Theorem bnj1189 35204

Description: Technical lemma for bnj69 35205. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1189.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
bnj1189.2	⊢ (𝜓 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
bnj1189.3	⊢ (𝜒 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Assertion

Ref	Expression
bnj1189	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bnj1189

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1189.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
2		n0 4283	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
3	2	biimpi 218	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
4	1, 3	bnj837 34957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
5	4	ancli 554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
6		19.42v 1961	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
7	5, 6	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
8		3simpc 1157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒))
9		bnj1189.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜒 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
10	9	anbi2i 630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
11	8, 10	sylib 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
12	11	19.8ad 2196	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13		df-rex 3066	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14	12, 13	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
15	14	3comr 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
16	15	3expib 1129	. . . 4 ⊢ (𝜒 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
17		simp1 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → 𝜑)
18		simp2 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		rexnal 3093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
20	19	bicomi 226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
21	20, 9	xchnxbir 335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝜒 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
22		notnotb 317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
23	22	rexbii 3088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
24	21, 23	bitr4i 280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝜒 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥)
25	24	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝜒 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥)
26	25	bnj1196 34989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝜒 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
27	26	3ad2ant3 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
28		3anass 1101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
29	28	exbii 1856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
30		19.42v 1961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
31	29, 30	bitri 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
32	18, 27, 31	sylanbrc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
33		bnj1189.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜓 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
34	32, 33	bnj1198 34990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦𝜓)
35		19.42v 1961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑦𝜓))
36	17, 34, 35	sylanbrc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝜑 ∧ 𝜓))
37	1, 33	bnj1190 35203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
38	36, 37	bnj593 34941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
39	38	bnj937 34967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
40	39	bnj1185 34988	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
41	40	3comr 1132	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝜒 ∧ 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
42	41	3expib 1129	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜒 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
43	16, 42	pm2.61i 183	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
44	7, 43	bnj593 34941	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
45		nfre1 3266	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥
46	45	19.9 2219	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
47	44, 46	sylib 220	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093  ∃wex 1787   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3884  ∅c0 4263   class class class wbr 5074   FrSe w-bnj15 34888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-reg 9501  ax-inf2 9557

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-om 7810  df-1o 8399  df-bnj17 34883  df-bnj14 34885  df-bnj13 34887  df-bnj15 34889  df-bnj18 34891  df-bnj19 34893

This theorem is referenced by:  bnj69  35205