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Theorem cdlemk 39845
Description: Lemma K of [Crawley] p. 118. Final result, lines 11 and 12 on p. 120: given two translations f and k with the same trace, there exists a trace-preserving endomorphism tau whose value at f is k. We use 𝐹, 𝑁, and 𝑒 to represent f, k, and tau. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk7.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk7.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk7.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk7.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemk (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 (π‘’β€˜πΉ) = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐹   𝑒,𝐾   𝑒,𝑁   𝑒,𝑅   𝑒,𝑇   𝑒,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑒)
Proof of Theorem cdlemk
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . 3 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
3 eqid 2733 . . 3 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
4 eqid 2733 . . 3 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
5 eqid 2733 . . 3 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdlemk7.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 cdlemk7.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 cdlemk7.r . . 3 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 eqid 2733 . . 3 ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 eqid 2733 . . 3 ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
11 eqid 2733 . . 3 ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏)))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏))))
12 eqid 2733 . . 3 (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏)))))) = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏))))))
13 eqid 2733 . . 3 (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏)))))))) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏))))))))
14 cdlemk7.e . . 3 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemk56w 39844 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) β†’ ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏)))))))) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏))))))))β€˜πΉ) = 𝑁))
16 fveq1 6891 . . . 4 (𝑒 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏)))))))) β†’ (π‘’β€˜πΉ) = ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏))))))))β€˜πΉ))
1716eqeq1d 2735 . . 3 (𝑒 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏)))))))) β†’ ((π‘’β€˜πΉ) = 𝑁 ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏))))))))β€˜πΉ) = 𝑁))
1817rspcev 3613 . 2 (((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏)))))))) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏))))))))β€˜πΉ) = 𝑁) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 (π‘’β€˜πΉ) = 𝑁)
1915, 18syl 17 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 (π‘’β€˜πΉ) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  ifcif 4529   ↦ cmpt 5232   I cid 5574  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  β„©crio 7364  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  occoc 17205  joincjn 18264  meetcmee 18265  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  trLctrl 39029  TEndoctendo 39623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-riotaBAD 37823
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-undef 8258  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tendo 39626
This theorem is referenced by:  tendoex  39846  cdleml2N  39848
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