Theorem pw2divsdird 28753

Description: Distribution of surreal division over addition for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divsdird.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divsdird.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
pw2divsdird.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divsdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2divsdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divsdird.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2divsdird.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		1no 28115	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ No )
5		pw2divsdird.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
6	4, 5	pw2divscld 28744	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1s /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
7	1, 2, 6	addsdird 28462	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) = ((𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) +s (𝐵 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
8	1, 2	addscld 28285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
9	8, 5	pw2divsrecd 28752	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = ((𝐴 +s 𝐵) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))
10	1, 5	pw2divsrecd 28752	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))
11	2, 5	pw2divsrecd 28752	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐵 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))
12	10, 11	oveq12d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))) = ((𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) +s (𝐵 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
13	7, 9, 12	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7409   No csur 27916   1_s c1s 28111   +_s cadds 28264   ·_s cmuls 28411   /_su cdivs 28492  ℕ_0scn0s 28617  2_sc2s 28715  ↑_scexps 28717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-nadd 8654  df-no 27919  df-lts 27920  df-bday 27921  df-les 28021  df-slts 28063  df-cuts 28065  df-0s 28112  df-1s 28113  df-made 28132  df-old 28133  df-left 28135  df-right 28136  df-norec 28243  df-norec2 28254  df-adds 28265  df-negs 28326  df-subs 28327  df-muls 28412  df-divs 28493  df-seqs 28589  df-n0s 28619  df-nns 28620  df-zs 28684  df-2s 28716  df-exps 28718

This theorem is used by:  pw2divsnegd  28754  pw2cut2  28767  bdayfinbndlem1  28772  z12addscl  28782  z12sge0  28788