Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg2ce Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg2ce 39976
Description: Utility theorem to eliminate p,q when converting theorems with explicit f. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 22-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemg2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg2ex.u π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)
cdlemg2ex.d 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (π‘ž ∨ ((𝑝 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemg2ex.e 𝐸 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
cdlemg2ex.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (if(𝑠 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž), (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / π‘‘β¦Œπ·) ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))), π‘₯))
cdlemg2ce.p (𝐹 = 𝐺 β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
cdlemg2ce.c ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) ∧ πœ‘) β†’ πœ’)
Assertion
Ref Expression
cdlemg2ce (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) β†’ πœ“)
Distinct variable groups:   𝑑,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐴   𝐡,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐷,𝑠,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐸,𝑦,𝑧   𝐻,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∨ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐾,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ≀ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   ∧ ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ˆ,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘Š,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘ž,𝑝,𝐴   𝐹,𝑝,π‘ž   𝐻,𝑝,π‘ž   𝐾,𝑝,π‘ž   ≀ ,𝑝,π‘ž   𝑇,𝑝,π‘ž   π‘Š,𝑝,π‘ž,𝑠,𝑑,π‘₯,𝑦,𝑧   πœ‘,𝑝,π‘ž   πœ“,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   πœ“(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   πœ’(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠,π‘ž,𝑝)   𝐡(π‘ž,𝑝)   𝐷(𝑑,π‘ž,𝑝)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   π‘ˆ(π‘ž,𝑝)   𝐸(𝑑,𝑠,π‘ž,𝑝)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑑,𝑠,π‘ž,𝑝)   ∨ (π‘ž,𝑝)   ∧ (π‘ž,𝑝)

Proof of Theorem cdlemg2ce
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
2 cdlemg2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cdlemg2.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 cdlemg2.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 cdlemg2.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
6 cdlemg2.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 cdlemg2.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
8 cdlemg2.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 cdlemg2ex.u . . . . 5 π‘ˆ = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ π‘Š)
10 cdlemg2ex.d . . . . 5 𝐷 = ((𝑑 ∨ π‘ˆ) ∧ (π‘ž ∨ ((𝑝 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
11 cdlemg2ex.e . . . . 5 𝐸 = ((𝑝 ∨ π‘ž) ∧ (𝐷 ∨ ((𝑠 ∨ 𝑑) ∧ π‘Š)))
12 cdlemg2ex.g . . . . 5 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ if((𝑝 β‰  π‘ž ∧ Β¬ π‘₯ ≀ π‘Š), (℩𝑧 ∈ 𝐡 βˆ€π‘  ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑠 ≀ π‘Š ∧ (𝑠 ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)) = π‘₯) β†’ 𝑧 = (if(𝑠 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž), (℩𝑦 ∈ 𝐡 βˆ€π‘‘ ∈ 𝐴 ((Β¬ 𝑑 ≀ π‘Š ∧ Β¬ 𝑑 ≀ (𝑝 ∨ π‘ž)) β†’ 𝑦 = 𝐸)), ⦋𝑠 / π‘‘β¦Œπ·) ∨ (π‘₯ ∧ π‘Š)))), π‘₯))
132, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemg2cex 39975 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)))
14133ad2ant1 1130 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)))
151, 14mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺))
16 simp11 1200 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
17 simp2l 1196 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
18 simp31 1206 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š)
1917, 18jca 511 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š))
20 simp2r 1197 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
21 simp32 1207 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)
2220, 21jca 511 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š))
23 simp13 1202 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ πœ‘)
24 cdlemg2ce.c . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š) ∧ (π‘ž ∈ 𝐴 ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š)) ∧ πœ‘) β†’ πœ’)
2516, 19, 22, 23, 24syl31anc 1370 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ πœ’)
26 simp33 1208 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ 𝐹 = 𝐺)
27 cdlemg2ce.p . . . . . 6 (𝐹 = 𝐺 β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
2826, 27syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ (πœ“ ↔ πœ’))
2925, 28mpbird 257 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺)) β†’ πœ“)
30293exp 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐴 ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ ((Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺) β†’ πœ“)))
3130rexlimdvv 3204 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 βˆƒπ‘ž ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ π‘Š ∧ Β¬ π‘ž ≀ π‘Š ∧ 𝐹 = 𝐺) β†’ πœ“))
3215, 31mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ πœ‘) β†’ πœ“)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  β¦‹csb 3888  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  β„©crio 7360  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8259  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543
This theorem is referenced by:  cdlemg2jlemOLDN  39977  cdlemg2fvlem  39978  cdlemg2klem  39979
  Copyright terms: Public domain W3C validator