Mathbox for BJ < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-pwcfsdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-pwcfsdom 34795
 Description: Remove hypothesis from pwcfsdom 10057. Illustration of how to remove a "proof-facilitating hypothesis". (Can use it to shorten theorems using pwcfsdom 10057.) (Contributed by BJ, 14-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
bj-pwcfsdom (ℵ‘𝐴) ≺ ((ℵ‘𝐴) ↑m (cf‘(ℵ‘𝐴)))

Proof of Theorem bj-pwcfsdom
Dummy variables 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2759 . 2 (𝑦 ∈ (cf‘(ℵ‘𝐴)) ↦ (har‘(𝑓𝑦))) = (𝑦 ∈ (cf‘(ℵ‘𝐴)) ↦ (har‘(𝑓𝑦)))
21pwcfsdom 10057 1 (ℵ‘𝐴) ≺ ((ℵ‘𝐴) ↑m (cf‘(ℵ‘𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   class class class wbr 5037   ↦ cmpt 5117  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157   ↑m cmap 8423   ≺ csdm 8540  harchar 9067  ℵcale 9412  cfccf 9413 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-inf2 9151  ax-ac2 9937 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-iin 4890  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-smo 8000  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-2o 8120  df-er 8306  df-map 8425  df-ixp 8494  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-oi 9021  df-har 9068  df-card 9415  df-aleph 9416  df-cf 9417  df-acn 9418  df-ac 9590 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator