HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chintcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chintcl 29026
Description: The intersection (infimum) of a nonempty subset of C belongs to C. Part of Theorem 3.13 of [Beran] p. 108. Also part of Definition 3.4-1 in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chintcl ((𝐴C𝐴 ≠ ∅) → 𝐴C )

Proof of Theorem chintcl
StepHypRef Expression
1 inteq 4877 . . 3 (𝐴 = if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) → 𝐴 = if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ))
21eleq1d 2902 . 2 (𝐴 = if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) → ( 𝐴C if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) ∈ C ))
3 sseq1 3996 . . . . 5 (𝐴 = if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) → (𝐴C ↔ if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) ⊆ C ))
4 neeq1 3083 . . . . 5 (𝐴 = if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) ≠ ∅))
53, 4anbi12d 630 . . . 4 (𝐴 = if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) → ((𝐴C𝐴 ≠ ∅) ↔ (if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) ⊆ C ∧ if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) ≠ ∅)))
6 sseq1 3996 . . . . 5 ( C = if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) → ( CC ↔ if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) ⊆ C ))
7 neeq1 3083 . . . . 5 ( C = if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) → ( C ≠ ∅ ↔ if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) ≠ ∅))
86, 7anbi12d 630 . . . 4 ( C = if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) → (( CCC ≠ ∅) ↔ (if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) ⊆ C ∧ if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) ≠ ∅)))
9 ssid 3993 . . . . 5 CC
10 h0elch 28949 . . . . . 6 0C
1110ne0ii 4307 . . . . 5 C ≠ ∅
129, 11pm3.2i 471 . . . 4 ( CCC ≠ ∅)
135, 8, 12elimhyp 4533 . . 3 (if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) ⊆ C ∧ if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) ≠ ∅)
1413chintcli 29025 . 2 if((𝐴C𝐴 ≠ ∅), 𝐴, C ) ∈ C
152, 14dedth 4526 1 ((𝐴C𝐴 ≠ ∅) → 𝐴C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wss 3940  c0 4295  ifcif 4470   cint 4874   C cch 28623  0c0h 28629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28693  ax-hfvadd 28694  ax-hvcom 28695  ax-hvass 28696  ax-hv0cl 28697  ax-hvaddid 28698  ax-hfvmul 28699  ax-hvmulid 28700  ax-hvmulass 28701  ax-hvdistr1 28702  ax-hvdistr2 28703  ax-hvmul0 28704  ax-hfi 28773  ax-his1 28776  ax-his2 28777  ax-his3 28778  ax-his4 28779
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-sup 8895  df-inf 8896  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-icc 12735  df-seq 13360  df-exp 13420  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-topgen 16707  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-top 21421  df-topon 21438  df-bases 21473  df-lm 21756  df-haus 21842  df-grpo 28187  df-gid 28188  df-ginv 28189  df-gdiv 28190  df-ablo 28239  df-vc 28253  df-nv 28286  df-va 28289  df-ba 28290  df-sm 28291  df-0v 28292  df-vs 28293  df-nmcv 28294  df-ims 28295  df-hnorm 28662  df-hvsub 28665  df-hlim 28666  df-sh 28901  df-ch 28915  df-ch0 28947
This theorem is referenced by:  ococin  29102
  Copyright terms: Public domain W3C validator