Theorem cncfshiftioo 46586

Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is an open interval that is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfshiftioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.c	⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
cncfshiftioo.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.d	⊢ 𝐷 = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
cncfshiftioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶–cn→ℂ))
cncfshiftioo.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))

Assertion

Ref	Expression
cncfshiftioo	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐷–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfshiftioo

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioosscn 13436	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
3		cncfshiftioo.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11238	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
5		eqeq1 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
6	5	rexbidv 3189	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
7		oveq1 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
8	7	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
9	8	cbvrexvw 3244	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
10	6, 9	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
11	10	cbvrabv 3426	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
12		cncfshiftioo.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶–cn→ℂ))
13		cncfshiftioo.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
14	13	oveq1i 7422	. . . 4 ⊢ (𝐶–cn→ℂ) = ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)
15	12, 14	eleqtrdi 2873	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
17	2, 4, 11, 15, 16	cncfshift 46568	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))) ∈ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
18		cncfshiftioo.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
19		cncfshiftioo.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
20		cncfshiftioo.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21		cncfshiftioo.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
22	20, 21, 3	iooshift 46218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
23	19, 22	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
24	23	mpteq1d 5202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))))
25	18, 24	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))))
26	23	oveq1d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷–cn→ℂ) = ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
27	17, 25, 26	3eltr4d 2878	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐷–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  {crab 3416   ⊆ wss 3906   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100   + caddc 11104   − cmin 11442  (,)cioo 13373  –cn→ccncf 25016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-ioo 13377  df-cncf 25018

This theorem is referenced by:  fourierdlem90  46890