Theorem cjf 15011

Description: Domain and codomain of the conjugate function. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cjf	⊢ ∗:ℂ⟶ℂ

Proof of Theorem cjf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cj 15006	. 2 ⊢ ∗ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (℩𝑦 ∈ ℂ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)))
2		cju 12121	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ∃!𝑦 ∈ ℂ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ))
3		riotacl 7320	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ ℂ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ) → (℩𝑦 ∈ ℂ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (℩𝑦 ∈ ℂ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ ∧ (i · (𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ)
5	1, 4	fmpti 7045	1 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ∃!wreu 3344  ⟶wf 6477  ℩crio 7302  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  ici 11008   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344  ∗ccj 15003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-cj 15006

This theorem is referenced by:  cjcl  15012  cjcn2  15507  climcj  15512  rlimcj  15517  fsumcj  15717  cnfldcj  21300  cnfldfun  21305  cnfldfunALT  21306  cnfldcjOLD  21313  cnfldfunOLD  21318  cnfldfunALTOLD  21319  cjcncf  24824  dvcjbr  25880  dvcj  25881  dvfre  25882  dvmptcj  25899  plycjlem  26209  coecj  26211  coecjOLD  26213  dchrinv  27199  cjex  42290  cjnpoly  46928