Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1189 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj1189 32308
Description: Technical lemma for bnj69 32309. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1189.1 (𝜑 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅))
bnj1189.2 (𝜓 ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
bnj1189.3 (𝜒 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Assertion
Ref Expression
bnj1189 (𝜑 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bnj1189
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj1189.1 . . . . . 6 (𝜑 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅))
2 n0 4293 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐵)
32biimpi 219 . . . . . 6 (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥𝐵)
41, 3bnj837 32059 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐵)
54ancli 552 . . . 4 (𝜑 → (𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐵))
6 19.42v 1955 . . . 4 (∃𝑥(𝜑𝑥𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐵))
75, 6sylibr 237 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥(𝜑𝑥𝐵))
8 3simpc 1147 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵𝜒) → (𝑥𝐵𝜒))
9 bnj1189.3 . . . . . . . . . 10 (𝜒 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
109anbi2i 625 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵𝜒) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
118, 10sylib 221 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵𝜒) → (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
121119.8ad 2183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵𝜒) → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13 df-rex 3139 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1412, 13sylibr 237 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵𝜒) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
15143comr 1122 . . . . 5 ((𝜒𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
16153expib 1119 . . . 4 (𝜒 → ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
17 simp1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → 𝜑)
18 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → 𝑥𝐵)
19 rexnal 3233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑦𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2019bicomi 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2120, 9xchnxbir 336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝜒 ↔ ∃𝑦𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
22 notnotb 318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2322rexbii 3242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑦𝐵 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2421, 23bitr4i 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝜒 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑅𝑥)
2524biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . 14 𝜒 → ∃𝑦𝐵 𝑦𝑅𝑥)
2625bnj1196 32093 . . . . . . . . . . . . 13 𝜒 → ∃𝑦(𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
27263ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
28 3anass 1092 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)))
2928exbii 1849 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑦(𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)))
30 19.42v 1955 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑦(𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑦(𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)))
3129, 30bitri 278 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦(𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑦(𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)))
3218, 27, 31sylanbrc 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
33 bnj1189.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜓 ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
3432, 33bnj1198 32094 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦𝜓)
35 19.42v 1955 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦(𝜑𝜓) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑦𝜓))
3617, 34, 35sylanbrc 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝜑𝜓))
371, 33bnj1190 32307 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ∃𝑤𝐵𝑧𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
3836, 37bnj593 32043 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦𝑤𝐵𝑧𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
3938bnj937 32070 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑤𝐵𝑧𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
4039bnj1185 32092 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
41403comr 1122 . . . . 5 ((¬ 𝜒𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
42413expib 1119 . . . 4 𝜒 → ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
4316, 42pm2.61i 185 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
447, 43bnj593 32043 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
45 nfre1 3299 . . 3 𝑥𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥
464519.9 2207 . 2 (∃𝑥𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
4744, 46sylib 221 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084  wex 1781  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  wrex 3134  wss 3919  c0 4276   class class class wbr 5053   FrSe w-bnj15 31989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-reg 9049  ax-inf2 9097
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-om 7572  df-1o 8094  df-bnj17 31984  df-bnj14 31986  df-bnj13 31988  df-bnj15 31990  df-bnj18 31992  df-bnj19 31994
This theorem is referenced by:  bnj69  32309
  Copyright terms: Public domain W3C validator