Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1136 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
2 | | simp3l 1201 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β πΉ β π) |
3 | | simp2r 1200 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) |
4 | | simp2l 1199 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
5 | | simp3r 1202 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (π β¨ (π β§ π)) = π) |
6 | 4, 5 | jca 512 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) |
7 | | cdlemg2.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
8 | | cdlemg2.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
9 | | cdlemg2.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
10 | | cdlemg2.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
11 | | cdlemg2.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
12 | | cdlemg2.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
13 | | cdlemg2.t |
. . 3
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
14 | | cdlemg2ex.u |
. . 3
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
15 | | cdlemg2ex.d |
. . 3
β’ π· = ((π‘ β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
16 | | cdlemg2ex.e |
. . 3
β’ πΈ = ((π β¨ π) β§ (π· β¨ ((π β¨ π‘) β§ π))) |
17 | | cdlemg2ex.g |
. . 3
β’ πΊ = (π₯ β π΅ β¦ if((π β π β§ Β¬ π₯ β€ π), (β©π§ β π΅ βπ β π΄ ((Β¬ π β€ π β§ (π β¨ (π₯ β§ π)) = π₯) β π§ = (if(π β€ (π β¨ π), (β©π¦ β π΅ βπ‘ β π΄ ((Β¬ π‘ β€ π β§ Β¬ π‘ β€ (π β¨ π)) β π¦ = πΈ)), β¦π / π‘β¦π·) β¨ (π₯ β§ π)))), π₯)) |
18 | | fveq1 6890 |
. . . 4
β’ (πΉ = πΊ β (πΉβπ) = (πΊβπ)) |
19 | | fveq1 6890 |
. . . . 5
β’ (πΉ = πΊ β (πΉβπ) = (πΊβπ)) |
20 | 19 | oveq1d 7423 |
. . . 4
β’ (πΉ = πΊ β ((πΉβπ) β¨ (π β§ π)) = ((πΊβπ) β¨ (π β§ π))) |
21 | 18, 20 | eqeq12d 2748 |
. . 3
β’ (πΉ = πΊ β ((πΉβπ) = ((πΉβπ) β¨ (π β§ π)) β (πΊβπ) = ((πΊβπ) β¨ (π β§ π)))) |
22 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 17 | cdleme48fvg 39366 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΊβπ) = ((πΊβπ) β¨ (π β§ π))) |
23 | 22 | 3expb 1120 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β (πΊβπ) = ((πΊβπ) β¨ (π β§ π))) |
24 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 21, 23 | cdlemg2ce 39458 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β¨ (π β§ π)) = π))) β (πΉβπ) = ((πΉβπ) β¨ (π β§ π))) |
25 | 1, 2, 3, 6, 24 | syl112anc 1374 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ (π β¨ (π β§ π)) = π)) β (πΉβπ) = ((πΉβπ) β¨ (π β§ π))) |