Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1204 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΆ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΎ β HL) |
2 | | simp12 1205 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΆ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π») |
3 | 1, 2 | jca 513 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΆ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
4 | | simp21 1207 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΆ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΉ β π) |
5 | | simp22 1208 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΆ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΆ β π) |
6 | | simp23 1209 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΆ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β π β π) |
7 | | simp33 1212 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΆ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
8 | | simp13 1206 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΆ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
βπΉ) = (π
βπ)) |
9 | | simp32l 1299 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΆ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΉ β ( I βΎ π΅)) |
10 | | simp32r 1300 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΆ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β πΆ β ( I βΎ π΅)) |
11 | | simp31 1210 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΆ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π
βπΆ) β (π
βπΉ)) |
12 | | cdlemk2.b |
. . 3
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
13 | | cdlemk2.l |
. . 3
β’ β€ =
(leβπΎ) |
14 | | cdlemk2.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
15 | | cdlemk2.m |
. . 3
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
16 | | cdlemk2.a |
. . 3
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
17 | | cdlemk2.h |
. . 3
β’ π» = (LHypβπΎ) |
18 | | cdlemk2.t |
. . 3
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
19 | | cdlemk2.r |
. . 3
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
20 | | cdlemk2.s |
. . 3
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
21 | | cdlemk2.q |
. . 3
β’ π = (πβπΆ) |
22 | 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 | cdlemk17 39367 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ πΆ β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπΆ) β (π
βπΉ))) β (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΉ β β‘πΆ))))) |
23 | 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 22 | syl333anc 1403 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β π β§ πΆ β π β§ π β π) β§ ((π
βπΆ) β (π
βπΉ) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ πΆ β ( I βΎ π΅)) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (πβπ) = ((π β¨ (π
βπΉ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(πΉ β β‘πΆ))))) |