sticksstones10 - Mathbox for metakunt

	Mathbox for metakunt		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > sticksstones10		Structured version Visualization version GIF version

Theorem sticksstones10 42156

Description: Establish mapping between strictly monotone functions and functions that sum to a fixed non-negative integer. (Contributed by metakunt, 6-Oct-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
sticksstones10.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
sticksstones10.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
sticksstones10.3	⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
sticksstones10.4	⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
sticksstones10.5	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}

**Assertion**
Ref	Expression
sticksstones10	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)

Distinct variable groups: 𝐴,𝑏 𝐵,𝑏,𝑖,𝑘 𝑓,𝐾,𝑥,𝑦 𝑔,𝐾,𝑖,𝑘 𝑓,𝑁 𝑔,𝑁,𝑖,𝑘 𝑓,𝑏,𝑥,𝑦 𝑔,𝑏 𝜑,𝑏,𝑖,𝑘 𝑥,𝑘,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔) 𝐴(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘) 𝐵(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑓,𝑔,𝑖,𝑘,𝑏) 𝐾(𝑏) 𝑁(𝑥,𝑦,𝑏)

Proof of Theorem sticksstones10 Dummy variables 𝑠 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticksstones10.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
2	1	nnne0d 12316	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ≠ 0)
4	3	neneqd 2945	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐾 = 0)
5	4	iffalsed 4536	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
6	5	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
7		eleq1 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀))
8		eleq1 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) → (if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀))
9		sticksstones10.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
10	9	nn0zd 12639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	1	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℤ)
14	11, 13	zaddcld 12726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
15		sticksstones10.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))}
16	15	eleq2i 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ 𝑏 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))})
17		vex 3484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑏 ∈ V
18		feq1 6716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ↔ 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾))))
19		fveq1 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → (𝑓‘𝑥) = (𝑏‘𝑥))
20		fveq1 6905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → (𝑓‘𝑦) = (𝑏‘𝑦))
21	19, 20	breq12d 5156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → ((𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦) ↔ (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))
22	21	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
23	22	2ralbidv 3221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → (∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
24	18, 23	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = 𝑏 → ((𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦))) ↔ (𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))))
25	17, 24	elab 3679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 ∈ {𝑓 ∣ (𝑓:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑓‘𝑥) < (𝑓‘𝑦)))} ↔ (𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
26	16, 25	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 ↔ (𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
27	26	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))))
29	28	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
30		1zzd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℤ)
31	1	nnge1d 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ≤ 𝐾)
33	13	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℝ)
34	33	leidd 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ≤ 𝐾)
35	30, 13, 13, 32, 34	elfzd 13555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (1...𝐾))
36	29, 35	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
37		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℕ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℕ)
39	38	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℤ)
40	14, 39	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℤ)
41	38	nnred 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℝ)
42	41	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℂ)
43	42	addridd 11461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘𝐾) + 0) = (𝑏‘𝐾))
44		elfzle2 13568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏‘𝐾) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
45	36, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))
46	43, 45	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘𝐾) + 0) ≤ (𝑁 + 𝐾))
47		0red 11264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℝ)
48	14	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℝ)
49	41, 47, 48	leaddsub2d 11865	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑏‘𝐾) + 0) ≤ (𝑁 + 𝐾) ↔ 0 ≤ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
50	46, 49	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)))
51	40, 50	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
52		elnn0z 12626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
53	51, 52	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀)
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀)
55	54	3impa 1110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℕ₀)
57		eleq1 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏‘1) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) → (((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀))
58		eleq1 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) = if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) → ((((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀))
59		1red 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
60	59	leidd 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ≤ 1)
61	30, 13, 30, 60, 32	elfzd 13555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ∈ (1...𝐾))
62	29, 61	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
63		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘1) ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑏‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
65	62, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
66	65, 30	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℤ)
67		1cnd 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ∈ ℂ)
68	67	addridd 11461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (1 + 0) = 1)
69		elfzle1 13567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑏‘1) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → 1 ≤ (𝑏‘1))
