Theorem bnj1189 35144

Description: Technical lemma for bnj69 35145. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1189.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
bnj1189.2	⊢ (𝜓 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
bnj1189.3	⊢ (𝜒 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Assertion

Ref	Expression
bnj1189	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bnj1189

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1189.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
2		n0 4304	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
3	2	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
4	1, 3	bnj837 34896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
5	4	ancli 548	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
6		19.42v 1955	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
7	5, 6	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
8		3simpc 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒))
9		bnj1189.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜒 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
10	9	anbi2i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
11	8, 10	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
12	11	19.8ad 2188	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13		df-rex 3060	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14	12, 13	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
15	14	3comr 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
16	15	3expib 1123	. . . 4 ⊢ (𝜒 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
17		simp1 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → 𝜑)
18		simp2 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		rexnal 3087	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
20	19	bicomi 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
21	20, 9	xchnxbir 333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝜒 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
22		notnotb 315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
23	22	rexbii 3082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
24	21, 23	bitr4i 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝜒 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥)
25	24	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝜒 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥)
26	25	bnj1196 34929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝜒 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
27	26	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
28		3anass 1095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
29	28	exbii 1850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
30		19.42v 1955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
31	29, 30	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
32	18, 27, 31	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
33		bnj1189.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜓 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
34	32, 33	bnj1198 34930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦𝜓)
35		19.42v 1955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑦𝜓))
36	17, 34, 35	sylanbrc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝜑 ∧ 𝜓))
37	1, 33	bnj1190 35143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
38	36, 37	bnj593 34880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
39	38	bnj937 34906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
40	39	bnj1185 34928	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
41	40	3comr 1126	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝜒 ∧ 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
42	41	3expib 1123	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜒 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
43	16, 42	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
44	7, 43	bnj593 34880	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
45		nfre1 3260	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥
46	45	19.9 2211	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
47	44, 46	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3900  ∅c0 4284   class class class wbr 5097   FrSe w-bnj15 34827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-reg 9499  ax-inf2 9552

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-om 7809  df-1o 8397  df-bnj17 34822  df-bnj14 34824  df-bnj13 34826  df-bnj15 34828  df-bnj18 34830  df-bnj19 34832

This theorem is referenced by:  bnj69  35145