Theorem bnj1189 33034

Description: Technical lemma for bnj69 33035. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj1189.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
bnj1189.2	⊢ (𝜓 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
bnj1189.3	⊢ (𝜒 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Assertion

Ref	Expression
bnj1189	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bnj1189

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj1189.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅))
2		n0 4286	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
3	2	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
4	1, 3	bnj837 32786	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
5	4	ancli 550	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
6		19.42v 1955	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵))
7	5, 6	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
8		3simpc 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒))
9		bnj1189.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜒 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
10	9	anbi2i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
11	8, 10	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
12	11	19.8ad 2173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒) → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
13		df-rex 3072	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
14	12, 13	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
15	14	3comr 1125	. . . . 5 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
16	15	3expib 1122	. . . 4 ⊢ (𝜒 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
17		simp1 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → 𝜑)
18		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → 𝑥 ∈ 𝐵)
19		rexnal 3100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
20	19	bicomi 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
21	20, 9	xchnxbir 333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝜒 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
22		notnotb 315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
23	22	rexbii 3094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ¬ ¬ 𝑦𝑅𝑥)
24	21, 23	bitr4i 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝜒 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥)
25	24	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝜒 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑥)
26	25	bnj1196 32819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝜒 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
27	26	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
28		3anass 1095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
29	28	exbii 1848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
30		19.42v 1955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
31	29, 30	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
32	18, 27, 31	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
33		bnj1189.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜓 ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
34	32, 33	bnj1198 32820	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦𝜓)
35		19.42v 1955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑦(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑦𝜓))
36	17, 34, 35	sylanbrc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦(𝜑 ∧ 𝜓))
37	1, 33	bnj1190 33033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
38	36, 37	bnj593 32770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑦∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
39	38	bnj937 32796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ¬ 𝑧𝑅𝑤)
40	39	bnj1185 32818	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
41	40	3comr 1125	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝜒 ∧ 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
42	41	3expib 1122	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜒 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
43	16, 42	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
44	7, 43	bnj593 32770	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
45		nfre1 3265	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥
46	45	19.9 2196	. 2 ⊢ (∃𝑥∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)
47	44, 46	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262   class class class wbr 5081   FrSe w-bnj15 32716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-reg 9395  ax-inf2 9443

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-om 7745  df-1o 8328  df-bnj17 32711  df-bnj14 32713  df-bnj13 32715  df-bnj15 32717  df-bnj18 32719  df-bnj19 32721

This theorem is referenced by:  bnj69  33035