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Theorem cdlemk16 39723
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 1-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk1.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk1.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk1.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk1.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
cdlemk1.o 𝑂 = (π‘†β€˜π·)
Assertion
Ref Expression
cdlemk16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐷)))) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐷)))) ≀ π‘Š))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖, ∧   ≀ ,𝑖   ∨ ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐷,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,π‘Š,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐡(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   ≀ (𝑓)   𝑂(𝑓,𝑖)
Proof of Theorem cdlemk16
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp23 1208 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
3 simp12 1204 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
4 simp13 1205 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐷 ∈ 𝑇)
5 simp21 1206 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
6 simp33 1211 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
76, 6jca 512 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ ((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)))
8 simp31 1209 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
9 simp32 1210 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
108, 8, 93jca 1128 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)))
11 simp22 1207 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
12 cdlemk1.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
13 cdlemk1.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
14 cdlemk1.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
15 cdlemk1.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
16 cdlemk1.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
17 cdlemk1.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
18 cdlemk1.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 cdlemk1.r . . 3 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
20 cdlemk1.s . . 3 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
21 cdlemk1.o . . 3 𝑂 = (π‘†β€˜π·)
2212, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdlemk16a 39722 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ (((π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐷)))) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐷)))) ≀ π‘Š))
231, 2, 3, 3, 4, 5, 7, 10, 11, 22syl333anc 1402 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐷 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐷 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜π·) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐷)))) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘‚β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐷)))) ≀ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573  β—‘ccnv 5675   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  β„©crio 7363  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18263  meetcmee 18264  Atomscatm 38128  HLchlt 38215  LHypclh 38850  LTrncltrn 38967  trLctrl 39024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-riotaBAD 37818
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-undef 8257  df-map 8821  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025
This theorem is referenced by:  cdlemk17  39724  cdlemk16-2N  39746
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