Theorem chintcl 29259

Description: The intersection (infimum) of a nonempty subset of C_ℋ belongs to C_ℋ. Part of Theorem 3.13 of [Beran] p. 108. Also part of Definition 3.4-1 in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chintcl	⊢ ((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Cℋ )

Proof of Theorem chintcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inteq 4836	. . 3 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) → ∩ 𝐴 = ∩ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ))
2	1	eleq1d 2817	. 2 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) → (∩ 𝐴 ∈ Cℋ ↔ ∩ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ∈ Cℋ ))
3		sseq1 3900	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) → (𝐴 ⊆ Cℋ ↔ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ⊆ Cℋ ))
4		neeq1 2996	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ≠ ∅))
5	3, 4	anbi12d 634	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) → ((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ (if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ⊆ Cℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ≠ ∅)))
6		sseq1 3900	. . . . 5 ⊢ ( Cℋ = if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) → ( Cℋ ⊆ Cℋ ↔ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ⊆ Cℋ ))
7		neeq1 2996	. . . . 5 ⊢ ( Cℋ = if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) → ( Cℋ ≠ ∅ ↔ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ≠ ∅))
8	6, 7	anbi12d 634	. . . 4 ⊢ ( Cℋ = if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) → (( Cℋ ⊆ Cℋ ∧ Cℋ ≠ ∅) ↔ (if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ⊆ Cℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ≠ ∅)))
9		ssid 3897	. . . . 5 ⊢ Cℋ ⊆ Cℋ
10		h0elch 29182	. . . . . 6 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
11	10	ne0ii 4224	. . . . 5 ⊢ Cℋ ≠ ∅
12	9, 11	pm3.2i 474	. . . 4 ⊢ ( Cℋ ⊆ Cℋ ∧ Cℋ ≠ ∅)
13	5, 8, 12	elimhyp 4476	. . 3 ⊢ (if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ⊆ Cℋ ∧ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ≠ ∅)
14	13	chintcli 29258	. 2 ⊢ ∩ if((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅), 𝐴, Cℋ ) ∈ Cℋ
15	2, 14	dedth 4469	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ Cℋ ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∩ 𝐴 ∈ Cℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934   ⊆ wss 3841  ∅c0 4209  ifcif 4411  ∩ cint 4833   C_ℋ cch 28856  0_ℋc0h 28862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688  ax-hilex 28926  ax-hfvadd 28927  ax-hvcom 28928  ax-hvass 28929  ax-hv0cl 28930  ax-hvaddid 28931  ax-hfvmul 28932  ax-hvmulid 28933  ax-hvmulass 28934  ax-hvdistr1 28935  ax-hvdistr2 28936  ax-hvmul0 28937  ax-hfi 29006  ax-his1 29009  ax-his2 29010  ax-his3 29011  ax-his4 29012

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-icc 12821  df-seq 13454  df-exp 13515  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-topgen 16813  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-top 21638  df-topon 21655  df-bases 21690  df-lm 21973  df-haus 22059  df-grpo 28420  df-gid 28421  df-ginv 28422  df-gdiv 28423  df-ablo 28472  df-vc 28486  df-nv 28519  df-va 28522  df-ba 28523  df-sm 28524  df-0v 28525  df-vs 28526  df-nmcv 28527  df-ims 28528  df-hnorm 28895  df-hvsub 28898  df-hlim 28899  df-sh 29134  df-ch 29148  df-ch0 29180

This theorem is referenced by:  ococin  29335