Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg2fvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg2fvlem 37909
 Description: Lemma for cdlemg2fv 37914. (Contributed by NM, 23-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemg2.l = (le‘𝐾)
cdlemg2.j = (join‘𝐾)
cdlemg2.m = (meet‘𝐾)
cdlemg2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg2ex.u 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)
cdlemg2ex.d 𝐷 = ((𝑡 𝑈) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊)))
cdlemg2ex.e 𝐸 = ((𝑝 𝑞) (𝐷 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
cdlemg2ex.g 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑝 𝑞), (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑝 𝑞)) → 𝑦 = 𝐸)), 𝑠 / 𝑡𝐷) (𝑥 𝑊)))), 𝑥))
Assertion
Ref Expression
cdlemg2fvlem (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (𝐹𝑋) = ((𝐹𝑃) (𝑋 𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐵,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑞,𝑝,𝐴   𝐹,𝑝,𝑞   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ,𝑝,𝑞   𝑇,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑝,𝑞   𝑃,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   ,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑡,𝑞,𝑝)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝑈(𝑞,𝑝)   𝐸(𝑡,𝑠,𝑞,𝑝)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠,𝑞,𝑝)

Proof of Theorem cdlemg2fvlem
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp3l 1198 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → 𝐹𝑇)
3 simp2r 1197 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊))
4 simp2l 1196 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
5 simp3r 1199 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)
64, 5jca 515 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))
7 cdlemg2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdlemg2.l . . 3 = (le‘𝐾)
9 cdlemg2.j . . 3 = (join‘𝐾)
10 cdlemg2.m . . 3 = (meet‘𝐾)
11 cdlemg2.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
12 cdlemg2.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13 cdlemg2.t . . 3 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14 cdlemg2ex.u . . 3 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)
15 cdlemg2ex.d . . 3 𝐷 = ((𝑡 𝑈) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊)))
16 cdlemg2ex.e . . 3 𝐸 = ((𝑝 𝑞) (𝐷 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
17 cdlemg2ex.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑝 𝑞), (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑝 𝑞)) → 𝑦 = 𝐸)), 𝑠 / 𝑡𝐷) (𝑥 𝑊)))), 𝑥))
18 fveq1 6645 . . . 4 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝑋) = (𝐺𝑋))
19 fveq1 6645 . . . . 5 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑃))
2019oveq1d 7151 . . . 4 (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹𝑃) (𝑋 𝑊)) = ((𝐺𝑃) (𝑋 𝑊)))
2118, 20eqeq12d 2814 . . 3 (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹𝑋) = ((𝐹𝑃) (𝑋 𝑊)) ↔ (𝐺𝑋) = ((𝐺𝑃) (𝑋 𝑊))))
227, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17cdleme48fvg 37815 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (𝐺𝑋) = ((𝐺𝑃) (𝑋 𝑊)))
23223expb 1117 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝐺𝑋) = ((𝐺𝑃) (𝑋 𝑊)))
247, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 21, 23cdlemg2ce 37907 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ ((𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋))) → (𝐹𝑋) = ((𝐹𝑃) (𝑋 𝑊)))
251, 2, 3, 6, 24syl112anc 1371 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑋𝐵 ∧ ¬ 𝑋 𝑊)) ∧ (𝐹𝑇 ∧ (𝑃 (𝑋 𝑊)) = 𝑋)) → (𝐹𝑋) = ((𝐹𝑃) (𝑋 𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ⦋csb 3828  ifcif 4425   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  ℩crio 7093  (class class class)co 7136  Basecbs 16478  lecple 16567  joincjn 17549  meetcmee 17550  Atomscatm 36578  HLchlt 36665  LHypclh 37299  LTrncltrn 37416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-riotaBAD 36268 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-undef 7925  df-map 8394  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-oposet 36491  df-ol 36493  df-oml 36494  df-covers 36581  df-ats 36582  df-atl 36613  df-cvlat 36637  df-hlat 36666  df-llines 36813  df-lplanes 36814  df-lvols 36815  df-lines 36816  df-psubsp 36818  df-pmap 36819  df-padd 37111  df-lhyp 37303  df-laut 37304  df-ldil 37419  df-ltrn 37420  df-trl 37474 This theorem is referenced by:  cdlemg2fv  37914
 Copyright terms: Public domain W3C validator