Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg2ce Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg2ce 39055
Description: Utility theorem to eliminate p,q when converting theorems with explicit f. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 22-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemg2.l = (le‘𝐾)
cdlemg2.j = (join‘𝐾)
cdlemg2.m = (meet‘𝐾)
cdlemg2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg2.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg2.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg2ex.u 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)
cdlemg2ex.d 𝐷 = ((𝑡 𝑈) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊)))
cdlemg2ex.e 𝐸 = ((𝑝 𝑞) (𝐷 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
cdlemg2ex.g 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑝 𝑞), (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑝 𝑞)) → 𝑦 = 𝐸)), 𝑠 / 𝑡𝐷) (𝑥 𝑊)))), 𝑥))
cdlemg2ce.p (𝐹 = 𝐺 → (𝜓𝜒))
cdlemg2ce.c ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) ∧ 𝜑) → 𝜒)
Assertion
Ref Expression
cdlemg2ce (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) → 𝜓)
Distinct variable groups:   𝑡,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐵,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐸,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑈,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑞,𝑝,𝐴   𝐹,𝑝,𝑞   𝐻,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   ,𝑝,𝑞   𝑇,𝑝,𝑞   𝑊,𝑝,𝑞,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑝,𝑞   𝜓,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠,𝑞,𝑝)   𝐵(𝑞,𝑝)   𝐷(𝑡,𝑞,𝑝)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝑈(𝑞,𝑝)   𝐸(𝑡,𝑠,𝑞,𝑝)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝑠,𝑞,𝑝)   (𝑞,𝑝)   (𝑞,𝑝)

Proof of Theorem cdlemg2ce
StepHypRef Expression
1 simp2 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) → 𝐹𝑇)
2 cdlemg2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 cdlemg2.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
4 cdlemg2.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
5 cdlemg2.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
6 cdlemg2.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemg2.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemg2.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 cdlemg2ex.u . . . . 5 𝑈 = ((𝑝 𝑞) 𝑊)
10 cdlemg2ex.d . . . . 5 𝐷 = ((𝑡 𝑈) (𝑞 ((𝑝 𝑡) 𝑊)))
11 cdlemg2ex.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑝 𝑞) (𝐷 ((𝑠 𝑡) 𝑊)))
12 cdlemg2ex.g . . . . 5 𝐺 = (𝑥𝐵 ↦ if((𝑝𝑞 ∧ ¬ 𝑥 𝑊), (𝑧𝐵𝑠𝐴 ((¬ 𝑠 𝑊 ∧ (𝑠 (𝑥 𝑊)) = 𝑥) → 𝑧 = (if(𝑠 (𝑝 𝑞), (𝑦𝐵𝑡𝐴 ((¬ 𝑡 𝑊 ∧ ¬ 𝑡 (𝑝 𝑞)) → 𝑦 = 𝐸)), 𝑠 / 𝑡𝐷) (𝑥 𝑊)))), 𝑥))
132, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemg2cex 39054 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐹𝑇 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)))
14133ad2ant1 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) → (𝐹𝑇 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)))
151, 14mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺))
16 simp11 1203 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 simp2l 1199 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → 𝑝𝐴)
18 simp31 1209 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → ¬ 𝑝 𝑊)
1917, 18jca 512 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊))
20 simp2r 1200 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → 𝑞𝐴)
21 simp32 1210 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → ¬ 𝑞 𝑊)
2220, 21jca 512 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊))
23 simp13 1205 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → 𝜑)
24 cdlemg2ce.c . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑊) ∧ (𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑊)) ∧ 𝜑) → 𝜒)
2516, 19, 22, 23, 24syl31anc 1373 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → 𝜒)
26 simp33 1211 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → 𝐹 = 𝐺)
27 cdlemg2ce.p . . . . . 6 (𝐹 = 𝐺 → (𝜓𝜒))
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → (𝜓𝜒))
2925, 28mpbird 256 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ (¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺)) → 𝜓)
30293exp 1119 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((¬ 𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺) → 𝜓)))
3130rexlimdvv 3204 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴𝑝 𝑊 ∧ ¬ 𝑞 𝑊𝐹 = 𝐺) → 𝜓))
3215, 31mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝜑) → 𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  csb 3855  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cfv 6496  crio 7312  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  joincjn 18200  meetcmee 18201  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LHypclh 38447  LTrncltrn 38564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-riotaBAD 37415
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-undef 8204  df-map 8767  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622
This theorem is referenced by:  cdlemg2jlemOLDN  39056  cdlemg2fvlem  39057  cdlemg2klem  39058
  Copyright terms: Public domain W3C validator