Theorem pw2divsdird 28652

Description: Distribution of surreal division over addition for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divsdird.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2divsdird.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
pw2divsdird.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divsdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2divsdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divsdird.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		pw2divsdird.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		1no 28014	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ No )
5		pw2divsdird.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
6	4, 5	pw2divscld 28643	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1s /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
7	1, 2, 6	addsdird 28361	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) = ((𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) +s (𝐵 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
8	1, 2	addscld 28184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No )
9	8, 5	pw2divsrecd 28651	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = ((𝐴 +s 𝐵) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))
10	1, 5	pw2divsrecd 28651	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))
11	2, 5	pw2divsrecd 28651	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐵 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))
12	10, 11	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))) = ((𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) +s (𝐵 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
13	7, 9, 12	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412   No csur 27815   1_s c1s 28010   +_s cadds 28163   ·_s cmuls 28310   /_su cdivs 28391  ℕ_0scn0s 28516  2_sc2s 28614  ↑_scexps 28616

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-oadd 8455  df-nadd 8650  df-no 27818  df-lts 27819  df-bday 27820  df-les 27920  df-slts 27962  df-cuts 27964  df-0s 28011  df-1s 28012  df-made 28031  df-old 28032  df-left 28034  df-right 28035  df-norec 28142  df-norec2 28153  df-adds 28164  df-negs 28225  df-subs 28226  df-muls 28311  df-divs 28392  df-seqs 28488  df-n0s 28518  df-nns 28519  df-zs 28583  df-2s 28615  df-exps 28617

This theorem is used by:  pw2divsnegd  28653  pw2cut2  28666  bdayfinbndlem1  28671  z12addscl  28681  z12sge0  28687