Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme23c Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleme23c 39210
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 4th paragraph, 6th line on p. 115. (Contributed by NM, 8-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme23.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme23.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme23.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme23.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme23.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme23.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme23.v 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š))
Assertion
Ref Expression
cdleme23c ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))
Proof of Theorem cdleme23c
StepHypRef Expression
1 simp11l 1284 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38222 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp12l 1286 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
4 cdleme23.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 cdleme23.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 38147 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
73, 6syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
8 simp13l 1288 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
94, 5atbase 38147 . . . . 5 (𝑇 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
108, 9syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐡)
11 cdleme23.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
12 cdleme23.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
134, 11, 12latlej1 18397 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
142, 7, 10, 13syl3anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
15 simp2l 1199 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
16 simp11r 1285 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
17 cdleme23.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
184, 17lhpbase 38857 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
1916, 18syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
20 cdleme23.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
214, 20latmcl 18389 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
222, 15, 19, 21syl3anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
234, 11, 12latlej1 18397 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
242, 7, 22, 23syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
25 simp32 1210 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
26 simp33 1211 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
2725, 26eqtr4d 2775 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
2824, 27breqtrd 5173 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
294, 12, 5hlatjcl 38225 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡)
301, 3, 8, 29syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡)
314, 12latjcl 18388 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑇 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
322, 10, 22, 31syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
334, 11, 20latlem12 18415 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ 𝐡 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) ↔ 𝑆 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))))
342, 7, 30, 32, 33syl13anc 1372 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))) ↔ 𝑆 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))))
3514, 28, 34mpbi2and 710 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
36 cdleme23.v . . . 4 𝑉 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š))
3736oveq2i 7416 . . 3 (𝑇 ∨ 𝑉) = (𝑇 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š)))
384, 11, 12latlej2 18398 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝑇 ∈ 𝐡) β†’ 𝑇 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
392, 7, 10, 38syl3anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑇 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
404, 11, 12, 20, 5atmod3i1 38723 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) ∧ 𝑇 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) β†’ (𝑇 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š))) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
411, 8, 30, 22, 39, 40syl131anc 1383 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑇 ∨ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑋 ∧ π‘Š))) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
4237, 41eqtrid 2784 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑇 ∨ 𝑉) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
4335, 42breqtrrd 5175 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 β‰  𝑇 ∧ (𝑆 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ (𝑇 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑇 ∨ 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LHypclh 38843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847
This theorem is referenced by:  cdleme28a  39229
  Copyright terms: Public domain W3C validator