Theorem cncfshiftioo 43433

Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is an open interval that is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfshiftioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.c	⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
cncfshiftioo.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.d	⊢ 𝐷 = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
cncfshiftioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶–cn→ℂ))
cncfshiftioo.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))

Assertion

Ref	Expression
cncfshiftioo	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐷–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfshiftioo

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioosscn 13141	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
3		cncfshiftioo.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11003	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
5		eqeq1 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
6	5	rexbidv 3226	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
7		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
8	7	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
9	8	cbvrexvw 3384	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
10	6, 9	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
11	10	cbvrabv 3426	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
12		cncfshiftioo.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶–cn→ℂ))
13		cncfshiftioo.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
14	13	oveq1i 7285	. . . 4 ⊢ (𝐶–cn→ℂ) = ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)
15	12, 14	eleqtrdi 2849	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
17	2, 4, 11, 15, 16	cncfshift 43415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))) ∈ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
18		cncfshiftioo.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
19		cncfshiftioo.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
20		cncfshiftioo.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21		cncfshiftioo.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
22	20, 21, 3	iooshift 43060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
23	19, 22	eqtrid 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
24	23	mpteq1d 5169	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))))
25	18, 24	eqtrid 2790	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))))
26	23	oveq1d 7290	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷–cn→ℂ) = ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
27	17, 25, 26	3eltr4d 2854	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐷–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065  {crab 3068   ⊆ wss 3887   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870   + caddc 10874   − cmin 11205  (,)cioo 13079  –cn→ccncf 24039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-ioo 13083  df-cncf 24041

This theorem is referenced by:  fourierdlem90  43737