Theorem opelreal 11140

Description: Ordered pair membership in class of real subset of complex numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
opelreal	⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ R)

Proof of Theorem opelreal

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ 0R = 0R
2		df-r 11135	. . . 4 ⊢ ℝ = (R × {0R})
3	2	eleq2i 2852	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ ⟨𝐴, 0R⟩ ∈ (R × {0R}))
4		opelxp 5691	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ (R × {0R}) ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ {0R}))
5		0r 11090	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
6	5	elexi 3472	. . . . 5 ⊢ 0R ∈ V
7	6	elsn 4599	. . . 4 ⊢ (0R ∈ {0R} ↔ 0R = 0R)
8	7	anbi2i 635	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ {0R}) ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 0R = 0R))
9	3, 4, 8	3bitri 300	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 0R = 0R))
10	1, 9	mpbiran2 723	1 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ R)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  ⟨cop 4590   × cxp 5653  Rcnr 10875  0_Rc0r 10876  ℝcr 11124

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-omul 8461  df-er 8697  df-ec 8699  df-qs 8703  df-ni 10882  df-pli 10883  df-mi 10884  df-lti 10885  df-plpq 10918  df-mpq 10919  df-ltpq 10920  df-enq 10921  df-nq 10922  df-erq 10923  df-plq 10924  df-mq 10925  df-1nq 10926  df-rq 10927  df-ltnq 10928  df-np 10991  df-1p 10992  df-enr 11065  df-nr 11066  df-0r 11070  df-r 11135

This theorem is used by:  ltresr  11150  ax1cn  11159  axaddrcl  11162  axmulrcl  11164  axrnegex  11172  axrrecex  11173  axcnre  11174  axpre-sup  11179