘1) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ ℤ))
346		eleq1 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) = if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ ℤ))
347	64	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
348	28	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
349		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ∈ (1...𝐾))
350	348, 349	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑏‘𝑖) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
351	263	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑏‘𝑖) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℤ)
352	350, 351	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℤ)
353	352	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℤ)
354	348	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
355		1zzd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ∈ ℤ)
356	13	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
357	313	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ∈ ℤ)
358	357	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ∈ ℤ)
359	358, 355	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
360	313	nnge1d 12284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑖)
361	360	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ≤ 𝑖)
362	336, 271	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ≠ 1)
363	361, 362	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≠ 1))
364	316	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ∈ ℝ)
365	314	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ∈ ℝ)
366	364, 365	ltlend 11355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 < 𝑖 ↔ (1 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≠ 1)))
367	363, 366	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 < 𝑖)
368		zltlem1 12647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (1 < 𝑖 ↔ 1 ≤ (𝑖 − 1)))
369	355, 358, 368	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 < 𝑖 ↔ 1 ≤ (𝑖 − 1)))
370	367, 369	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ≤ (𝑖 − 1))
371	314, 316	resubcld 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑖 − 1) ∈ ℝ)
372	314	lem1d 12148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑖 − 1) ≤ 𝑖)
373	371, 314, 315, 372, 319	letrd 11367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑖 − 1) ≤ 𝐾)
374	373	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ≤ 𝐾)
375	355, 356, 359, 370, 374	elfzd 13543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ∈ (1...𝐾))
376	354, 375	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
377	376, 291	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ ℕ)
378	377	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ ℤ)
379	353, 378	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ ℤ)
380	345, 346, 347, 379	ifbothda 4531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ ℤ)
381	380	zcnd 12701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ ℂ)
382	66	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ)
383	344, 381, 382	fsumsub 15839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)1))
384		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 1 → 𝑖 = 1)
385	384	iftrued 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 1 → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘1))
386	212, 381, 385	fsum1p 15804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))))
387	58	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
388		elfzle1 13555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → (1 + 1) ≤ 𝑖)
389	388	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 + 1) ≤ 𝑖)
390	29	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
391		elfzelz 13552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → 𝑖 ∈ ℤ)
392	391	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑖 ∈ ℤ)
393	390, 392, 278	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 < 𝑖 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑖))
394	389, 393	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 < 𝑖)
395	387, 394	ltned 11346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ≠ 𝑖)
396	395	necomd 3019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑖 ≠ 1)
397	396	neneqd 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → ¬ 𝑖 = 1)
398	397	iffalsed 4503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
399	398	sumeq2dv 15753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
400	399	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))))
401	32	recnd 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℂ)
402	401, 66	npcand 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
403	402	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 = ((𝐾 − 1) + 1))
404	403	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((1 + 1)...𝐾) = ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)))
405	404	sumeq1d 15751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
406	405	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))))
407		elfzelz 13552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
408	407	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
409	408	zcnd 12701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℂ)
410		1cnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℂ)
411	409, 410	npcand 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑖 − 1) + 1) = 𝑖)
412	411	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑖 = ((𝑖 − 1) + 1))
413	412	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑏‘𝑖) = (𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)))
414		eqidd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) = (𝑏‘(𝑖 − 1)))
415	413, 414	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) = ((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
416	415	sumeq2dv 15753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
417	416	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))))
418	13, 29	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
419	28	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
420		1zzd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
421	13	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
422		elfznn 13581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ∈ ℕ)
423	422	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℕ)
424	423	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℤ)
425	424	peano2zd 12703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
426		1red 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
427	423	nnred 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
428	427, 426	readdcld 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
429	423	nnge1d 12284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ 𝑠)
430	427	lep1d 12146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝑠 + 1))
431	426, 427, 428, 429, 430	letrd 11367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ (𝑠 + 1))
432		elfzle2 13556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
433	432	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
434	32	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
