Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme42b Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleme42b 39862
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 6-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme41.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme41.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme41.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme41.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme41.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme41.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme41.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme41.d 𝐷 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
cdleme41.e 𝐸 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme41.g 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdleme41.i 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐺))
cdleme41.n 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐷)
cdleme41.o 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
cdleme41.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
Assertion
Ref Expression
cdleme42b ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   ∨ ,𝑠   ≀ ,𝑠   ∧ ,𝑠   𝑃,𝑠   𝑄,𝑠   𝑅,𝑠   π‘ˆ,𝑠   π‘Š,𝑠   𝑦,𝑑,𝐴,𝑠   𝐡,𝑠,𝑑,𝑦   𝑦,𝐷   𝑦,𝐺   𝐸,𝑠,𝑦   𝐻,𝑠,𝑑,𝑦   𝑑, ∨ ,𝑦   𝐾,𝑠,𝑑,𝑦   𝑑, ≀ ,𝑦   𝑑, ∧ ,𝑦   𝑑,𝑃,𝑦   𝑑,𝑄,𝑦   𝑑,𝑅,𝑦   𝑑,π‘ˆ,𝑦   𝑑,π‘Š,𝑦   π‘₯,𝑧,𝐴   π‘₯,𝐡,𝑧   𝑧,𝐸,𝑠   𝑧,𝐻   π‘₯, ∨ ,𝑧   𝑧,𝐾   π‘₯, ≀ ,𝑧   π‘₯, ∧ ,𝑧   π‘₯,𝑁,𝑧   π‘₯,𝑃,𝑧   π‘₯,𝑄,𝑧   π‘₯,𝑅,𝑧   π‘₯,π‘ˆ,𝑧   π‘₯,π‘Š,𝑧,𝑠,𝑑,𝑦   𝑋,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐸(π‘₯,𝑑)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐺(π‘₯,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐻(π‘₯)   𝐼(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐾(π‘₯)   𝑁(𝑦,𝑑,𝑠)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝑋(𝑦)
Proof of Theorem cdleme42b
StepHypRef Expression
1 cdleme41.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
21fvexi 6899 . 2 𝐡 ∈ V
3 nfv 1909 . . 3 Ⅎ𝑠(((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))
4 nfcsb1v 3913 . . . . 5 Ⅎ𝑠⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘
5 nfcv 2897 . . . . 5 Ⅎ𝑠 ∨
6 nfcv 2897 . . . . 5 Ⅎ𝑠(𝑋 ∧ π‘Š)
74, 5, 6nfov 7435 . . . 4 Ⅎ𝑠(⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))
87a1i 11 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Ⅎ𝑠(⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
9 nfvd 1910 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Ⅎ𝑠(Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))
10 cdleme41.o . . . . 5 𝑂 = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š))))
11 cdleme41.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), 𝑂, π‘₯))
12 eqid 2726 . . . . 5 (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))) = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š))))
1310, 11, 12cdleme31fv1 39775 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))))
14133ad2ant2 1131 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) β†’ 𝑧 = (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))))
15 breq1 5144 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑅 β†’ (𝑠 ≀ π‘Š ↔ 𝑅 ≀ π‘Š))
1615notbid 318 . . . . 5 (𝑠 = 𝑅 β†’ (Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ↔ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š))
17 oveq1 7412 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑅 β†’ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
1817eqeq1d 2728 . . . . 5 (𝑠 = 𝑅 β†’ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ↔ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))
1916, 18anbi12d 630 . . . 4 (𝑠 = 𝑅 β†’ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)))
2019adantl 481 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ 𝑠 = 𝑅) β†’ ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋) ↔ (Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)))
21 csbeq1a 3902 . . . . 5 (𝑠 = 𝑅 β†’ 𝑁 = ⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘)
2221oveq1d 7420 . . . 4 (𝑠 = 𝑅 β†’ (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = (⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
2322adantl 481 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ 𝑠 = 𝑅) β†’ (𝑁 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = (⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
24 simp1 1133 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)))
25 simp2l 1196 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
26 cdleme41.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
27 cdleme41.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
28 cdleme41.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
29 cdleme41.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
30 cdleme41.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
31 cdleme41.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
32 cdleme41.d . . . . 5 𝐷 = ((𝑠 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑠) ∧ π‘Š)))
33 cdleme41.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
34 cdleme41.g . . . . 5 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝐸 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
35 cdleme41.i . . . . 5 𝐼 = (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑦 = 𝐺))
36 cdleme41.n . . . . 5 𝑁 = if(𝑠 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄), 𝐼, 𝐷)
371, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 10, 11cdleme32fvcl 39824 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
3824, 25, 37syl2anc 583 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
39 simp3ll 1241 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
40 simp3lr 1242 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š)
41 simp3r 1199 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
4240, 41jca 511 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋))
433, 8, 9, 14, 20, 23, 38, 39, 42riotasv2d 38340 . 2 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
442, 43mpan2 688 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ π‘Š) ∧ (𝑅 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (⦋𝑅 / π‘ β¦Œπ‘ ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2877   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468  β¦‹csb 3888  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  cdleme42e  39863  cdleme48fv  39883
  Copyright terms: Public domain W3C validator