Theorem rrnmbl 45925

Description: The set of n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
rrnmbl.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
rrnmbl	⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋))

Proof of Theorem rrnmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnmbl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2	1	ovnome 45884	. . 3 ⊢ (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
3		eqid 2727	. . 3 ⊢ ∪ dom (voln*‘𝑋) = ∪ dom (voln*‘𝑋)
4		eqid 2727	. . 3 ⊢ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
5	2, 3, 4	caragenunidm 45819	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ dom (voln*‘𝑋) ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
6	1	dmovn 45915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
7	6	unieqd 4916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ dom (voln*‘𝑋) = ∪ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋))
8		unipw 5446	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝒫 (ℝ ↑m 𝑋) = (ℝ ↑m 𝑋))
10	7, 9	eqtr2d 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) = ∪ dom (voln*‘𝑋))
11	1	dmvon 45917	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
12	10, 11	eleq12d 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ ∪ dom (voln*‘𝑋) ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
13	5, 12	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (ℝ ↑m 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  𝒫 cpw 4598  ∪ cuni 4903  dom cdm 5672  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8836  Fincfn 8955  ℝcr 11129  CaraGenccaragen 45802  voln*covoln 45847  volncvoln 45849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-ac2 10478  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-dju 9916  df-card 9954  df-acn 9957  df-ac 10131  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-prod 15874  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-rest 17395  df-0g 17414  df-topgen 17416  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-subg 19069  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-drng 20615  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836  df-cmp 23278  df-ovol 25380  df-vol 25381  df-sumge0 45674  df-ome 45801  df-caragen 45803  df-ovoln 45848  df-voln 45850

This theorem is referenced by:  hoimbl  45942