Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme23c Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleme23c 39735
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 4th paragraph, 6th line on p. 115. (Contributed by NM, 8-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme23.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme23.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme23.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme23.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme23.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme23.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme23.v 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š))
Assertion
Ref Expression
cdleme23c ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))
Proof of Theorem cdleme23c
StepHypRef Expression
1 simp11l 1281 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38747 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp12l 1283 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
4 cdleme23.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 cdleme23.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 38672 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
73, 6syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
8 simp13l 1285 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
94, 5atbase 38672 . . . . 5 (𝑇 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
108, 9syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
11 cdleme23.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
12 cdleme23.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
134, 11, 12latlej1 18413 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
142, 7, 10, 13syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
15 simp2l 1196 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
16 simp11r 1282 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
17 cdleme23.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
184, 17lhpbase 39382 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
1916, 18syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
20 cdleme23.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
214, 20latmcl 18405 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
222, 15, 19, 21syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
234, 11, 12latlej1 18413 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
242, 7, 22, 23syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
25 simp32 1207 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
26 simp33 1208 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
2725, 26eqtr4d 2769 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
2824, 27breqtrd 5167 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
294, 12, 5hlatjcl 38750 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡)
301, 3, 8, 29syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡)
314, 12latjcl 18404 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑇 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
322, 10, 22, 31syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
334, 11, 20latlem12 18431 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ 𝐡 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) ↔ 𝑆 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))))
342, 7, 30, 32, 33syl13anc 1369 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) ↔ 𝑆 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))))
3514, 28, 34mpbi2and 709 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
36 cdleme23.v . . . 4 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š))
3736oveq2i 7416 . . 3 (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑇 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š)))
384, 11, 12latlej2 18414 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ 𝑇 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
392, 7, 10, 38syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑇 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
404, 11, 12, 20, 5atmod3i1 39248 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) ∧ 𝑇 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) β†’ (𝑇 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š))) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
411, 8, 30, 22, 39, 40syl131anc 1380 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑇 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š))) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
4237, 41eqtrid 2778 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑇 ∨ 𝑉) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
4335, 42breqtrrd 5169 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  cdleme28a  39754
  Copyright terms: Public domain W3C validator