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Theorem cdlemk 39487
Description: Lemma K of [Crawley] p. 118. Final result, lines 11 and 12 on p. 120: given two translations f and k with the same trace, there exists a trace-preserving endomorphism tau whose value at f is k. We use 𝐹, 𝑁, and 𝑒 to represent f, k, and tau. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk7.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk7.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk7.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk7.e 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemk (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 (π‘’β€˜πΉ) = 𝑁)
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐹   𝑒,𝐾   𝑒,𝑁   𝑒,𝑅   𝑒,𝑇   𝑒,π‘Š
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑒)

Proof of Theorem cdlemk
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . 3 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
3 eqid 2733 . . 3 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
4 eqid 2733 . . 3 (ocβ€˜πΎ) = (ocβ€˜πΎ)
5 eqid 2733 . . 3 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdlemk7.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 cdlemk7.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 cdlemk7.r . . 3 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 eqid 2733 . . 3 ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 eqid 2733 . . 3 ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹)))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))
11 eqid 2733 . . 3 ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏)))) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏))))
12 eqid 2733 . . 3 (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏)))))) = (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏))))))
13 eqid 2733 . . 3 (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏)))))))) = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏))))))))
14 cdlemk7.e . . 3 𝐸 = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemk56w 39486 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) β†’ ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏)))))))) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏))))))))β€˜πΉ) = 𝑁))
16 fveq1 6845 . . . 4 (𝑒 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏)))))))) β†’ (π‘’β€˜πΉ) = ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏))))))))β€˜πΉ))
1716eqeq1d 2735 . . 3 (𝑒 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏)))))))) β†’ ((π‘’β€˜πΉ) = 𝑁 ↔ ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏))))))))β€˜πΉ) = 𝑁))
1817rspcev 3583 . 2 (((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏)))))))) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑓 ∈ 𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑓, (℩𝑧 ∈ 𝑇 βˆ€π‘ ∈ 𝑇 ((𝑏 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π‘) β‰  (π‘…β€˜π‘“)) β†’ (π‘§β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = ((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘“))(meetβ€˜πΎ)(((((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)((π‘β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑏 ∘ ◑𝐹))))(joinβ€˜πΎ)(π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝑏))))))))β€˜πΉ) = 𝑁) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 (π‘’β€˜πΉ) = 𝑁)
1915, 18syl 17 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝐸 (π‘’β€˜πΉ) = 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  ifcif 4490   ↦ cmpt 5192   I cid 5534  β—‘ccnv 5636   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  β„©crio 7316  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  occoc 17149  joincjn 18208  meetcmee 18209  Atomscatm 37775  HLchlt 37862  LHypclh 38497  LTrncltrn 38614  trLctrl 38671  TEndoctendo 39265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-undef 8208  df-map 8773  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tendo 39268
This theorem is referenced by:  tendoex  39488  cdleml2N  39490
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