Theorem axcnex 11129

Description: The complex numbers form a set. This axiom is redundant in the presence of the other axioms (see cnexALT 12957), but the proof requires the axiom of replacement, while the derivation from the construction here does not. Thus, we can avoid ax-rep 5281 in later theorems by invoking Axiom ax-cnex 11153 instead of cnexALT 12957. Use cnex 11178 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axcnex	⊢ ℂ ∈ V

Proof of Theorem axcnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 11103	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		nrex1 11046	. . 3 ⊢ R ∈ V
3	2, 2	xpex 7727	. 2 ⊢ (R × R) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2830	1 ⊢ ℂ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   × cxp 5670  Rcnr 10847  ℂcc 11095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8691  df-ec 8693  df-qs 8697  df-ni 10854  df-pli 10855  df-mi 10856  df-lti 10857  df-plpq 10890  df-mpq 10891  df-ltpq 10892  df-enq 10893  df-nq 10894  df-erq 10895  df-plq 10896  df-mq 10897  df-1nq 10898  df-rq 10899  df-ltnq 10900  df-np 10963  df-plp 10965  df-ltp 10967  df-enr 11037  df-nr 11038  df-c 11103

This theorem is referenced by: (None)