Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfshiftioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfshiftioo 45343
Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is an open interval that is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfshiftioo.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.c 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
cncfshiftioo.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.d 𝐷 = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
cncfshiftioo.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶cn→ℂ))
cncfshiftioo.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
Assertion
Ref Expression
cncfshiftioo (𝜑𝐺 ∈ (𝐷cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfshiftioo
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioosscn 13418 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
3 cncfshiftioo.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
43recnd 11272 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5 eqeq1 2729 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
65rexbidv 3169 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
7 oveq1 7423 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
87eqeq2d 2736 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
98cbvrexvw 3226 . . . . 5 (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
106, 9bitrdi 286 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
1110cbvrabv 3430 . . 3 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
12 cncfshiftioo.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶cn→ℂ))
13 cncfshiftioo.c . . . . 5 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
1413oveq1i 7426 . . . 4 (𝐶cn→ℂ) = ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)
1512, 14eleqtrdi 2835 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16 eqid 2725 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
172, 4, 11, 15, 16cncfshift 45325 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) ∈ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
18 cncfshiftioo.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
19 cncfshiftioo.d . . . . 5 𝐷 = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
20 cncfshiftioo.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21 cncfshiftioo.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2220, 21, 3iooshift 44970 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
2319, 22eqtrid 2777 . . . 4 (𝜑𝐷 = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
2423mpteq1d 5238 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))))
2518, 24eqtrid 2777 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))))
2623oveq1d 7431 . 2 (𝜑 → (𝐷cn→ℂ) = ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
2717, 25, 263eltr4d 2840 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝐷cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3060  {crab 3419  wss 3939  cmpt 5226  cfv 6543  (class class class)co 7416  cc 11136  cr 11137   + caddc 11141  cmin 11474  (,)cioo 13356  cnccncf 24814
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-ioo 13360  df-cncf 24816
This theorem is referenced by:  fourierdlem90  45647
  Copyright terms: Public domain W3C validator