Theorem alephord2 9964

Description: Ordering property of the aleph function. Theorem 8A(a) of [Enderton] p. 213 and its converse. (Contributed by NM, 3-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
alephord2	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵)))

Proof of Theorem alephord2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alephord 9963	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵)))
2		alephon 9957	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐴) ∈ On
3		alephon 9957	. . . . 5 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ On
4		onenon 9839	. . . . 5 ⊢ ((ℵ‘𝐵) ∈ On → (ℵ‘𝐵) ∈ dom card)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card
6		cardsdomel 9864	. . . 4 ⊢ (((ℵ‘𝐴) ∈ On ∧ (ℵ‘𝐵) ∈ dom card) → ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(ℵ‘𝐵))))
7	2, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(ℵ‘𝐵)))
8		alephcard 9958	. . . 4 ⊢ (card‘(ℵ‘𝐵)) = (ℵ‘𝐵)
9	8	eleq2i 2823	. . 3 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ∈ (card‘(ℵ‘𝐵)) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵))
10	7, 9	bitri 275	. 2 ⊢ ((ℵ‘𝐴) ≺ (ℵ‘𝐵) ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵))
11	1, 10	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (ℵ‘𝐴) ∈ (ℵ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  dom cdm 5616  Oncon0 6306  ‘cfv 6481   ≺ csdm 8868  cardccrd 9825  ℵcale 9826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-oi 9396  df-har 9443  df-card 9829  df-aleph 9830

This theorem is referenced by:  alephord2i  9965  alephord3  9966  alephiso  9986  alephval3  9998  alephiso2  43590