435		leaddsub 11690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
436	427, 426, 434, 435	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
437	433, 436	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ≤ 𝐾)
438	420, 421, 425, 431, 437	elfzd 13543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ (1...𝐾))
439	419, 438	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑏‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
440		elfznn 13581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑏‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
441	439, 440	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑏‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
442	441	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑏‘(𝑠 + 1)) ∈ ℤ)
443	434, 426	resubcld 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
444	434	lem1d 12148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
445	427, 443, 434, 433, 444	letrd 11367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ 𝐾)
446	420, 421, 424, 429, 445	elfzd 13543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ (1...𝐾))
447	419, 446	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑏‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
448		elfznn 13581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑏‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑠) ∈ ℕ)
449	448	nnzd 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑏‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑠) ∈ ℤ)
450	447, 449	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑏‘𝑠) ∈ ℤ)
451	442, 450	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) ∈ ℤ)
452	451	zcnd 12701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) ∈ ℂ)
453		fvoveq1 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑠 = (𝑖 − 1) → (𝑏‘(𝑠 + 1)) = (𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)))
454		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑠 = (𝑖 − 1) → (𝑏‘𝑠) = (𝑏‘(𝑖 − 1)))
455	453, 454	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑠 = (𝑖 − 1) → ((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) = ((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
456	29, 29, 418, 452, 455	fsumshft 15831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
457	456	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))))
458	457	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠))))
459		fvoveq1 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑠 = 𝑖 → (𝑏‘(𝑠 + 1)) = (𝑏‘(𝑖 + 1)))
460		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑠 = 𝑖 → (𝑏‘𝑠) = (𝑏‘𝑖))
461	459, 460	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑠 = 𝑖 → ((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) = ((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖)))
462		nfcv 2931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠))
463		nfcv 2931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Ⅎ𝑠((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖))
464	461, 462, 463	cbvsum 15746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖))
465	464	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖)))
466	465	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖))))
467		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑖 → (𝑏‘𝑤) = (𝑏‘𝑖))
468		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = (𝑖 + 1) → (𝑏‘𝑤) = (𝑏‘(𝑖 + 1)))
469		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝑏‘𝑤) = (𝑏‘1))
470		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = ((𝐾 − 1) + 1) → (𝑏‘𝑤) = (𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)))
471	402, 212	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
472	28	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
473		1zzd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℤ)
474	13	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
475		elfzelz 13552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → 𝑤 ∈ ℤ)
476	475	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑤 ∈ ℤ)
477		elfzle1 13555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → 1 ≤ 𝑤)
478	477	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 1 ≤ 𝑤)
479		elfzle2 13556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → 𝑤 ≤ ((𝐾 − 1) + 1))
480	479	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑤 ≤ ((𝐾 − 1) + 1))
481	402	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
482	480, 481	breqtrd 5141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑤 ≤ 𝐾)
483	473, 474, 476, 478, 482	elfzd 13543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑤 ∈ (1...𝐾))
484	472, 483	ffvelcdmd 7081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑏‘𝑤) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
485		elfznn 13581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑏‘𝑤) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑤) ∈ ℕ)
486	485	nncnd 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑏‘𝑤) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑤) ∈ ℂ)
487	484, 486	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑏‘𝑤) ∈ ℂ)
488	467, 468, 469, 470, 418, 471, 487	telfsum2 15857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖)) = ((𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑏‘1)))
489	488	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖))) = ((𝑏‘1) + ((𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑏‘1))))
490	71	recnd 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘1) ∈ ℂ)
491	37	nncnd 12249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℂ)
492	402	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑏‘𝐾))
493	492	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) ∈ ℂ ↔ (𝑏‘𝐾) ∈ ℂ))
494	491, 493	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) ∈ ℂ)
495	490, 494	pncan3d 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + ((𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑏‘1))) = (𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)))
496	495, 492	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + ((𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑏‘1))) = (𝑏‘𝐾))
497	489, 496	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖))) = (𝑏‘𝐾))
498	466, 497	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠))) = (𝑏‘𝐾))
499	458, 498	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘𝐾))
500	417, 499	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘𝐾))
501	406, 500	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘𝐾))
502	400, 501	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))) = (𝑏‘𝐾))
503	386, 502	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘𝐾))
504		fsumconst 15841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
505	344, 66, 504	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
506	210	nnnn0d 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
507		hashfz1 14382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
508	506, 507	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
509	508	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = (𝐾 · 1))
