Theorem opelreal 11222

Description: Ordered pair membership in class of real subset of complex numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
opelreal	⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ R)

Proof of Theorem opelreal

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ 0R = 0R
2		df-r 11217	. . . 4 ⊢ ℝ = (R × {0R})
3	2	eleq2i 2852	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ ⟨𝐴, 0R⟩ ∈ (R × {0R}))
4		opelxp 5687	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ (R × {0R}) ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ {0R}))
5		0r 11172	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
6	5	elexi 3472	. . . . 5 ⊢ 0R ∈ V
7	6	elsn 4595	. . . 4 ⊢ (0R ∈ {0R} ↔ 0R = 0R)
8	7	anbi2i 635	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ {0R}) ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 0R = 0R))
9	3, 4, 8	3bitri 300	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 0R = 0R))
10	1, 9	mpbiran2 723	1 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ R)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4584  ⟨cop 4834   × cxp 5649  Rcnr 10957  0_Rc0r 10958  ℝcr 11206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-oadd 8488  df-omul 8489  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-ni 10964  df-pli 10965  df-mi 10966  df-lti 10967  df-plpq 11000  df-mpq 11001  df-ltpq 11002  df-enq 11003  df-nq 11004  df-erq 11005  df-plq 11006  df-mq 11007  df-1nq 11008  df-rq 11009  df-ltnq 11010  df-np 11073  df-1p 11074  df-enr 11147  df-nr 11148  df-0r 11152  df-r 11217

This theorem is used by:  ltresr  11232  ax1cn  11241  axaddrcl  11244  axmulrcl  11246  axrnegex  11254  axrrecex  11255  axcnre  11256  axpre-sup  11261