Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1189 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj1189 34051
Description: Technical lemma for bnj69 34052. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1189.1 (𝜑 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅))
bnj1189.2 (𝜓 ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
bnj1189.3 (𝜒 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Assertion
Ref Expression
bnj1189 (𝜑 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bnj1189
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj1189.1 . . . . . 6 (𝜑 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅))
2 n0 4347 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐵)
32biimpi 215 . . . . . 6 (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥𝐵)
41, 3bnj837 33803 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐵)
54ancli 550 . . . 4 (𝜑 → (𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐵))
6 19.42v 1958 . . . 4 (∃𝑥(𝜑𝑥𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥𝐵))
75, 6sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∃𝑥(𝜑𝑥𝐵))
8 3simpc 1151 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵𝜒) → (𝑥𝐵𝜒))
9 bnj1189.3 . . . . . . . . . 10 (𝜒 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
109anbi2i 624 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐵𝜒) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
118, 10sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵𝜒) → (𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
121119.8ad 2176 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵𝜒) → ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13 df-rex 3072 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1412, 13sylibr 233 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵𝜒) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
15143comr 1126 . . . . 5 ((𝜒𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
16153expib 1123 . . . 4 (𝜒 → ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
17 simp1 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → 𝜑)
18 simp2 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → 𝑥𝐵)
19 rexnal 3101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑦𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2019bicomi 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2120, 9xchnxbir 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝜒 ↔ ∃𝑦𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
22 notnotb 315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2322rexbii 3095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑦𝐵 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
2421, 23bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝜒 ↔ ∃𝑦𝐵 𝑦𝑅𝑥)
2524biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 𝜒 → ∃𝑦𝐵 𝑦𝑅𝑥)
2625bnj1196 33836 . . . . . . . . . . . . 13 𝜒 → ∃𝑦(𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
27263ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
28 3anass 1096 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)))
2928exbii 1851 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑦(𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)))
30 19.42v 1958 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑦(𝑥𝐵 ∧ (𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑦(𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)))
3129, 30bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑦(𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝐵 ∧ ∃𝑦(𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥)))
3218, 27, 31sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
33 bnj1189.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜓 ↔ (𝑥𝐵𝑦𝐵𝑦𝑅𝑥))
3432, 33bnj1198 33837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦𝜓)
35 19.42v 1958 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦(𝜑𝜓) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑦𝜓))
3617, 34, 35sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝜑𝜓))
371, 33bnj1190 34050 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) → ∃𝑤𝐵𝑧𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
3836, 37bnj593 33787 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦𝑤𝐵𝑧𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
3938bnj937 33813 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑤𝐵𝑧𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
4039bnj1185 33835 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
41403comr 1126 . . . . 5 ((¬ 𝜒𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
42413expib 1123 . . . 4 𝜒 → ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
4316, 42pm2.61i 182 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
447, 43bnj593 33787 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
45 nfre1 3283 . . 3 𝑥𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥
464519.9 2199 . 2 (∃𝑥𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
4744, 46sylib 217 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐵𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wex 1782  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149   FrSe w-bnj15 33734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-reg 9587  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-bnj17 33729  df-bnj14 33731  df-bnj13 33733  df-bnj15 33735  df-bnj18 33737  df-bnj19 33739
This theorem is referenced by:  bnj69  34052
  Copyright terms: Public domain W3C validator