70	62, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 1 ≤ (𝑏‘1))
71	68, 70	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (1 + 0) ≤ (𝑏‘1))
72	65	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘1) ∈ ℝ)
73	59, 47, 72	leaddsub2d 11865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((1 + 0) ≤ (𝑏‘1) ↔ 0 ≤ ((𝑏‘1) − 1)))
74	71, 73	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ≤ ((𝑏‘1) − 1))
75	66, 74	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (((𝑏‘1) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑏‘1) − 1)))
76		elnn0z 12626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝑏‘1) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑏‘1) − 1)))
77	75, 76	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
79	78	3impa 1110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
81	80	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℕ₀)
82	29	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
84		1zzd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℤ)
85	13	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
86	85	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
87		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
88		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
90	89	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
91	90	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
92	90	nnge1d 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 1 ≤ 𝑘)
93		elfzle2 13568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
94	87, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
95	94	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝐾 + 1))
96		neqne 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑘 = (𝐾 + 1) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
97	96	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≠ (𝐾 + 1))
98	97	necomd 2996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑘)
99	95, 98	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 ≤ (𝐾 + 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑘))
100	90	nnred 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ ℝ)
101	86	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
102		1red 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
103	101, 102	readdcld 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
104	100, 103	ltlend 11406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝐾 + 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑘)))
105	99, 104	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 < (𝐾 + 1))
106	89	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
107		zleltp1 12668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1)))
108	106, 85, 107	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1)))
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 < (𝐾 + 1)))
110	105, 109	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ≤ 𝐾)
111	84, 86, 91, 92, 110	elfzd 13555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
112	83, 111	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
113		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏‘𝑘) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑘) ∈ ℕ)
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘𝑘) ∈ ℕ)
115	114	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘𝑘) ∈ ℤ)
116	115	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘𝑘) ∈ ℤ)
117	83	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
118		1zzd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℤ)
119	86	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
120	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℤ)
121	120, 118	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
122	92	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ 𝑘)
123		neqne 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 𝑘 = 1 → 𝑘 ≠ 1)
124	123	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ≠ 1)
125	122, 124	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1))
126	102	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℝ)
127	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ ℝ)
128	126, 127	ltlend 11406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ (1 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≠ 1)))
129	125, 128	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 < 𝑘)
130	118, 120	zltlem1d 12671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 < 𝑘 ↔ 1 ≤ (𝑘 − 1)))
131	129, 130	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ (𝑘 − 1))
132	89	nnred 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
133	59	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
134	33	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
135		lesubadd 11735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑘 − 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 ≤ (𝐾 + 1)))
136	132, 133, 134, 135	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑘 − 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑘 ≤ (𝐾 + 1)))
137	94, 136	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
138	137	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
139	138	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ≤ 𝐾)
140	118, 119, 121, 131, 139	elfzd 13555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾))
141	117, 140	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
142		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
143	141, 142	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ ℕ)
144	143	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ ℤ)
145	116, 144	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ)
146	145, 118	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
147		0p1e1 12388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (0 + 1) = 1)
149		1cnd 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ∈ ℂ)
150	149	subidd 11608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 − 1) = 0)
151	144	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
152	151	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
153	152	addridd 11461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑏‘(𝑘 − 1)) + 0) = (𝑏‘(𝑘 − 1)))
154	127	ltm1d 12200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑘 − 1) < 𝑘)
155	111	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 𝑘 ∈ (1...𝐾))
156	140, 155	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)))
157	28	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))
158	157	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))
159	158	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))
160	159	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)))
161		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑦))
162		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → (𝑏‘𝑥) = (𝑏‘(𝑘 − 1)))
163	162	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦) ↔ (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑦)))
