Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg2ce Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg2ce 40121
Description: Utility theorem to eliminate p,q when converting theorems with explicit f. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 22-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemg2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg2ex.u π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)
cdlemg2ex.d 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (π‘ž ∨ ((𝑝 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemg2ex.e 𝐸 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemg2ex.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (if(𝑠 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž), (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / π‘‘β¦Œπ·) ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))), π‘₯))
cdlemg2ce.p (𝐹 = 𝐺 β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
cdlemg2ce.c ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) ∧ πœ‘) β†’ πœ’)
Assertion
Ref Expression
cdlemg2ce (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) β†’ πœ“)
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐸,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∨ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ≀ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Š,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ž,𝑝,𝐴   𝐹,𝑝,π‘ž   𝐻,𝑝,π‘ž   𝐾,𝑝,π‘ž   ≀ ,𝑝,π‘ž   𝑇,𝑝,π‘ž   π‘Š,𝑝,π‘ž,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑝,π‘ž   πœ“,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   πœ“(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   πœ’(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠,π‘ž,𝑝)   𝐡(π‘ž,𝑝)   𝐷(𝑑,π‘ž,𝑝)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   π‘ˆ(π‘ž,𝑝)   𝐸(𝑑,𝑠,π‘ž,𝑝)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠,π‘ž,𝑝)   ∨ (π‘ž,𝑝)   ∧ (π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem cdlemg2ce
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
2 cdlemg2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cdlemg2.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 cdlemg2.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 cdlemg2.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
6 cdlemg2.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemg2.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemg2.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemg2ex.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)
10 cdlemg2ex.d . . . . 5 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (π‘ž ∨ ((𝑝 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
11 cdlemg2ex.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
12 cdlemg2ex.g . . . . 5 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (if(𝑠 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž), (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / π‘‘β¦Œπ·) ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))), π‘₯))
132, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemg2cex 40120 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)))
14133ad2ant1 1130 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)))
151, 14mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺))
16 simp11 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
17 simp2l 1196 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
18 simp31 1206 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
1917, 18jca 510 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))
20 simp2r 1197 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
21 simp32 1207 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)
2220, 21jca 510 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š))
23 simp13 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ πœ‘)
24 cdlemg2ce.c . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) ∧ πœ‘) β†’ πœ’)
2516, 19, 22, 23, 24syl31anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ πœ’)
26 simp33 1208 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ 𝐹 = 𝐺)
27 cdlemg2ce.p . . . . . 6 (𝐹 = 𝐺 β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
2925, 28mpbird 256 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ πœ“)
30293exp 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺) β†’ πœ“)))
3130rexlimdvv 3201 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺) β†’ πœ“))
3215, 31mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) β†’ πœ“)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  β¦‹csb 3884  ifcif 4524   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6543  β„©crio 7371  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  meetcmee 18303  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-undef 8277  df-map 8845  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688
This theorem is referenced by:  cdlemg2jlemOLDN  40122  cdlemg2fvlem  40123  cdlemg2klem  40124
  Copyright terms: Public domain W3C validator