Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfshiftioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfshiftioo 45907
Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is an open interval that is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfshiftioo.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.c 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
cncfshiftioo.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.d 𝐷 = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
cncfshiftioo.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶cn→ℂ))
cncfshiftioo.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
Assertion
Ref Expression
cncfshiftioo (𝜑𝐺 ∈ (𝐷cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfshiftioo
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioosscn 13449 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
3 cncfshiftioo.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
43recnd 11289 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
5 eqeq1 2741 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
65rexbidv 3179 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
7 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
87eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
98cbvrexvw 3238 . . . . 5 (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
106, 9bitrdi 287 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
1110cbvrabv 3447 . . 3 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
12 cncfshiftioo.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶cn→ℂ))
13 cncfshiftioo.c . . . . 5 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
1413oveq1i 7441 . . . 4 (𝐶cn→ℂ) = ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)
1512, 14eleqtrdi 2851 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16 eqid 2737 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
172, 4, 11, 15, 16cncfshift 45889 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) ∈ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
18 cncfshiftioo.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
19 cncfshiftioo.d . . . . 5 𝐷 = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
20 cncfshiftioo.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21 cncfshiftioo.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2220, 21, 3iooshift 45535 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
2319, 22eqtrid 2789 . . . 4 (𝜑𝐷 = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
2423mpteq1d 5237 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))))
2518, 24eqtrid 2789 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))))
2623oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → (𝐷cn→ℂ) = ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
2717, 25, 263eltr4d 2856 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝐷cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  {crab 3436  wss 3951  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154   + caddc 11158  cmin 11492  (,)cioo 13387  cnccncf 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-ioo 13391  df-cncf 24904
This theorem is referenced by:  fourierdlem90  46211
  Copyright terms: Public domain W3C validator