Theorem no2times 28401

Description: Version of 2times 12402 for surreal numbers. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
no2times	⊢ (𝐴 ∈ No → (2s ·s 𝐴) = (𝐴 +s 𝐴))

Proof of Theorem no2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1e2s 28400	. . . 4 ⊢ ( 1s +s 1s ) = 2s
2	1	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ (( 1s +s 1s ) ·s 𝐴) = (2s ·s 𝐴)
3	2	eqcomi 2746	. 2 ⊢ (2s ·s 𝐴) = (( 1s +s 1s ) ·s 𝐴)
4		1sno 27872	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → 1s ∈ No )
6		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ∈ No )
7	5, 5, 6	addsdird 28183	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( 1s +s 1s ) ·s 𝐴) = (( 1s ·s 𝐴) +s ( 1s ·s 𝐴)))
8		mulslid 28168	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴)
9	8, 8	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( 1s ·s 𝐴) +s ( 1s ·s 𝐴)) = (𝐴 +s 𝐴))
10	7, 9	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( 1s +s 1s ) ·s 𝐴) = (𝐴 +s 𝐴))
11	3, 10	eqtrid 2789	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (2s ·s 𝐴) = (𝐴 +s 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431   No csur 27684   1_s c1s 27868   +_s cadds 27992   ·_s cmuls 28132  2_sc2s 28394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-1o 8506  df-2o 8507  df-nadd 8704  df-no 27687  df-slt 27688  df-bday 27689  df-sle 27790  df-sslt 27826  df-scut 27828  df-0s 27869  df-1s 27870  df-made 27886  df-old 27887  df-left 27889  df-right 27890  df-norec 27971  df-norec2 27982  df-adds 27993  df-negs 28053  df-subs 28054  df-muls 28133  df-2s 28395

This theorem is referenced by:  nohalf  28407  halfcut  28416  addhalfcut  28419  zs12bday  28424