164	161, 163	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (𝑘 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑦))))
165		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑘 − 1) < 𝑦 ↔ (𝑘 − 1) < 𝑘))
166		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (𝑏‘𝑦) = (𝑏‘𝑘))
167	166	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → ((𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑦) ↔ (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑘)))
168	165, 167	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑘 → (((𝑘 − 1) < 𝑦 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑦)) ↔ ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑘))))
169	164, 168	rspc2va 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑘 − 1) ∈ (1...𝐾) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐾)) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝐾)∀𝑦 ∈ (1...𝐾)(𝑥 < 𝑦 → (𝑏‘𝑥) < (𝑏‘𝑦))) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑘)))
170	156, 160, 169	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑘 − 1) < 𝑘 → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑘)))
171	154, 170	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) < (𝑏‘𝑘))
172	153, 171	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑏‘(𝑘 − 1)) + 0) < (𝑏‘𝑘))
173		0red 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ∈ ℝ)
174	116	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (𝑏‘𝑘) ∈ ℝ)
175	151, 173, 174	ltaddsub2d 11864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑏‘(𝑘 − 1)) + 0) < (𝑏‘𝑘) ↔ 0 < ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1)))))
176	172, 175	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 < ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))))
177	150, 176	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 − 1) < ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))))
178		zlem1lt 12669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ∈ ℤ) → (1 ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ↔ (1 − 1) < ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1)))))
179	118, 145, 178	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (1 ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ↔ (1 − 1) < ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1)))))
180	177, 179	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 1 ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))))
181	148, 180	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (0 + 1) ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))))
182	145	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
183		leaddsub 11739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ∈ ℝ) → ((0 + 1) ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ↔ 0 ≤ (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))
184	173, 126, 182, 183	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((0 + 1) ≤ ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) ↔ 0 ≤ (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))
185	181, 184	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → 0 ≤ (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))
186	146, 185	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → ((((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))
187		elnn0z 12626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀ ↔ ((((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))
188	186, 187	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 = 1) → (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) ∈ ℕ₀)
189	57, 58, 81, 188	ifbothda 4564	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑘 = (𝐾 + 1)) → if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) ∈ ℕ₀)
190	7, 8, 56, 189	ifbothda 4564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀)
191	190	3expa 1119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) ∈ ℕ₀)
192	191	fmpttd 7135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀)
193		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
194		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → 𝑘 = 𝑖)
195	194	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = (𝐾 + 1) ↔ 𝑖 = (𝐾 + 1)))
196	194	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑘 = 1 ↔ 𝑖 = 1))
197	194	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑏‘𝑘) = (𝑏‘𝑖))
198	194	fvoveq1d 7453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝑏‘(𝑘 − 1)) = (𝑏‘(𝑖 − 1)))
199	197, 198	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → ((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) = ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
200	199	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1) = (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))
201	196, 200	ifbieq2d 4552	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)))
202	195, 201	ifbieq2d 4552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑘 = 𝑖) → if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))))
203		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
204		ovexd 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ V)
205		ovexd 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ V)
206		ovexd 7466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) ∈ V)
207	205, 206	ifcld 4572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ V)
208	204, 207	ifcld 4572	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ V)
209	193, 202, 203, 208	fvmptd 7023	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))))
210	209	sumeq2dv 15738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))))
211	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ)
212		nnuz 12921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
213	211, 212	eleqtrdi 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (ℤ_≥‘1))
214		eleq1 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) → (((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ ℤ))
215		eleq1 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) → (if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ ℤ))
216	11	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
217	216	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
218	13	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
219	218	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
220	217, 219	zaddcld 12726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
221	38	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℕ)
222	221	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℕ)
223	222	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℤ)
224	220, 223	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℤ)
225		eleq1 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏‘1) − 1) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) → (((𝑏‘1) − 1) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
