Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11l 1285 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β πΎ β HL) |
2 | | simp22l 1293 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π β π΄) |
3 | | simp11 1204 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
4 | | simp13 1206 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π· β π) |
5 | | simp32 1211 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π· β ( I βΎ π΅)) |
6 | | cdlemk1.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
7 | | cdlemk1.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | | cdlemk1.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
9 | | cdlemk1.t |
. . . . . 6
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
10 | | cdlemk1.r |
. . . . . 6
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
11 | 6, 7, 8, 9, 10 | trlnidat 38682 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π· β π β§ π· β ( I βΎ π΅)) β (π
βπ·) β π΄) |
12 | 3, 4, 5, 11 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π
βπ·) β π΄) |
13 | | cdlemk1.l |
. . . . 5
β’ β€ =
(leβπΎ) |
14 | | cdlemk1.j |
. . . . 5
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
15 | 13, 14, 7 | hlatlej1 37883 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (π
βπ·) β π΄) β π β€ (π β¨ (π
βπ·))) |
16 | 1, 2, 12, 15 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π β€ (π β¨ (π
βπ·))) |
17 | | cdlemk1.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
18 | | cdlemk1.s |
. . . 4
β’ π = (π β π β¦ (β©π β π (πβπ) = ((π β¨ (π
βπ)) β§ ((πβπ) β¨ (π
β(π β β‘πΉ)))))) |
19 | | cdlemk1.o |
. . . 4
β’ π = (πβπ·) |
20 | 6, 13, 14, 17, 7, 8, 9, 10, 18, 19 | cdlemkole 39362 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β€ (π β¨ (π
βπ·))) |
21 | 1 | hllatd 37872 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β πΎ β Lat) |
22 | 6, 7 | atbase 37797 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
23 | 2, 22 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β π β π΅) |
24 | 6, 13, 14, 17, 7, 8, 9, 10, 18, 19 | cdlemkoatnle 39360 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β ((πβπ) β π΄ β§ Β¬ (πβπ) β€ π)) |
25 | 24 | simpld 496 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β π΄) |
26 | 6, 7 | atbase 37797 |
. . . . 5
β’ ((πβπ) β π΄ β (πβπ) β π΅) |
27 | 25, 26 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (πβπ) β π΅) |
28 | 6, 14, 7 | hlatjcl 37875 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ (π
βπ·) β π΄) β (π β¨ (π
βπ·)) β π΅) |
29 | 1, 2, 12, 28 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π β¨ (π
βπ·)) β π΅) |
30 | 6, 13, 14 | latjle12 18344 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ (πβπ) β π΅ β§ (π β¨ (π
βπ·)) β π΅)) β ((π β€ (π β¨ (π
βπ·)) β§ (πβπ) β€ (π β¨ (π
βπ·))) β (π β¨ (πβπ)) β€ (π β¨ (π
βπ·)))) |
31 | 21, 23, 27, 29, 30 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β ((π β€ (π β¨ (π
βπ·)) β§ (πβπ) β€ (π β¨ (π
βπ·))) β (π β¨ (πβπ)) β€ (π β¨ (π
βπ·)))) |
32 | 16, 20, 31 | mpbi2and 711 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π β¨ (πβπ)) β€ (π β¨ (π
βπ·))) |
33 | | simp22 1208 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
34 | 13, 14, 7, 8, 9, 10 | trljat3 38677 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π· β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ (π
βπ·)) = ((π·βπ) β¨ (π
βπ·))) |
35 | 3, 4, 33, 34 | syl3anc 1372 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π β¨ (π
βπ·)) = ((π·βπ) β¨ (π
βπ·))) |
36 | 32, 35 | breqtrd 5132 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π· β π) β§ (π β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
βπΉ) = (π
βπ)) β§ (πΉ β ( I βΎ π΅) β§ π· β ( I βΎ π΅) β§ (π
βπ·) β (π
βπΉ))) β (π β¨ (πβπ)) β€ ((π·βπ) β¨ (π
βπ·))) |