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Theorem cdlemk17-2N 40409
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 21 on p. 119. 𝑄, 𝐢 are k2, f2. (Contributed by NM, 1-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk2.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk2.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
cdlemk2.q 𝑄 = (π‘†β€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
cdlemk17-2N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘„β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐢)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖, ∧   ≀ ,𝑖   ∨ ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐢,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,π‘Š,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐡(𝑓,𝑖)   𝑄(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   ≀ (𝑓)

Proof of Theorem cdlemk17-2N
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1201 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
31, 2jca 510 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 simp21 1203 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
5 simp22 1204 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑇)
6 simp23 1205 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
7 simp33 1208 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
8 simp13 1202 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
9 simp32l 1295 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
10 simp32r 1296 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
11 simp31 1206 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
12 cdlemk2.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
13 cdlemk2.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
14 cdlemk2.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
15 cdlemk2.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
16 cdlemk2.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
17 cdlemk2.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
18 cdlemk2.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 cdlemk2.r . . 3 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
20 cdlemk2.s . . 3 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
21 cdlemk2.q . . 3 𝑄 = (π‘†β€˜πΆ)
2212, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdlemk17 40386 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘„β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐢)))))
233, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 22syl333anc 1399 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΉ)) ∧ ((π‘„β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ ◑𝐢)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   I cid 5569  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6542  β„©crio 7370  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  lecple 17237  joincjn 18300  meetcmee 18301  Atomscatm 38790  HLchlt 38877  LHypclh 39512  LTrncltrn 39629  trLctrl 39686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-riotaBAD 38480
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-undef 8275  df-map 8843  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-p1 18415  df-lat 18421  df-clat 18488  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-llines 39026  df-lplanes 39027  df-lvols 39028  df-lines 39029  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-padd 39324  df-lhyp 39516  df-laut 39517  df-ldil 39632  df-ltrn 39633  df-trl 39687
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