226		eleq1 2829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) → ((((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ ℤ))
227	65	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
228	227	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
229	228	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
230		1zzd 12648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑖 = 1) → 1 ∈ ℤ)
231	229, 230	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘1) − 1) ∈ ℤ)
232	29	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
233	232	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
234	233	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
235		1zzd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℤ)
236	218	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℤ)
237		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ ℕ)
238	237	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
239	238	3impa 1110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
240	239	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
241	240	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
242	239	nnge1d 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 1 ≤ 𝑖)
243	242	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 1 ≤ 𝑖)
244		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)))
245		elfzle2 13568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
246	244, 245	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
247	246	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
248		neqne 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ 𝑖 = (𝐾 + 1) → 𝑖 ≠ (𝐾 + 1))
249	248	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ≠ (𝐾 + 1))
250	249	necomd 2996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ≠ 𝑖)
251	247, 250	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑖 ≤ (𝐾 + 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑖))
252	241	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ ℝ)
253	236	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝐾 ∈ ℝ)
254		1red 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
255	253, 254	readdcld 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
256	252, 255	ltlend 11406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑖 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑖 ≤ (𝐾 + 1) ∧ (𝐾 + 1) ≠ 𝑖)))
257	251, 256	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 < (𝐾 + 1))
258		zleltp1 12668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ 𝐾 ↔ 𝑖 < (𝐾 + 1)))
259	241, 236, 258	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → (𝑖 ≤ 𝐾 ↔ 𝑖 < (𝐾 + 1)))
260	257, 259	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ≤ 𝐾)
261	235, 236, 241, 243, 260	elfzd 13555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → 𝑖 ∈ (1...𝐾))
262	261	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ∈ (1...𝐾))
263	234, 262	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘𝑖) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
264		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏‘𝑖) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℕ)
265	263, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℕ)
266	265	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℤ)
267		1zzd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ∈ ℤ)
268	236	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
269	241	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ∈ ℤ)
270	269, 267	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
271	243	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ≤ 𝑖)
272		neqne 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑖 = 1 → 𝑖 ≠ 1)
273	272	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ≠ 1)
274	271, 273	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≠ 1))
275		1red 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ∈ ℝ)
276	269	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ∈ ℝ)
277	275, 276	ltlend 11406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 < 𝑖 ↔ (1 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≠ 1)))
278	274, 277	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 < 𝑖)
279		zltp1le 12667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (1 < 𝑖 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑖))
280	267, 269, 279	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 < 𝑖 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑖))
281	278, 280	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 + 1) ≤ 𝑖)
282		leaddsub 11739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → ((1 + 1) ≤ 𝑖 ↔ 1 ≤ (𝑖 − 1)))
283	275, 275, 276, 282	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ((1 + 1) ≤ 𝑖 ↔ 1 ≤ (𝑖 − 1)))
284	281, 283	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ≤ (𝑖 − 1))
285	247	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ≤ (𝐾 + 1))
286	253	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝐾 ∈ ℝ)
287		lesubadd 11735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑖 − 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑖 ≤ (𝐾 + 1)))
288	276, 275, 286, 287	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ((𝑖 − 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑖 ≤ (𝐾 + 1)))
289	285, 288	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ≤ 𝐾)
290	267, 268, 270, 284, 289	elfzd 13555	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ∈ (1...𝐾))
291	234, 290	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
292		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ ℕ)
293	291, 292	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ ℕ)
294	293	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ ℤ)
295	266, 294	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ ℤ)
296	295, 267	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) ∈ ℤ)
297	225, 226, 231, 296	ifbothda 4564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) ∧ ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1)) → if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) ∈ ℤ)
298	214, 215, 224, 297	ifbothda 4564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ ℤ)
299	298	3expa 1119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ ℤ)
300	299	zcnd 12723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) ∈ ℂ)
301		eqeq1 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → (𝑖 = (𝐾 + 1) ↔ (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1)))
302		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → (𝑖 = 1 ↔ (𝐾 + 1) = 1))
303		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → (𝑏‘𝑖) = (𝑏‘(𝐾 + 1)))
304		fvoveq1 7454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) = (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1)))
305	303, 304	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) = ((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))))
