MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opelreal Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opelreal 11127
Description: Ordered pair membership in class of real subset of complex numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
opelreal (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝐴R)

Proof of Theorem opelreal
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . 2 0R = 0R
2 df-r 11122 . . . 4 ℝ = (R × {0R})
32eleq2i 2819 . . 3 (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ ⟨𝐴, 0R⟩ ∈ (R × {0R}))
4 opelxp 5705 . . 3 (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ (R × {0R}) ↔ (𝐴R ∧ 0R ∈ {0R}))
5 0r 11077 . . . . . 6 0RR
65elexi 3488 . . . . 5 0R ∈ V
76elsn 4638 . . . 4 (0R ∈ {0R} ↔ 0R = 0R)
87anbi2i 622 . . 3 ((𝐴R ∧ 0R ∈ {0R}) ↔ (𝐴R ∧ 0R = 0R))
93, 4, 83bitri 297 . 2 (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (𝐴R ∧ 0R = 0R))
101, 9mpbiran2 707 1 (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝐴R)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4623  cop 4629   × cxp 5667  Rcnr 10862  0Rc0r 10863  cr 11111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-mpq 10906  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914  df-ltnq 10915  df-np 10978  df-1p 10979  df-enr 11052  df-nr 11053  df-0r 11057  df-r 11122
This theorem is referenced by:  ltresr  11137  ax1cn  11146  axaddrcl  11149  axmulrcl  11151  axrnegex  11159  axrrecex  11160  axcnre  11161  axpre-sup  11166
  Copyright terms: Public domain W3C validator