Theorem cncfshiftioo 47117

Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is an open interval that is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfshiftioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.c	⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
cncfshiftioo.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.d	⊢ 𝐷 = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
cncfshiftioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶–cn→ℂ))
cncfshiftioo.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))

Assertion

Ref	Expression
cncfshiftioo	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐷–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfshiftioo

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioosscn 13569	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
3		cncfshiftioo.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11367	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
5		eqeq1 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
6	5	rexbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
7		oveq1 7453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
8	7	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
9	8	cbvrexvw 3245	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
10	6, 9	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
11	10	cbvrabv 3426	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
12		cncfshiftioo.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶–cn→ℂ))
13		cncfshiftioo.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
14	13	oveq1i 7456	. . . 4 ⊢ (𝐶–cn→ℂ) = ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)
15	12, 14	eleqtrdi 2874	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
17	2, 4, 11, 15, 16	cncfshift 47099	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))) ∈ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
18		cncfshiftioo.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
19		cncfshiftioo.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
20		cncfshiftioo.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21		cncfshiftioo.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
22	20, 21, 3	iooshift 46749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
23	19, 22	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
24	23	mpteq1d 5199	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))))
25	18, 24	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))))
26	23	oveq1d 7461	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷–cn→ℂ) = ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
27	17, 25, 26	3eltr4d 2879	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐷–cn→ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {crab 3416   ⊆ wss 3900   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  ℝcr 11229   + caddc 11233   − cmin 11571  (,)cioo 13506  –cn→ccncf 25230

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-ioo 13510  df-cncf 25232

This theorem is used by:  fourierdlem90  47421