306	305	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))
307	302, 306	ifbieq2d 4552	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))
308	301, 307	ifbieq2d 4552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝐾 + 1) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) = if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))))
309	213, 300, 308	fsump1 15792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))))
310		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐾 + 1) = (𝐾 + 1))
311	310	iftrued 4533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)))
312	311	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
313		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝐾) → 𝑖 ∈ ℕ)
314	313	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ∈ ℕ)
315	314	nnred 12281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ∈ ℝ)
316	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
317		1red 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
318	316, 317	readdcld 11290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
319		elfzle2 13568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (1...𝐾) → 𝑖 ≤ 𝐾)
320	319	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ≤ 𝐾)
321	316	ltp1d 12198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝐾 < (𝐾 + 1))
322	315, 316, 318, 320, 321	lelttrd 11419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 < (𝐾 + 1))
323	315, 322	ltned 11397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ≠ (𝐾 + 1))
324	323	neneqd 2945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → ¬ 𝑖 = (𝐾 + 1))
325	324	iffalsed 4536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)))
326	325	sumeq2dv 15738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)))
327	326	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
328		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏‘1) − 1) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) → (((𝑏‘1) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1)))
329		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) → ((((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) ↔ if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1)))
330		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘1) − 1) = ((𝑏‘1) − 1))
331		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → 𝑖 = 1)
332	331	iftrued 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘1))
333	332	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑏‘1) = if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))))
334	333	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘1) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
335	330, 334	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘1) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
336		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))
337		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ¬ 𝑖 = 1)
338	337	iffalsed 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
339	338	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))
340	339	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
341	336, 340	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
342	328, 329, 335, 341	ifbothda 4564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
343	342	sumeq2dv 15738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) = Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1))
344	343	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
345		fzfid 14014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (1...𝐾) ∈ Fin)
346		eleq1 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏‘1) = if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) → ((𝑏‘1) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ ℤ))
347		eleq1 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) = if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) → (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ ℤ ↔ if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ ℤ))
348	65	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ 𝑖 = 1) → (𝑏‘1) ∈ ℤ)
349	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
350		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ∈ (1...𝐾))
351	349, 350	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑏‘𝑖) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
352	264	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑏‘𝑖) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℤ)
353	351, 352	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℤ)
354	353	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘𝑖) ∈ ℤ)
355	349	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
356		1zzd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ∈ ℤ)
357	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝐾 ∈ ℤ)
358	314	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 𝑖 ∈ ℤ)
359	358	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ∈ ℤ)
360	359, 356	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ∈ ℤ)
361	314	nnge1d 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 1 ≤ 𝑖)
362	361	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ≤ 𝑖)
363	337, 272	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ≠ 1)
364	362, 363	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≠ 1))
365	317	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ∈ ℝ)
366	315	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 𝑖 ∈ ℝ)
367	365, 366	ltlend 11406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 < 𝑖 ↔ (1 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≠ 1)))
368	364, 367	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 < 𝑖)
369		zltlem1 12670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (1 < 𝑖 ↔ 1 ≤ (𝑖 − 1)))
370	356, 359, 369	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (1 < 𝑖 ↔ 1 ≤ (𝑖 − 1)))
371	368, 370	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → 1 ≤ (𝑖 − 1))
372	315, 317	resubcld 11691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑖 − 1) ∈ ℝ)
373	315	lem1d 12201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑖 − 1) ≤ 𝑖)
374	372, 315, 316, 373, 320	letrd 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (𝑖 − 1) ≤ 𝐾)
375	374	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ≤ 𝐾)
376	356, 357, 360, 371, 375	elfzd 13555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑖 − 1) ∈ (1...𝐾))
377	355, 376	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
378	377, 292	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ ℕ)
379	378	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) ∈ ℤ)
380	354, 379	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) ∧ ¬ 𝑖 = 1) → ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) ∈ ℤ)
381	346, 347, 348, 380	ifbothda 4564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ ℤ)
