Theorem no2times 28338

Description: Version of 2times 12253 for surreal numbers. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
no2times	⊢ (𝐴 ∈ No → (2s ·s 𝐴) = (𝐴 +s 𝐴))

Proof of Theorem no2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1e2s 28337	. . . 4 ⊢ ( 1s +s 1s ) = 2s
2	1	oveq1i 7356	. . 3 ⊢ (( 1s +s 1s ) ·s 𝐴) = (2s ·s 𝐴)
3	2	eqcomi 2740	. 2 ⊢ (2s ·s 𝐴) = (( 1s +s 1s ) ·s 𝐴)
4		1sno 27769	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → 1s ∈ No )
6		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ∈ No )
7	5, 5, 6	addsdird 28094	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( 1s +s 1s ) ·s 𝐴) = (( 1s ·s 𝐴) +s ( 1s ·s 𝐴)))
8		mulslid 28079	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴)
9	8, 8	oveq12d 7364	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( 1s ·s 𝐴) +s ( 1s ·s 𝐴)) = (𝐴 +s 𝐴))
10	7, 9	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( 1s +s 1s ) ·s 𝐴) = (𝐴 +s 𝐴))
11	3, 10	eqtrid 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (2s ·s 𝐴) = (𝐴 +s 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346   No csur 27576   1_s c1s 27765   +_s cadds 27900   ·_s cmuls 28043  2_sc2s 28331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-1o 8385  df-2o 8386  df-nadd 8581  df-no 27579  df-slt 27580  df-bday 27581  df-sle 27682  df-sslt 27719  df-scut 27721  df-0s 27766  df-1s 27767  df-made 27786  df-old 27787  df-left 27789  df-right 27790  df-norec 27879  df-norec2 27890  df-adds 27901  df-negs 27961  df-subs 27962  df-muls 28044  df-2s 28332

This theorem is referenced by:  twocut  28344  avgslt1d  28374  avgslt2d  28375  halfcut  28376  addhalfcut  28377  pw2cutp1  28379  pw2cut2  28380  zs12bday  28392