Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk56w Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk56w 37554
 Description: Use a fixed element to eliminate 𝑃 in cdlemk56 37552. (Contributed by NM, 1-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk6.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk6.j = (join‘𝐾)
cdlemk6.m = (meet‘𝐾)
cdlemk6.o = (oc‘𝐾)
cdlemk6.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk6.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk6.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk6.p 𝑃 = ( 𝑊)
cdlemk6.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk6.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk6.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
cdlemk6.u 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑔, 𝑋))
cdlemk6.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemk56w (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) → (𝑈𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑏,𝑧,   ,𝑏,𝑔,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑔,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑔,𝑧   𝑅,𝑏,𝑔,𝑧   𝑇,𝑏,𝑔,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝑔,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑧,𝑔,𝑏)   𝐸(𝑧,𝑔,𝑏)   (𝑧,𝑔,𝑏)   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk56w
StepHypRef Expression
1 simp1 1116 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp2l 1179 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) → 𝐹𝑇)
3 simp2r 1180 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) → 𝑁𝑇)
4 simp3 1118 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
5 eqid 2778 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
6 cdlemk6.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 cdlemk6.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8 cdlemk6.p . . . . . 6 𝑃 = ( 𝑊)
9 cdlemk6.o . . . . . . 7 = (oc‘𝐾)
109fveq1i 6502 . . . . . 6 ( 𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
118, 10eqtri 2802 . . . . 5 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
125, 6, 7, 11lhpocnel2 36600 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊))
13123ad2ant1 1113 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊))
14 cdlemk6.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
15 cdlemk6.j . . . 4 = (join‘𝐾)
16 cdlemk6.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
17 cdlemk6.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
18 cdlemk6.r . . . 4 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
19 cdlemk6.z . . . 4 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
20 cdlemk6.y . . . 4 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
21 cdlemk6.x . . . 4 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
22 cdlemk6.u . . . 4 𝑈 = (𝑔𝑇 ↦ if(𝐹 = 𝑁, 𝑔, 𝑋))
23 cdlemk6.e . . . 4 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
2414, 5, 15, 16, 6, 7, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23cdlemk56 37552 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃(le‘𝐾)𝑊)) → 𝑈𝐸)
251, 2, 3, 4, 13, 24syl311anc 1364 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) → 𝑈𝐸)
2614, 15, 16, 9, 6, 7, 17, 18, 8, 19, 20, 21, 22cdlemk19w 37553 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) → (𝑈𝐹) = 𝑁)
2725, 26jca 504 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝑁𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) → (𝑈𝐸 ∧ (𝑈𝐹) = 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  ∀wral 3088  ifcif 4351   class class class wbr 4930   ↦ cmpt 5009   I cid 5312  ◡ccnv 5407   ↾ cres 5410   ∘ ccom 5412  ‘cfv 6190  ℩crio 6938  (class class class)co 6978  Basecbs 16342  lecple 16431  occoc 16432  joincjn 17415  meetcmee 17416  Atomscatm 35844  HLchlt 35931  LHypclh 36565  LTrncltrn 36682  trLctrl 36739  TEndoctendo 37333 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-riotaBAD 35534 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-undef 7744  df-map 8210  df-proset 17399  df-poset 17417  df-plt 17429  df-lub 17445  df-glb 17446  df-join 17447  df-meet 17448  df-p0 17510  df-p1 17511  df-lat 17517  df-clat 17579  df-oposet 35757  df-ol 35759  df-oml 35760  df-covers 35847  df-ats 35848  df-atl 35879  df-cvlat 35903  df-hlat 35932  df-llines 36079  df-lplanes 36080  df-lvols 36081  df-lines 36082  df-psubsp 36084  df-pmap 36085  df-padd 36377  df-lhyp 36569  df-laut 36570  df-ldil 36685  df-ltrn 36686  df-trl 36740  df-tendo 37336 This theorem is referenced by:  cdlemk  37555  cdleml6  37562
 Copyright terms: Public domain W3C validator