MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcnex 10225
Description: The complex numbers form a set. This axiom is redundant in the presence of the other axioms (see cnexALT 12029), but the proof requires the axiom of replacement, while the derivation from the construction here does not. Thus, we can avoid ax-rep 4932 in later theorems by invoking the axiom ax-cnex 10249 instead of cnexALT 12029. Use cnex 10274 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnex ℂ ∈ V

Proof of Theorem axcnex
StepHypRef Expression
1 df-c 10199 . 2 ℂ = (R × R)
2 df-nr 10135 . . . 4 R = ((P × P) / ~R )
3 npex 10065 . . . . . . 7 P ∈ V
43, 3xpex 7164 . . . . . 6 (P × P) ∈ V
54pwex 5018 . . . . 5 𝒫 (P × P) ∈ V
6 enrer 10143 . . . . . . . 8 ~R Er (P × P)
76a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ~R Er (P × P))
87qsss 8015 . . . . . 6 (⊤ → ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P))
98mptru 1660 . . . . 5 ((P × P) / ~R ) ⊆ 𝒫 (P × P)
105, 9ssexi 4966 . . . 4 ((P × P) / ~R ) ∈ V
112, 10eqeltri 2840 . . 3 R ∈ V
1211, 11xpex 7164 . 2 (R × R) ∈ V
131, 12eqeltri 2840 1 ℂ ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wtru 1653  wcel 2155  Vcvv 3350  wss 3734  𝒫 cpw 4317   × cxp 5277   Er wer 7948   / cqs 7950  Pcnp 9938   ~R cer 9943  Rcnr 9944  cc 10191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-omul 7773  df-er 7951  df-ec 7953  df-qs 7957  df-ni 9951  df-pli 9952  df-mi 9953  df-lti 9954  df-plpq 9987  df-mpq 9988  df-ltpq 9989  df-enq 9990  df-nq 9991  df-erq 9992  df-plq 9993  df-mq 9994  df-1nq 9995  df-rq 9996  df-ltnq 9997  df-np 10060  df-plp 10062  df-ltp 10064  df-enr 10134  df-nr 10135  df-c 10199
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator