Theorem pw2divsdird 28861

Description: Distribution of surreal division over addition for powers of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2divsdird.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
pw2divsdird.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
pw2divsdird.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2divsdird	⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2divsdird

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw2divsdird.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		pw2divsdird.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
3		1no 28223	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1s ∈ No)
5		pw2divsdird.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
6	4, 5	pw2divscld 28852	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1s /su (2s↑s𝑁)) ∈ No)
7	1, 2, 6	addsdird 28570	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) = ((𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) +s (𝐵 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
8	1, 2	addscld 28393	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) ∈ No)
9	8, 5	pw2divsrecd 28860	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = ((𝐴 +s 𝐵) ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))
10	1, 5	pw2divsrecd 28860	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))
11	2, 5	pw2divsrecd 28860	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 /su (2s↑s𝑁)) = (𝐵 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))))
12	10, 11	oveq12d 7458	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))) = ((𝐴 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁))) +s (𝐵 ·s ( 1s /su (2s↑s𝑁)))))
13	7, 9, 12	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐵) /su (2s↑s𝑁)) = ((𝐴 /su (2s↑s𝑁)) +s (𝐵 /su (2s↑s𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7440  Nocsur 28024   1_s c1s 28219   +_s cadds 28372   ·_s cmuls 28519   /_su cdivs 28600  ℕ_0scn0s 28725  2_sc2s 28823  ↑_scexps 28825

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-nadd 8700  df-no 28027  df-lts 28028  df-bday 28029  df-les 28129  df-slts 28171  df-cuts 28173  df-0s 28220  df-1s 28221  df-made 28240  df-old 28241  df-left 28243  df-right 28244  df-norec 28351  df-norec2 28362  df-adds 28373  df-negs 28434  df-subs 28435  df-muls 28520  df-divs 28601  df-seqs 28697  df-n0s 28727  df-nns 28728  df-zs 28792  df-2s 28824  df-exps 28826

This theorem is used by:  pw2divsnegd  28862  pw2cut2  28875  bdayfinbndlem1  28880  z12addscl  28890  z12sge0  28896