Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemkole-2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemkole-2N 40274
Description: Utility lemma. (Contributed by NM, 2-Jul-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemk2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemk2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemk2.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemk2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemk2.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemk2.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk2.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemk2.s 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
cdlemk2.q 𝑄 = (π‘†β€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
cdlemkole-2N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘„β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΆ)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖, ∧   ≀ ,𝑖   ∨ ,𝑓,𝑖   𝐴,𝑖   𝐢,𝑓,𝑖   𝑓,𝐹,𝑖   𝑖,𝐻   𝑖,𝐾   𝑓,𝑁,𝑖   𝑃,𝑓,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖   𝑇,𝑓,𝑖   𝑓,π‘Š,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝐡(𝑓,𝑖)   𝑄(𝑓,𝑖)   𝑆(𝑓,𝑖)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   ≀ (𝑓)

Proof of Theorem cdlemkole-2N
StepHypRef Expression
1 simp11 1201 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
31, 2jca 511 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 simp21 1204 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
5 simp22 1205 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐢 ∈ 𝑇)
6 simp23 1206 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝑁 ∈ 𝑇)
7 simp33 1209 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
8 simp13 1203 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘))
9 simp32l 1296 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
10 simp32r 1297 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡))
11 simp31 1207 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))
12 cdlemk2.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
13 cdlemk2.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
14 cdlemk2.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
15 cdlemk2.m . . 3 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
16 cdlemk2.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
17 cdlemk2.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
18 cdlemk2.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 cdlemk2.r . . 3 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
20 cdlemk2.s . . 3 𝑆 = (𝑓 ∈ 𝑇 ↦ (℩𝑖 ∈ 𝑇 (π‘–β€˜π‘ƒ) = ((𝑃 ∨ (π‘…β€˜π‘“)) ∧ ((π‘β€˜π‘ƒ) ∨ (π‘…β€˜(𝑓 ∘ ◑𝐹))))))
21 cdlemk2.q . . 3 𝑄 = (π‘†β€˜πΆ)
2212, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdlemkole 40250 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇) ∧ (𝑁 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ))) β†’ (π‘„β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΆ)))
233, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 22syl333anc 1400 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻 ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜π‘)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐢 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΆ) β‰  (π‘…β€˜πΉ) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ 𝐢 β‰  ( I β†Ύ 𝐡)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))) β†’ (π‘„β€˜π‘ƒ) ≀ (𝑃 ∨ (π‘…β€˜πΆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   I cid 5569  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  β€˜cfv 6542  β„©crio 7369  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  lecple 17225  joincjn 18288  meetcmee 18289  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  LHypclh 39381  LTrncltrn 39498  trLctrl 39555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-riotaBAD 38349
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-undef 8270  df-map 8836  df-proset 18272  df-poset 18290  df-plt 18307  df-lub 18323  df-glb 18324  df-join 18325  df-meet 18326  df-p0 18402  df-p1 18403  df-lat 18409  df-clat 18476  df-oposet 38572  df-ol 38574  df-oml 38575  df-covers 38662  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-llines 38895  df-lplanes 38896  df-lvols 38897  df-lines 38898  df-psubsp 38900  df-pmap 38901  df-padd 39193  df-lhyp 39385  df-laut 39386  df-ldil 39501  df-ltrn 39502  df-trl 39556
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator