Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfshiftioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfshiftioo 44223
Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is an open interval that is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfshiftioo.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.c 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
cncfshiftioo.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.d 𝐷 = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
cncfshiftioo.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶cn→ℂ))
cncfshiftioo.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
Assertion
Ref Expression
cncfshiftioo (𝜑𝐺 ∈ (𝐷cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfshiftioo
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioosscn 13335 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
3 cncfshiftioo.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
43recnd 11191 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5 eqeq1 2737 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
65rexbidv 3172 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
7 oveq1 7368 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
87eqeq2d 2744 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
98cbvrexvw 3225 . . . . 5 (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
106, 9bitrdi 287 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
1110cbvrabv 3416 . . 3 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
12 cncfshiftioo.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶cn→ℂ))
13 cncfshiftioo.c . . . . 5 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
1413oveq1i 7371 . . . 4 (𝐶cn→ℂ) = ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)
1512, 14eleqtrdi 2844 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16 eqid 2733 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
172, 4, 11, 15, 16cncfshift 44205 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) ∈ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
18 cncfshiftioo.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
19 cncfshiftioo.d . . . . 5 𝐷 = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
20 cncfshiftioo.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21 cncfshiftioo.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2220, 21, 3iooshift 43850 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
2319, 22eqtrid 2785 . . . 4 (𝜑𝐷 = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
2423mpteq1d 5204 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))))
2518, 24eqtrid 2785 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))))
2623oveq1d 7376 . 2 (𝜑 → (𝐷cn→ℂ) = ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
2717, 25, 263eltr4d 2849 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝐷cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070  {crab 3406  wss 3914  cmpt 5192  cfv 6500  (class class class)co 7361  cc 11057  cr 11058   + caddc 11062  cmin 11393  (,)cioo 13273  cnccncf 24262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-ioo 13277  df-cncf 24264
This theorem is referenced by:  fourierdlem90  44527
  Copyright terms: Public domain W3C validator