382	381	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) ∈ ℂ)
383	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℂ)
384	345, 382, 383	fsumsub 15824	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)1))
385		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 = 1 → 𝑖 = 1)
386	385	iftrued 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 = 1 → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘1))
387	213, 382, 386	fsum1p 15789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))))
388	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℝ)
389		elfzle1 13567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → (1 + 1) ≤ 𝑖)
390	389	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 + 1) ≤ 𝑖)
391	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
392		elfzelz 13564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾) → 𝑖 ∈ ℤ)
393	392	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑖 ∈ ℤ)
394	391, 393, 279	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → (1 < 𝑖 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑖))
395	390, 394	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 < 𝑖)
396	388, 395	ltned 11397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 1 ≠ 𝑖)
397	396	necomd 2996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → 𝑖 ≠ 1)
398	397	neneqd 2945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → ¬ 𝑖 = 1)
399	398	iffalsed 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)) → if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
400	399	sumeq2dv 15738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
401	400	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))))
402	33	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℂ)
403	402, 67	npcand 11624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
404	403	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 = ((𝐾 − 1) + 1))
405	404	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((1 + 1)...𝐾) = ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)))
406	405	sumeq1d 15736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
407	406	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))))
408		elfzelz 13564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1)) → 𝑖 ∈ ℤ)
409	408	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
410	409	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑖 ∈ ℂ)
411		1cnd 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℂ)
412	410, 411	npcand 11624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑖 − 1) + 1) = 𝑖)
413	412	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑖 = ((𝑖 − 1) + 1))
414	413	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑏‘𝑖) = (𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)))
415		eqidd 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑏‘(𝑖 − 1)) = (𝑏‘(𝑖 − 1)))
416	414, 415	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) = ((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
417	416	sumeq2dv 15738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
418	417	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))))
419	13, 30	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
420	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
421		1zzd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
422	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
423		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ∈ ℕ)
424	423	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℕ)
425	424	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℤ)
426	425	peano2zd 12725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
427		1red 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
428	424	nnred 12281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
429	428, 427	readdcld 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ)
430	424	nnge1d 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ 𝑠)
431	428	lep1d 12199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝑠 + 1))
432	427, 428, 429, 430, 431	letrd 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 1 ≤ (𝑠 + 1))
433		elfzle2 13568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1)) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
434	433	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ (𝐾 − 1))
435	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
436		leaddsub 11739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
437	428, 427, 435, 436	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑠 + 1) ≤ 𝐾 ↔ 𝑠 ≤ (𝐾 − 1)))
438	434, 437	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ≤ 𝐾)
439	421, 422, 426, 432, 438	elfzd 13555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑠 + 1) ∈ (1...𝐾))
440	420, 439	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑏‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
441		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑏‘(𝑠 + 1)) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
442	440, 441	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑏‘(𝑠 + 1)) ∈ ℕ)
443	442	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑏‘(𝑠 + 1)) ∈ ℤ)
444	435, 427	resubcld 11691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
445	435	lem1d 12201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
446	428, 444, 435, 434, 445	letrd 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ≤ 𝐾)
447	421, 422, 425, 430, 446	elfzd 13555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → 𝑠 ∈ (1...𝐾))
448	420, 447	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑏‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
449		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑏‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑠) ∈ ℕ)
450	449	nnzd 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑏‘𝑠) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑠) ∈ ℤ)
451	448, 450	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → (𝑏‘𝑠) ∈ ℤ)
452	443, 451	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) ∈ ℤ)
453	452	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))) → ((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) ∈ ℂ)
454		fvoveq1 7454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑠 = (𝑖 − 1) → (𝑏‘(𝑠 + 1)) = (𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)))
455		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑠 = (𝑖 − 1) → (𝑏‘𝑠) = (𝑏‘(𝑖 − 1)))
456	454, 455	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑠 = (𝑖 − 1) → ((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) = ((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
457	30, 30, 419, 453, 456	fsumshft 15816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) = Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))
458	457	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))))
