Theorem axcnex 11102

Description: The complex numbers form a set. This axiom is redundant in the presence of the other axioms (see cnexALT 12984), but the proof requires the axiom of replacement, while the derivation from the construction here does not. Thus, we can avoid ax-rep 5226 in later theorems by invoking Axiom ax-cnex 11126 instead of cnexALT 12984. Use cnex 11151 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axcnex	⊢ ℂ ∈ V

Proof of Theorem axcnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 11076	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		nrex1 11019	. . 3 ⊢ R ∈ V
3	2, 2	xpex 7732	. 2 ⊢ (R × R) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2857	1 ⊢ ℂ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   × cxp 5643  Rcnr 10820  ℂcc 11068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8673  df-ec 8675  df-qs 8679  df-ni 10827  df-pli 10828  df-mi 10829  df-lti 10830  df-plpq 10863  df-mpq 10864  df-ltpq 10865  df-enq 10866  df-nq 10867  df-erq 10868  df-plq 10869  df-mq 10870  df-1nq 10871  df-rq 10872  df-ltnq 10873  df-np 10936  df-plp 10938  df-ltp 10940  df-enr 11010  df-nr 11011  df-c 11076

This theorem is referenced by: (None)