Theorem alephord2 10083

Description: Ordering property of the aleph function. Theorem 8A(a) of [Enderton] p. 213 and its converse. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephord2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephord2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephord 10082	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
2		alephon 10076	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
3		alephon 10076	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
4		onenon 9958	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
6		cardsdomel 9983	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(ℵ‘𝐵))))
7	2, 5, 6	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(ℵ‘𝐵)))
8		alephcard 10077	. . . 4 ⊢ (card‘(ℵ‘𝐵)) = (ℵ‘𝐵)
9	8	eleq2i 2854	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(ℵ‘𝐵)) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵))
10	7, 9	bitri 278	. 2 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵))
11	1, 10	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  Oncon0 6361  ‘cfv 6537   ≺ csdm 8955  cardccrd 9944  ℵcale 9945

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-oi 9486  df-har 9533  df-card 9948  df-aleph 9949

This theorem is used by:  alephord2i  10084  alephord3  10085  alephiso  10105  alephval3  10117  alephiso2  44406