Theorem alephord2 9989

Description: Ordering property of the aleph function. Theorem 8A(a) of [Enderton] p. 213 and its converse. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephord2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephord2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephord 9988	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
2		alephon 9982	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
3		alephon 9982	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
4		onenon 9864	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
6		cardsdomel 9889	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(ℵ‘𝐵))))
7	2, 5, 6	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(ℵ‘𝐵)))
8		alephcard 9983	. . . 4 ⊢ (card‘(ℵ‘𝐵)) = (ℵ‘𝐵)
9	8	eleq2i 2829	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(ℵ‘𝐵)) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵))
10	7, 9	bitri 275	. 2 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵))
11	1, 10	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  dom cdm 5624  Oncon0 6317  ‘cfv 6492   ≺ csdm 8885  cardccrd 9850  ℵcale 9851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9418  df-har 9465  df-card 9854  df-aleph 9855

This theorem is referenced by:  alephord2i  9990  alephord3  9991  alephiso  10011  alephval3  10023  alephiso2  44003