Theorem divsdird 28183

Description: Distribution of surreal division over addition. (Contributed by Scott Fenton, 13-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
divsdird.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
divsdird.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
divsdird.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
divsdird.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )

Assertion

Ref	Expression
divsdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su 𝐶) = ((𝐴 /su 𝐶) +s (𝐵 /su 𝐶)))

Proof of Theorem divsdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divsdird.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		divsdird.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		1sno 27781	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ No )
5		divsdird.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
6		divsdird.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0s )
7	4, 5, 6	divscld 28172	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1s /su 𝐶) ∈ No )
8	1, 2, 7	addsdird 28106	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) ·s ( 1s /su 𝐶)) = ((𝐴 ·s ( 1s /su 𝐶)) +s (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐶))))
9	1, 2	addscld 27933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
10	9, 5, 6	divsrecd 28182	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su 𝐶) = ((𝐴 +s 𝐵) ·s ( 1s /su 𝐶)))
11	1, 5, 6	divsrecd 28182	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su 𝐶) = (𝐴 ·s ( 1s /su 𝐶)))
12	2, 5, 6	divsrecd 28182	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /su 𝐶) = (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐶)))
13	11, 12	oveq12d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su 𝐶) +s (𝐵 /su 𝐶)) = ((𝐴 ·s ( 1s /su 𝐶)) +s (𝐵 ·s ( 1s /su 𝐶))))
14	8, 10, 13	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su 𝐶) = ((𝐴 /su 𝐶) +s (𝐵 /su 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  (class class class)co 7355   No csur 27588   0_s c0s 27776   1_s c1s 27777   +_s cadds 27912   ·_s cmuls 28055   /_su cdivs 28136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-dc 10347

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-ot 4586  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-nadd 8590  df-no 27591  df-slt 27592  df-bday 27593  df-sle 27694  df-sslt 27731  df-scut 27733  df-0s 27778  df-1s 27779  df-made 27798  df-old 27799  df-left 27801  df-right 27802  df-norec 27891  df-norec2 27902  df-adds 27913  df-negs 27973  df-subs 27974  df-muls 28056  df-divs 28137

This theorem is referenced by:  addhalfcut  28389  pw2cut  28390