Theorem alephord2 10107

Description: Ordering property of the aleph function. Theorem 8A(a) of [Enderton] p. 213 and its converse. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephord2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephord2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephord 10106	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
2		alephon 10100	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
3		alephon 10100	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
4		onenon 9980	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
6		cardsdomel 10005	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(ℵ‘𝐵))))
7	2, 5, 6	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(ℵ‘𝐵)))
8		alephcard 10101	. . . 4 ⊢ (card‘(ℵ‘𝐵)) = (ℵ‘𝐵)
9	8	eleq2i 2821	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(ℵ‘𝐵)) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵))
10	7, 9	bitri 274	. 2 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵))
11	1, 10	bitrdi 286	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  dom cdm 5682  Oncon0 6374  ‘cfv 6553   ≺ csdm 8969  cardccrd 9966  ℵcale 9967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-oi 9541  df-har 9588  df-card 9970  df-aleph 9971

This theorem is referenced by:  alephord2i  10108  alephord3  10109  alephiso  10129  alephval3  10141  alephiso2  43019