Theorem opelreal 11254

Description: Ordered pair membership in class of real subset of complex numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
opelreal	⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ R)

Proof of Theorem opelreal

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. 2 ⊢ 0R = 0R
2		df-r 11249	. . . 4 ⊢ ℝ = (R × {0R})
3	2	eleq2i 2856	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ ⟨𝐴, 0R⟩ ∈ (R × {0R}))
4		opelxp 5694	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ (R × {0R}) ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ {0R}))
5		0r 11204	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
6	5	elexi 3476	. . . . 5 ⊢ 0R ∈ V
7	6	elsn 4599	. . . 4 ⊢ (0R ∈ {0R} ↔ 0R = 0R)
8	7	anbi2i 635	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ {0R}) ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 0R = 0R))
9	3, 4, 8	3bitri 300	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 0R = 0R))
10	1, 9	mpbiran2 723	1 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ R)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588  ⟨cop 4840   × cxp 5656  Rcnr 10989  0_Rc0r 10990  ℝcr 11238

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-ni 10996  df-pli 10997  df-mi 10998  df-lti 10999  df-plpq 11032  df-mpq 11033  df-ltpq 11034  df-enq 11035  df-nq 11036  df-erq 11037  df-plq 11038  df-mq 11039  df-1nq 11040  df-rq 11041  df-ltnq 11042  df-np 11105  df-1p 11106  df-enr 11179  df-nr 11180  df-0r 11184  df-r 11249

This theorem is used by:  ltresr  11264  ax1cn  11273  axaddrcl  11276  axmulrcl  11278  axrnegex  11286  axrrecex  11287  axcnre  11288  axpre-sup  11293