Theorem divsdird 28303

Description: Distribution of surreal division over addition. (Contributed by Scott Fenton, 13-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsdird.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divsdird.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divsdird.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divsdird.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )

Assertion

Ref	Expression
divsdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su 𝐶) = ((𝐴 /su 𝐶) +s (𝐵 /su 𝐶)))

Proof of Theorem divsdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divsdird.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		divsdird.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		1no 27878	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ No )
5		divsdird.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
6		divsdird.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
7	4, 5, 6	divscld 28292	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1s /su 𝐶) ∈ No )
8	1, 2, 7	addsdird 28225	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) ·s ( 1s /su 𝐶)) = ((𝐴 ·s ( 1s /su 𝐶)) +s (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐶))))
9	1, 2	addscld 28048	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
10	9, 5, 6	divsrecd 28302	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su 𝐶) = ((𝐴 +s 𝐵) ·s ( 1s /su 𝐶)))
11	1, 5, 6	divsrecd 28302	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐶) = (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐶)))
12	2, 5, 6	divsrecd 28302	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /su 𝐶) = (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐶)))
13	11, 12	oveq12d 7408	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) +s (𝐵 /su 𝐶)) = ((𝐴 ·s ( 1s /su 𝐶)) +s (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐶))))
14	8, 10, 13	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su 𝐶) = ((𝐴 /su 𝐶) +s (𝐵 /su 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  (class class class)co 7390   No csur 27679   0_s c0s 27873   1_s c1s 27874   +_s cadds 28027   ·_s cmuls 28174   /_su cdivs 28255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-dc 10398

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-oadd 8434  df-nadd 8629  df-no 27682  df-lts 27683  df-bday 27684  df-les 27784  df-slts 27826  df-cuts 27828  df-0s 27875  df-1s 27876  df-made 27895  df-old 27896  df-left 27898  df-right 27899  df-norec 28006  df-norec2 28017  df-adds 28028  df-negs 28089  df-subs 28090  df-muls 28175  df-divs 28256

This theorem is referenced by:  addhalfcut  28527  pw2cut  28528