Theorem no2times 28327

Description: Version of 2times 12277 for surreal numbers. (Contributed by Scott Fenton, 23-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
no2times	⊢ (𝐴 ∈ No → (2s ·s 𝐴) = (𝐴 +s 𝐴))

Proof of Theorem no2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1p1e2s 28326	. . . 4 ⊢ ( 1s +s 1s ) = 2s
2	1	oveq1i 7363	. . 3 ⊢ (( 1s +s 1s ) ·s 𝐴) = (2s ·s 𝐴)
3	2	eqcomi 2738	. 2 ⊢ (2s ·s 𝐴) = (( 1s +s 1s ) ·s 𝐴)
4		1sno 27759	. . . . 5 ⊢ 1s ∈ No
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → 1s ∈ No )
6		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ∈ No )
7	5, 5, 6	addsdird 28083	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( 1s +s 1s ) ·s 𝐴) = (( 1s ·s 𝐴) +s ( 1s ·s 𝐴)))
8		mulslid 28068	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( 1s ·s 𝐴) = 𝐴)
9	8, 8	oveq12d 7371	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( 1s ·s 𝐴) +s ( 1s ·s 𝐴)) = (𝐴 +s 𝐴))
10	7, 9	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( 1s +s 1s ) ·s 𝐴) = (𝐴 +s 𝐴))
11	3, 10	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (2s ·s 𝐴) = (𝐴 +s 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353   No csur 27567   1_s c1s 27755   +_s cadds 27889   ·_s cmuls 28032  2_sc2s 28320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-1o 8395  df-2o 8396  df-nadd 8591  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sle 27673  df-sslt 27710  df-scut 27712  df-0s 27756  df-1s 27757  df-made 27775  df-old 27776  df-left 27778  df-right 27779  df-norec 27868  df-norec2 27879  df-adds 27890  df-negs 27950  df-subs 27951  df-muls 28033  df-2s 28321

This theorem is referenced by:  twocut  28333  avgslt1d  28362  avgslt2d  28363  halfcut  28364  addhalfcut  28365  pw2cutp1  28367  zs12bday  28379