459	458	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠))))
460		fvoveq1 7454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑠 = 𝑖 → (𝑏‘(𝑠 + 1)) = (𝑏‘(𝑖 + 1)))
461		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑠 = 𝑖 → (𝑏‘𝑠) = (𝑏‘𝑖))
462	460, 461	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑠 = 𝑖 → ((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) = ((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖)))
463		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠))
464		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Ⅎ𝑠((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖))
465	462, 463, 464	cbvsum 15731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖))
466	465	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠)) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖)))
467	466	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠))) = ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖))))
468		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 𝑖 → (𝑏‘𝑤) = (𝑏‘𝑖))
469		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = (𝑖 + 1) → (𝑏‘𝑤) = (𝑏‘(𝑖 + 1)))
470		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = 1 → (𝑏‘𝑤) = (𝑏‘1))
471		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 = ((𝐾 − 1) + 1) → (𝑏‘𝑤) = (𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)))
472	403, 213	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝐾 − 1) + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
473	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑏:(1...𝐾)⟶(1...(𝑁 + 𝐾)))
474		1zzd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 1 ∈ ℤ)
475	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
476		elfzelz 13564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → 𝑤 ∈ ℤ)
477	476	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑤 ∈ ℤ)
478		elfzle1 13567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → 1 ≤ 𝑤)
479	478	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 1 ≤ 𝑤)
480		elfzle2 13568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1)) → 𝑤 ≤ ((𝐾 − 1) + 1))
481	480	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑤 ≤ ((𝐾 − 1) + 1))
482	403	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
483	481, 482	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑤 ≤ 𝐾)
484	474, 475, 477, 479, 483	elfzd 13555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → 𝑤 ∈ (1...𝐾))
485	473, 484	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑏‘𝑤) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)))
486		elfznn 13593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑏‘𝑤) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑤) ∈ ℕ)
487	486	nncnd 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑏‘𝑤) ∈ (1...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑏‘𝑤) ∈ ℂ)
488	485, 487	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (1...((𝐾 − 1) + 1))) → (𝑏‘𝑤) ∈ ℂ)
489	468, 469, 470, 471, 419, 472, 488	telfsum2 15841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖)) = ((𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑏‘1)))
490	489	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖))) = ((𝑏‘1) + ((𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑏‘1))))
491	72	recnd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘1) ∈ ℂ)
492	38	nncnd 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) ∈ ℂ)
493	403	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) = (𝑏‘𝐾))
494	493	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) ∈ ℂ ↔ (𝑏‘𝐾) ∈ ℂ))
495	492, 494	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) ∈ ℂ)
496	491, 495	pncan3d 11623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + ((𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑏‘1))) = (𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)))
497	496, 493	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + ((𝑏‘((𝐾 − 1) + 1)) − (𝑏‘1))) = (𝑏‘𝐾))
498	490, 497	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑖 + 1)) − (𝑏‘𝑖))) = (𝑏‘𝐾))
499	467, 498	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑠 ∈ (1...(𝐾 − 1))((𝑏‘(𝑠 + 1)) − (𝑏‘𝑠))) = (𝑏‘𝐾))
500	459, 499	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘((𝑖 − 1) + 1)) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘𝐾))
501	418, 500	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...((𝐾 − 1) + 1))((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘𝐾))
502	407, 501	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘𝐾))
503	401, 502	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘1) + Σ𝑖 ∈ ((1 + 1)...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))))) = (𝑏‘𝐾))
504	387, 503	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) = (𝑏‘𝐾))
505		fsumconst 15826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((1...𝐾) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
506	345, 67, 505	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)1 = ((♯‘(1...𝐾)) · 1))
507	211	nnnn0d 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ ℕ₀)
508		hashfz1 14385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ₀ → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
509	507, 508	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (♯‘(1...𝐾)) = 𝐾)
510	509	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = (𝐾 · 1))
511	402	mulridd 11278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 1) = 𝐾)
512	510, 511	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((♯‘(1...𝐾)) · 1) = 𝐾)
513	506, 512	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)1 = 𝐾)
514	504, 513	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)1) = ((𝑏‘𝐾) − 𝐾))
515	384, 514	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = ((𝑏‘𝐾) − 𝐾))
516	42	addlidd 11462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (0 + (𝑏‘𝐾)) = (𝑏‘𝐾))
517	516	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑏‘𝐾) = (0 + (𝑏‘𝐾)))
518	517	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘𝐾) − 𝐾) = ((0 + (𝑏‘𝐾)) − 𝐾))
519	515, 518	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = ((0 + (𝑏‘𝐾)) − 𝐾))
520		0cnd 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℂ)
521	520, 402, 42	subsub3d 11650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))) = ((0 + (𝑏‘𝐾)) − 𝐾))
522	521	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((0 + (𝑏‘𝐾)) − 𝐾) = (0 − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))))
523	519, 522	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (0 − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))))
524	11	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℂ)
525	524	subidd 11608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑁 − 𝑁) = 0)
526	525	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 0 = (𝑁 − 𝑁))
527	526	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (0 − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))) = ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))))