510	401	mulridd 11226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 1) = 𝐾)
511	509, 510	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = 𝐾)
512	505, 511	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)1 = 𝐾)
513	503, 512	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)1) = ((𝑏‘𝐾) − 𝐾))
514	383, 513	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = ((𝑏‘𝐾) − 𝐾))
515	41	addlidd 11411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (0 + (𝑏‘𝐾)) = (𝑏‘𝐾))
516	515	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) = (0 + (𝑏‘𝐾)))
517	516	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘𝐾) − 𝐾) = ((0 + (𝑏‘𝐾)) − 𝐾))
518	514, 517	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = ((0 + (𝑏‘𝐾)) − 𝐾))
519		0cnd 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℂ)
520	519, 401, 41	subsub3d 11599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))) = ((0 + (𝑏‘𝐾)) − 𝐾))
521	520	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((0 + (𝑏‘𝐾)) − 𝐾) = (0 − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))))
522	518, 521	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (0 − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))))
523	11	zcnd 12701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℂ)
524	523	subidd 11557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑁 − 𝑁) = 0)
525	524	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 = (𝑁 − 𝑁))
526	525	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))) = ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))))
527	522, 526	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))))
528	401, 41	subcld 11569	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐾 − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℂ)
529	523, 523, 528	subsub4d 11600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑏‘𝐾)))))
530	527, 529	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑏‘𝐾)))))
531	523, 401, 41	addsubassd 11589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) = (𝑁 + (𝐾 − (𝑏‘𝐾))))
532	531	eqcomd 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑁 + (𝐾 − (𝑏‘𝐾))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)))
533	532	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑏‘𝐾)))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
534	530, 533	eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
535		1zzd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
536	380, 535	zsubcld 12705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) ∈ ℤ)
537	344, 536	fsumzcl 15786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) ∈ ℤ)
538	537	zcnd 12701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) ∈ ℂ)
539	52	nn0cnd 12567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℂ)
540	538, 539, 523	addlsub 11630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)))))
541	534, 540	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = 𝑁)
542	343, 541	eqtrd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = 𝑁)
543	326, 542	eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = 𝑁)
544	311, 543	eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = 𝑁)
545	308, 544	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) = 𝑁)
546	209, 545	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)
547	191, 546	jca 520	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
548		ovex 7444	. . . . . . 7 ⊢ (1...(𝐾 + 1)) ∈ V
549	548	mptex 7222	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ V
550		feq1 6684	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ↔ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀))
551		simpl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
552	551	fveq1d 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑔‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
553	552	sumeq2dv 15753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
554	553	eqeq1d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
555	550, 554	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)))
556	549, 555	elab 3647	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
557	547, 556	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
558		sticksstones10.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
559	558	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
560	557, 559	eleqtrrd 2872	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ 𝐴)
561	6, 560	eqeltrrd 2870	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) ∈ 𝐴)
562		sticksstones10.3	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
563	561, 562	fmptd 7110	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 400 ∧ w3a 1101 = wceq 1567 ∈ wcel 2149 {cab 2747 ≠ wne 2964 ∀wral 3085 Vcvv 3463 ifcif 4492 {csn 4594 ⟨cop 4600 class class class wbr 5113 ↦ cmpt 5196 ⟶wf 6533 ‘cfv 6537 (class class class)co 7411 Fincfn 8943 ℂcc 11098 ℝcr 11099 0cc0 11100 1c1 11101 + caddc 11103 · cmul 11105 < clt 11243 ≤ cle 11244 − cmin 11441 ℕcn 12233 ℕ₀cn0 12504 ℤcz 12591 ℤ_≥cuz 12862 ...cfz 13535 ♯chash 14366 Σcsu 15737

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1822 ax-4 1836 ax-5 1937 ax-6 1994 ax-7 2035 ax-8 2151 ax-9 2159 ax-10 2182 ax-11 2198 ax-12 2219 ax-ext 2741 ax-rep 5242 ax-sep 5261 ax-nul 5271 ax-pow 5337 ax-pr 5405 ax-un 7733 ax-inf2 9610 ax-cnex 11156 ax-resscn 11157 ax-1cn 11158 ax-icn 11159 ax-addcl 11160 ax-addrcl 11161 ax-mulcl 11162 ax-mulrcl 11163 ax-mulcom 11164 ax-addass 11165 ax-mulass 11166 ax-distr 11167 ax-i2m1 11168 ax-1ne0 11169 ax-1rid 11170 ax-rnegex 11171 ax-rrecex 11172 ax-cnre 11173 ax-pre-lttri 11174 ax-pre-lttrn 11175 ax-pre-ltadd 11176 ax-pre-mulgt0 11177 ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1102 df-3an 1103 df-tru 1570 df-fal 1580 df-ex 1807 df-nf 1811 df-sb 2098 df-mo 2573 df-eu 2603 df-clab 2748 df-cleq 2761 df-clel 2844 df-nfc 2918 df-ne 2965 df-nel 3071 df-ral 3086 df-rex 3096 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3424 df-v 3465 df-sbc 3754 df-csb 3862 df-dif 3916 df-un 3918 df-in 3920 df-ss 3930 df-pss 3933 df-nul 4295 df-if 4493 df-pw 4569 df-sn 4595 df-pr 4597 df-op 4601 df-uni 4877 df-int 4917 df-iun 4962 df-br 5114 df-opab 5178 df-mpt 5197 df-tr 5223 df-id 5557 df-eprel 5562 df-po 5570 df-so 5571 df-fr 5615 df-se 5616 df-we 5617 df-xp 5668 df-rel 5669 df-cnv 5670 df-co 5671 df-dm 5672 df-rn 5673 df-res 5674 df-ima 5675 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7368 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7863 df-1st 7986 df-2nd 7987 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8358 df-rdg 8397 df-1o 8453 df-er 8694 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-fin 8947 df-sup 9402 df-oi 9472 df-card 9925 df-pnf 11245 df-mnf 11246 df-xr 11247 df-ltxr 11248 df-le 11249 df-sub 11443 df-neg 11444 df-div 11872 df-nn 12234 df-2 12303 df-3 12304 df-n0 12505 df-z 12592 df-uz 12863 df-rp 13017 df-fz 13536 df-fzo 13683 df-seq 14038 df-exp 14098 df-hash 14367 df-cj 15150 df-re 15151 df-im 15152 df-sqrt 15286 df-abs 15287 df-clim 15539 df-sum 15738

This theorem is referenced by: sticksstones12 42849

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