Theorem chintcl 30853

Description: The intersection (infimum) of a nonempty subset of C_ℋ belongs to C_ℋ. Part of Theorem 3.13 of [Beran] p. 108. Also part of Definition 3.4-1 in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chintcl	⊢ ((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Cℋ )

Proof of Theorem chintcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inteq 4953	. . 3 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) → ∩ 𝐴 = ∩ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ))
2	1	eleq1d 2817	. 2 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) → (∩ 𝐴 ∈ Cℋ ↔ ∩ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ∈ Cℋ ))
3		sseq1 4007	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) → (𝐴 ⊆ Cℋ ↔ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ⊆ Cℋ ))
4		neeq1 3002	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ≠ ∅))
5	3, 4	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ⊆ Cℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ≠ ∅)))
6		sseq1 4007	. . . . 5 ⊢ ( Cℋ = if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) → ( Cℋ ⊆ Cℋ ↔ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ⊆ Cℋ ))
7		neeq1 3002	. . . . 5 ⊢ ( Cℋ = if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) → ( Cℋ ≠ ∅ ↔ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ≠ ∅))
8	6, 7	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ ( Cℋ = if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) → (( Cℋ ⊆ Cℋ ∧ Cℋ ≠ ∅) ↔ (if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ⊆ Cℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ≠ ∅)))
9		ssid 4004	. . . . 5 ⊢ Cℋ ⊆ Cℋ
10		h0elch 30776	. . . . . 6 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
11	10	ne0ii 4337	. . . . 5 ⊢ Cℋ ≠ ∅
12	9, 11	pm3.2i 470	. . . 4 ⊢ ( Cℋ ⊆ Cℋ ∧ Cℋ ≠ ∅)
13	5, 8, 12	elimhyp 4593	. . 3 ⊢ (if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ⊆ Cℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ≠ ∅)
14	13	chintcli 30852	. 2 ⊢ ∩ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ∈ Cℋ
15	2, 14	dedth 4586	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ifcif 4528  ∩ cint 4950   C_ℋ cch 30450  0_ℋc0h 30456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193  ax-hilex 30520  ax-hfvadd 30521  ax-hvcom 30522  ax-hvass 30523  ax-hv0cl 30524  ax-hvaddid 30525  ax-hfvmul 30526  ax-hvmulid 30527  ax-hvmulass 30528  ax-hvdistr1 30529  ax-hvdistr2 30530  ax-hvmul0 30531  ax-hfi 30600  ax-his1 30603  ax-his2 30604  ax-his3 30605  ax-his4 30606

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-icc 13336  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-topgen 17394  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-lm 22954  df-haus 23040  df-grpo 30014  df-gid 30015  df-ginv 30016  df-gdiv 30017  df-ablo 30066  df-vc 30080  df-nv 30113  df-va 30116  df-ba 30117  df-sm 30118  df-0v 30119  df-vs 30120  df-nmcv 30121  df-ims 30122  df-hnorm 30489  df-hvsub 30492  df-hlim 30493  df-sh 30728  df-ch 30742  df-ch0 30774

This theorem is referenced by:  ococin  30929