MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ob Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ob 15729
Description: Alternate characterizations of an odd nonnegative integer. (Contributed by AV, 4-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0ob (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0ob
StepHypRef Expression
1 nn0o 15728 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
2 nn0cn 11900 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
3 xp1d2m1eqxm1d2 11884 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
43eqcomd 2830 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) / 2) = (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
52, 4syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) = (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
6 peano2cnm 10944 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
72, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
87halfcld 11875 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℂ)
9 1cnd 10628 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
10 peano2nn0 11930 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1110nn0cnd 11950 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
1211halfcld 11875 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℂ)
138, 9, 12addlsub 11048 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((((𝑁 − 1) / 2) + 1) = ((𝑁 + 1) / 2) ↔ ((𝑁 − 1) / 2) = (((𝑁 + 1) / 2) − 1)))
145, 13mpbird 260 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 − 1) / 2) + 1) = ((𝑁 + 1) / 2))
1514adantr 484 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑁 − 1) / 2) + 1) = ((𝑁 + 1) / 2))
16 peano2nn0 11930 . . . 4 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (((𝑁 − 1) / 2) + 1) ∈ ℕ0)
1716adantl 485 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (((𝑁 − 1) / 2) + 1) ∈ ℕ0)
1815, 17eqeltrrd 2917 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
191, 18impbida 800 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7145  cc 10527  1c1 10530   + caddc 10532  cmin 10862   / cdiv 11289  2c2 11685  0cn0 11890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-4 11695  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-rp 12383
This theorem is referenced by:  nn0oddm1d2  15730  nn0sumshdiglemB  44896
  Copyright terms: Public domain W3C validator