528	523, 527	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))))
529	402, 42	subcld 11620	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝐾 − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℂ)
530	524, 524, 529	subsub4d 11651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑁 − 𝑁) − (𝐾 − (𝑏‘𝐾))) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑏‘𝐾)))))
531	528, 530	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑏‘𝐾)))))
532	524, 402, 42	addsubassd 11640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) = (𝑁 + (𝐾 − (𝑏‘𝐾))))
533	532	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑁 + (𝐾 − (𝑏‘𝐾))) = ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)))
534	533	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑁 − (𝑁 + (𝐾 − (𝑏‘𝐾)))) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
535	531, 534	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))))
536		1zzd 12648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → 1 ∈ ℤ)
537	381, 536	zsubcld 12727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝐾)) → (if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) ∈ ℤ)
538	345, 537	fsumzcl 15771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) ∈ ℤ)
539	538	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) ∈ ℂ)
540	53	nn0cnd 12589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)) ∈ ℂ)
541	539, 540, 524	addlsub 11679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) = (𝑁 − ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)))))
542	535, 541	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)(if(𝑖 = 1, (𝑏‘1), ((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1)))) − 1) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = 𝑁)
543	344, 542	eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1)) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = 𝑁)
544	327, 543	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾))) = 𝑁)
545	312, 544	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝐾)if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) + if((𝐾 + 1) = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if((𝐾 + 1) = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘(𝐾 + 1)) − (𝑏‘((𝐾 + 1) − 1))) − 1)))) = 𝑁)
546	309, 545	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))if(𝑖 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑖 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑖) − (𝑏‘(𝑖 − 1))) − 1))) = 𝑁)
547	210, 546	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)
548	192, 547	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
549		ovex 7464	. . . . . . 7 ⊢ (1...(𝐾 + 1)) ∈ V
550	549	mptex 7243	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ V
551		feq1 6716	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ↔ (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀))
552		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → 𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))))
553	552	fveq1d 6908	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))) → (𝑔‘𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
554	553	sumeq2dv 15738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖))
555	554	eqeq1d 2739	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁 ↔ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
556	551, 555	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) → ((𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁) ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁)))
557	550, 556	elab 3679	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)} ↔ ((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))):(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))((𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))‘𝑖) = 𝑁))
558	548, 557	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
559		sticksstones10.4	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)}
560	559	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 = {𝑔 ∣ (𝑔:(1...(𝐾 + 1))⟶ℕ₀ ∧ Σ𝑖 ∈ (1...(𝐾 + 1))(𝑔‘𝑖) = 𝑁)})
561	558, 560	eleqtrrd 2844	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1)))) ∈ 𝐴)
562	6, 561	eqeltrrd 2842	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))) ∈ 𝐴)
563		sticksstones10.3	. 2 ⊢ 𝐺 = (𝑏 ∈ 𝐵 ↦ if(𝐾 = 0, {⟨1, 𝑁⟩}, (𝑘 ∈ (1...(𝐾 + 1)) ↦ if(𝑘 = (𝐾 + 1), ((𝑁 + 𝐾) − (𝑏‘𝐾)), if(𝑘 = 1, ((𝑏‘1) − 1), (((𝑏‘𝑘) − (𝑏‘(𝑘 − 1))) − 1))))))
564	562, 563	fmptd 7134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐴)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1540 ∈ wcel 2108 {cab 2714 ≠ wne 2940 ∀wral 3061 Vcvv 3480 ifcif 4525 {csn 4626 ⟨cop 4632 class class class wbr 5143 ↦ cmpt 5225 ⟶wf 6557 ‘cfv 6561 (class class class)co 7431 Fincfn 8985 ℂcc 11153 ℝcr 11154 0cc0 11155 1c1 11156 + caddc 11158 · cmul 11160 < clt 11295 ≤ cle 11296 − cmin 11492 ℕcn 12266 ℕ₀cn0 12526 ℤcz 12613 ℤ_≥cuz 12878 ...cfz 13547 ♯chash 14369 Σcsu 15722

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2177 ax-ext 2708 ax-rep 5279 ax-sep 5296 ax-nul 5306 ax-pow 5365 ax-pr 5432 ax-un 7755 ax-inf2 9681 ax-cnex 11211 ax-resscn 11212 ax-1cn 11213 ax-icn 11214 ax-addcl 11215 ax-addrcl 11216 ax-mulcl 11217 ax-mulrcl 11218 ax-mulcom 11219 ax-addass 11220 ax-mulass 11221 ax-distr 11222 ax-i2m1 11223 ax-1ne0 11224 ax-1rid 11225 ax-rnegex 11226 ax-rrecex 11227 ax-cnre 11228 ax-pre-lttri 11229 ax-pre-lttrn 11230 ax-pre-ltadd 11231 ax-pre-mulgt0 11232 ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2065 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2816 df-nfc 2892 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3380 df-reu 3381 df-rab 3437 df-v 3482 df-sbc 3789 df-csb 3900 df-dif 3954 df-un 3956 df-in 3958 df-ss 3968 df-pss 3971 df-nul 4334 df-if 4526 df-pw 4602 df-sn 4627 df-pr 4629 df-op 4633 df-uni 4908 df-int 4947 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5691 df-rel 5692 df-cnv 5693 df-co 5694 df-dm 5695 df-rn 5696 df-res 5697 df-ima 5698 df-pred 6321 df-ord 6387 df-on 6388 df-lim 6389 df-suc 6390 df-iota 6514 df-fun 6563 df-fn 6564 df-f 6565 df-f1 6566 df-fo 6567 df-f1o 6568 df-fv 6569 df-isom 6570 df-riota 7388 df-ov 7434 df-oprab 7435 df-mpo 7436 df-om 7888 df-1st 8014 df-2nd 8015 df-frecs 8306 df-wrecs 8337 df-recs 8411 df-rdg 8450 df-1o 8506 df-er 8745 df-en 8986 df-dom 8987 df-sdom 8988 df-fin 8989 df-sup 9482 df-oi 9550 df-card 9979 df-pnf 11297 df-mnf 11298 df-xr 11299 df-ltxr 11300 df-le 11301 df-sub 11494 df-neg 11495 df-div 11921 df-nn 12267 df-2 12329 df-3 12330 df-n0 12527 df-z 12614 df-uz 12879 df-rp 13035 df-fz 13548 df-fzo 13695 df-seq 14043 df-exp 14103 df-hash 14370 df-cj 15138 df-re 15139 df-im 15140 df-sqrt 15274 df-abs 15275 df-clim 15524 df-sum 15723

This theorem is referenced by: sticksstones12 42159

W3C validator