Theorem axcnex 11141

Description: The complex numbers form a set. This axiom is redundant in the presence of the other axioms (see cnexALT 12971), but the proof requires the axiom of replacement, while the derivation from the construction here does not. Thus, we can avoid ax-rep 5278 in later theorems by invoking Axiom ax-cnex 11165 instead of cnexALT 12971. Use cnex 11190 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axcnex	⊢ ℂ ∈ V

Proof of Theorem axcnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 11115	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		nrex1 11058	. . 3 ⊢ R ∈ V
3	2, 2	xpex 7736	. 2 ⊢ (R × R) ∈ V
4	1, 3	eqeltri 2823	1 ⊢ ℂ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   × cxp 5667  Rcnr 10859  ℂcc 11107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-ni 10866  df-pli 10867  df-mi 10868  df-lti 10869  df-plpq 10902  df-mpq 10903  df-ltpq 10904  df-enq 10905  df-nq 10906  df-erq 10907  df-plq 10908  df-mq 10909  df-1nq 10910  df-rq 10911  df-ltnq 10912  df-np 10975  df-plp 10977  df-ltp 10979  df-enr 11049  df-nr 11050  df-c 11115

This theorem is referenced by: (None)