Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11l 1285 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 37872 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β πΎ β Lat) |
3 | | simp12l 1287 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΄) |
4 | | cdleme23.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
5 | | cdleme23.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | 4, 5 | atbase 37797 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
7 | 3, 6 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
8 | | simp13l 1289 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΄) |
9 | 4, 5 | atbase 37797 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
11 | | cdleme23.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
12 | | cdleme23.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
13 | 4, 11, 12 | latlej1 18342 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β π β€ (π β¨ π)) |
14 | 2, 7, 10, 13 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β€ (π β¨ π)) |
15 | | simp2l 1200 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
16 | | simp11r 1286 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π») |
17 | | cdleme23.h |
. . . . . . . 8
β’ π» = (LHypβπΎ) |
18 | 4, 17 | lhpbase 38507 |
. . . . . . 7
β’ (π β π» β π β π΅) |
19 | 16, 18 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β π΅) |
20 | | cdleme23.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
21 | 4, 20 | latmcl 18334 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
22 | 2, 15, 19, 21 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β§ π) β π΅) |
23 | 4, 11, 12 | latlej1 18342 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ (π β§ π) β π΅) β π β€ (π β¨ (π β§ π))) |
24 | 2, 7, 22, 23 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β€ (π β¨ (π β§ π))) |
25 | | simp32 1211 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ (π β§ π)) = π) |
26 | | simp33 1212 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ (π β§ π)) = π) |
27 | 25, 26 | eqtr4d 2776 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ (π β§ π)) = (π β¨ (π β§ π))) |
28 | 24, 27 | breqtrd 5132 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β€ (π β¨ (π β§ π))) |
29 | 4, 12, 5 | hlatjcl 37875 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β π΅) |
30 | 1, 3, 8, 29 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ π) β π΅) |
31 | 4, 12 | latjcl 18333 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ (π β§ π) β π΅) β (π β¨ (π β§ π)) β π΅) |
32 | 2, 10, 22, 31 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ (π β§ π)) β π΅) |
33 | 4, 11, 20 | latlem12 18360 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ (π β¨ π) β π΅ β§ (π β¨ (π β§ π)) β π΅)) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ (π β§ π))) β π β€ ((π β¨ π) β§ (π β¨ (π β§ π))))) |
34 | 2, 7, 30, 32, 33 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ (π β§ π))) β π β€ ((π β¨ π) β§ (π β¨ (π β§ π))))) |
35 | 14, 28, 34 | mpbi2and 711 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β€ ((π β¨ π) β§ (π β¨ (π β§ π)))) |
36 | | cdleme23.v |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ (π β§ π)) |
37 | 36 | oveq2i 7369 |
. . 3
β’ (π β¨ π) = (π β¨ ((π β¨ π) β§ (π β§ π))) |
38 | 4, 11, 12 | latlej2 18343 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β π β€ (π β¨ π)) |
39 | 2, 7, 10, 38 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β€ (π β¨ π)) |
40 | 4, 11, 12, 20, 5 | atmod3i1 38373 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π β¨ π) β π΅ β§ (π β§ π) β π΅) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ (π β§ π))) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ (π β§ π)))) |
41 | 1, 8, 30, 22, 39, 40 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ (π β§ π))) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ (π β§ π)))) |
42 | 37, 41 | eqtrid 2785 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ π) = ((π β¨ π) β§ (π β¨ (π β§ π)))) |
43 | 35, 42 | breqtrrd 5134 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β π β€ (π β¨ π)) |