Theorem divsdird 28268

Description: Distribution of surreal division over addition. (Contributed by Scott Fenton, 13-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsdird.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divsdird.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divsdird.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divsdird.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )

Assertion

Ref	Expression
divsdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su 𝐶) = ((𝐴 /su 𝐶) +s (𝐵 /su 𝐶)))

Proof of Theorem divsdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divsdird.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		divsdird.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		1sno 27881	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ No )
5		divsdird.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
6		divsdird.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
7	4, 5, 6	divscld 28257	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1s /su 𝐶) ∈ No )
8	1, 2, 7	addsdird 28192	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) ·s ( 1s /su 𝐶)) = ((𝐴 ·s ( 1s /su 𝐶)) +s (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐶))))
9	1, 2	addscld 28022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
10	9, 5, 6	divsrecd 28267	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su 𝐶) = ((𝐴 +s 𝐵) ·s ( 1s /su 𝐶)))
11	1, 5, 6	divsrecd 28267	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐶) = (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐶)))
12	2, 5, 6	divsrecd 28267	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /su 𝐶) = (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐶)))
13	11, 12	oveq12d 7463	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) +s (𝐵 /su 𝐶)) = ((𝐴 ·s ( 1s /su 𝐶)) +s (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐶))))
14	8, 10, 13	3eqtr4d 2784	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su 𝐶) = ((𝐴 /su 𝐶) +s (𝐵 /su 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2942  (class class class)co 7445   No csur 27693   0_s c0s 27876   1_s c1s 27877   +_s cadds 28001   ·_s cmuls 28141   /_su cdivs 28222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-dc 10511

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-oadd 8522  df-nadd 8718  df-no 27696  df-slt 27697  df-bday 27698  df-sle 27799  df-sslt 27835  df-scut 27837  df-0s 27878  df-1s 27879  df-made 27895  df-old 27896  df-left 27898  df-right 27899  df-norec 27980  df-norec2 27991  df-adds 28002  df-negs 28062  df-subs 28063  df-muls 28142  df-divs 28223

This theorem is referenced by:  addhalfcut  28428  pw2cut  28429