Theorem bj-pwcfsdom 35261

Description: Remove hypothesis from pwcfsdom 10367. Illustration of how to remove a "proof-facilitating hypothesis". (Can use it to shorten theorems using pwcfsdom 10367.) (Contributed by BJ, 14-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-pwcfsdom	⊢ (ℵ‘𝐴) ≺ ((ℵ‘𝐴) ↑m (cf‘(ℵ‘𝐴)))

Proof of Theorem bj-pwcfsdom

Dummy variables 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ (cf‘(ℵ‘𝐴)) ↦ (har‘(𝑓‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (cf‘(ℵ‘𝐴)) ↦ (har‘(𝑓‘𝑦)))
2	1	pwcfsdom 10367	1 ⊢ (ℵ‘𝐴) ≺ ((ℵ‘𝐴) ↑m (cf‘(ℵ‘𝐴)))

Syntax hints:   class class class wbr 5077   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295   ↑_m cmap 8635   ≺ csdm 8752  harchar 9343  ℵcale 9722  cfccf 9723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-inf2 9427  ax-ac2 10247

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-iin 4930  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-smo 8197  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-2o 8318  df-er 8518  df-map 8637  df-ixp 8706  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-oi 9297  df-har 9344  df-card 9725  df-aleph 9726  df-cf 9727  df-acn 9728  df-ac 9900

This theorem is referenced by: (None)