Theorem axcnex 10726

Description: The complex numbers form a set. This axiom is redundant in the presence of the other axioms (see cnexALT 12547), but the proof requires the axiom of replacement, while the derivation from the construction here does not. Thus, we can avoid ax-rep 5164 in later theorems by invoking Axiom ax-cnex 10750 instead of cnexALT 12547. Use cnex 10775 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axcnex	⊢ ℂ ∈ V

Proof of Theorem axcnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 10700	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		nrex1 10643	. . 3 ⊢ R ∈ V
3	2, 2	xpex 7516	. 2 ⊢ (R × R) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2827	1 ⊢ ℂ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2112  Vcvv 3398   × cxp 5534  Rcnr 10444  ℂcc 10692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-oadd 8184  df-omul 8185  df-er 8369  df-ec 8371  df-qs 8375  df-ni 10451  df-pli 10452  df-mi 10453  df-lti 10454  df-plpq 10487  df-mpq 10488  df-ltpq 10489  df-enq 10490  df-nq 10491  df-erq 10492  df-plq 10493  df-mq 10494  df-1nq 10495  df-rq 10496  df-ltnq 10497  df-np 10560  df-plp 10562  df-ltp 10564  df-enr 10634  df-nr 10635  df-c 10700

This theorem is referenced by: (None)