Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme42b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme42b 38991
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 6-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme41.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme41.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme41.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme41.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme41.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme41.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme41.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme41.d 𝐷 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme41.e 𝐸 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme41.g 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme41.i 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐺))
cdleme41.n 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐷)
cdleme41.o 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
cdleme41.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
Assertion
Ref Expression
cdleme42b ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   ∨ ,𝑠   ≀ ,𝑠   ∧ ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   π‘ˆ,𝑠   π‘Š,𝑠   𝑦,𝑑,𝐴,𝑠   𝐡,𝑠,𝑑,𝑦   𝑦,𝐷   𝑦,𝐺   𝐸,𝑠,𝑦   𝐻,𝑠,𝑑,𝑦   𝑑, ∨ ,𝑦   𝐾,𝑠,𝑑,𝑦   𝑑, ≀ ,𝑦   𝑑, ∧ ,𝑦   𝑑,𝑃,𝑦   𝑑,𝑄,𝑦   𝑑,𝑅,𝑦   𝑑,π‘ˆ,𝑦   𝑑,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑧   𝑧,𝐸,𝑠   𝑧,𝐻   π‘₯, ∨ ,𝑧   𝑧,𝐾   π‘₯, ≀ ,𝑧   π‘₯, ∧ ,𝑧   π‘₯,𝑁,𝑧   π‘₯,𝑃,𝑧   π‘₯,𝑄,𝑧   π‘₯,𝑅,𝑧   π‘₯,π‘ˆ,𝑧   π‘₯,π‘Š,𝑧,𝑠,𝑑,𝑦   𝑋,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐸(π‘₯,𝑑)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐺(π‘₯,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐻(π‘₯)   𝐼(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐾(π‘₯)   𝑁(𝑦,𝑑,𝑠)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem cdleme42b
StepHypRef Expression
1 cdleme41.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
21fvexi 6860 . 2 𝐡 ∈ V
3 nfv 1918 . . 3 Ⅎ𝑠(((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))
4 nfcsb1v 3884 . . . . 5 Ⅎ𝑠⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘
5 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑠 ∨
6 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑠(𝑋 ∧ π‘Š)
74, 5, 6nfov 7391 . . . 4 Ⅎ𝑠(⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))
87a1i 11 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Ⅎ𝑠(⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
9 nfvd 1919 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Ⅎ𝑠(Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))
10 cdleme41.o . . . . 5 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
11 cdleme41.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
12 eqid 2733 . . . . 5 (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))) = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
1310, 11, 12cdleme31fv1 38904 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))))
14133ad2ant2 1135 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))))
15 breq1 5112 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑅 β†’ (𝑠 ≀ π‘Š ↔ 𝑅 ≀ π‘Š))
1615notbid 318 . . . . 5 (𝑠 = 𝑅 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ↔ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
17 oveq1 7368 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑅 β†’ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
1817eqeq1d 2735 . . . . 5 (𝑠 = 𝑅 β†’ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ↔ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))
1916, 18anbi12d 632 . . . 4 (𝑠 = 𝑅 β†’ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)))
2019adantl 483 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ 𝑠 = 𝑅) β†’ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)))
21 csbeq1a 3873 . . . . 5 (𝑠 = 𝑅 β†’ 𝑁 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)
2221oveq1d 7376 . . . 4 (𝑠 = 𝑅 β†’ (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = (⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
2322adantl 483 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ 𝑠 = 𝑅) β†’ (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = (⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
24 simp1 1137 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
25 simp2l 1200 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
26 cdleme41.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
27 cdleme41.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
28 cdleme41.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
29 cdleme41.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
30 cdleme41.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
31 cdleme41.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
32 cdleme41.d . . . . 5 𝐷 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
33 cdleme41.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
34 cdleme41.g . . . . 5 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
35 cdleme41.i . . . . 5 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐺))
36 cdleme41.n . . . . 5 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐷)
371, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 10, 11cdleme32fvcl 38953 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
3824, 25, 37syl2anc 585 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
39 simp3ll 1245 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
40 simp3lr 1246 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)
41 simp3r 1203 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
4240, 41jca 513 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))
433, 8, 9, 14, 20, 23, 38, 39, 42riotasv2d 37469 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
442, 43mpan2 690 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447  β¦‹csb 3859  ifcif 4490   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  β€˜cfv 6500  β„©crio 7316  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  lecple 17148  joincjn 18208  meetcmee 18209  Atomscatm 37775  HLchlt 37862  LHypclh 38497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-undef 8208  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501
This theorem is referenced by:  cdleme42e  38992  cdleme48fv  39012
  Copyright terms: Public domain W3C validator