Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemk1.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
2 | | cdlemk1.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
3 | | cdlemk1.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
4 | | cdlemk1.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
5 | | cdlemk1.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | | cdlemk1.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
7 | | cdlemk1.t |
. . 3
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
8 | | cdlemk1.r |
. . 3
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
9 | | cdlemk1.s |
. . 3
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
10 | | cdlemk1.o |
. . 3
β’ π = (πβπ·) |
11 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdlemk15 39364 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β€ ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΉ β β‘π·))))) |
12 | | simp11l 1285 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β πΎ β HL) |
13 | | hlatl 37868 |
. . . 4
β’ (πΎ β HL β πΎ β AtLat) |
14 | 12, 13 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β πΎ β AtLat) |
15 | | simp11 1204 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
16 | | simp21 1207 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π β π) |
17 | | simp22l 1293 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π β π΄) |
18 | 2, 5, 6, 7 | ltrnat 38649 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π β§ π β π΄) β (πβπ) β π΄) |
19 | 15, 16, 17, 18 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β π΄) |
20 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | cdlemk16 39366 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΉ β β‘π·)))) β π΄ β§ Β¬ ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΉ β β‘π·)))) β€ π)) |
21 | 20 | simpld 496 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΉ β β‘π·)))) β π΄) |
22 | 2, 5 | atcmp 37819 |
. . 3
β’ ((πΎ β AtLat β§ (πβπ) β π΄ β§ ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΉ β β‘π·)))) β π΄) β ((πβπ) β€ ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΉ β β‘π·)))) β (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΉ β β‘π·)))))) |
23 | 14, 19, 21, 22 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β ((πβπ) β€ ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΉ β β‘π·)))) β (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΉ β β‘π·)))))) |
24 | 11, 23 | mpbid 231 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΉ β β‘π·))))) |