Theorem cdlemg2fvlem 39991

Description: Lemma for cdlemg2fv 39996. (Contributed by NM, 23-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemg2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemg2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg2ex.u	⊢ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)
cdlemg2ex.d	⊢ 𝐷 = ((𝑡 ∨ 𝑈) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
cdlemg2ex.e	⊢ 𝐸 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
cdlemg2ex.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞), (℩𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / 𝑡⦌𝐷) ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)))), 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
cdlemg2fvlem	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → (𝐹‘𝑋) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐵,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ∨ ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ≤ ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑞,𝑝,𝐴   𝐹,𝑝,𝑞   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ≤ ,𝑝,𝑞   𝑇,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ∨ ,𝑝,𝑞   𝑃,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   ∧ ,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑡,𝑞,𝑝)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝑈(𝑞,𝑝)   𝐸(𝑡,𝑠,𝑞,𝑝)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem cdlemg2fvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1134	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp3l 1199	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		simp2r 1198	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊))
4		simp2l 1197	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
5		simp3r 1200	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)
6	4, 5	jca 511	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))
7		cdlemg2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		cdlemg2.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		cdlemg2.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		cdlemg2.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11		cdlemg2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12		cdlemg2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13		cdlemg2.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14		cdlemg2ex.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑊)
15		cdlemg2ex.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((𝑡 ∨ 𝑈) ∧ (𝑞 ∨ ((𝑝 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
16		cdlemg2ex.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = ((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑡) ∧ 𝑊)))
17		cdlemg2ex.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ if((𝑝 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑥 ≤ 𝑊), (℩𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑠 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ (𝑠 ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞), (℩𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑡 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑡 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 ≤ (𝑝 ∨ 𝑞)) → 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / 𝑡⦌𝐷) ∨ (𝑥 ∧ 𝑊)))), 𝑥))
18		fveq1 6890	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
19		fveq1 6890	. . . . 5 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃))
20	19	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)))
21	18, 20	eqeq12d 2743	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹‘𝑋) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) ↔ (𝐺‘𝑋) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊))))
22	7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17	cdleme48fvg 39897	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → (𝐺‘𝑋) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)))
23	22	3expb 1118	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑝 ≤ 𝑊) ∧ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑞 ≤ 𝑊)) ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))) → (𝐺‘𝑋) = ((𝐺‘𝑃) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)))
24	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 21, 23	cdlemg2ce 39989	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋))) → (𝐹‘𝑋) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)))
25	1, 2, 3, 6, 24	syl112anc 1372	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ≤ 𝑊)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)) = 𝑋)) → (𝐹‘𝑋) = ((𝐹‘𝑃) ∨ (𝑋 ∧ 𝑊)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∀wral 3056  ⦋csb 3889  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  ℩crio 7369  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  joincjn 18288  meetcmee 18289  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LHypclh 39381  LTrncltrn 39498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-riotaBAD 38349

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-undef 8270  df-map 8836  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lvols 38897  df-lines 38898  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385  df-laut 39386  df-ldil 39501  df-ltrn 39502  df-trl 39556

This theorem is referenced by:  cdlemg2fv  39996