Theorem cncfshiftioo 46132

Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is an open interval that is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfshiftioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.c	⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
cncfshiftioo.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.d	⊢ 𝐷 = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
cncfshiftioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶–cn→ℂ))
cncfshiftioo.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))

Assertion

Ref	Expression
cncfshiftioo	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐷–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfshiftioo

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioosscn 13324	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
3		cncfshiftioo.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11160	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
5		eqeq1 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
6	5	rexbidv 3160	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
7		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
8	7	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
9	8	cbvrexvw 3215	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
10	6, 9	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
11	10	cbvrabv 3409	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
12		cncfshiftioo.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶–cn→ℂ))
13		cncfshiftioo.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
14	13	oveq1i 7368	. . . 4 ⊢ (𝐶–cn→ℂ) = ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)
15	12, 14	eleqtrdi 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
17	2, 4, 11, 15, 16	cncfshift 46114	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))) ∈ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
18		cncfshiftioo.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
19		cncfshiftioo.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
20		cncfshiftioo.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21		cncfshiftioo.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
22	20, 21, 3	iooshift 45764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
23	19, 22	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
24	23	mpteq1d 5188	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))))
25	18, 24	eqtrid 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))))
26	23	oveq1d 7373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷–cn→ℂ) = ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
27	17, 25, 26	3eltr4d 2851	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐷–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  {crab 3399   ⊆ wss 3901   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025   + caddc 11029   − cmin 11364  (,)cioo 13261  –cn→ccncf 24825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-ioo 13265  df-cncf 24827

This theorem is referenced by:  fourierdlem90  46436