Theorem cncfshiftioo 45848

Description: A periodic continuous function stays continuous if the domain is an open interval that is shifted a period. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfshiftioo.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.c	⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
cncfshiftioo.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
cncfshiftioo.d	⊢ 𝐷 = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
cncfshiftioo.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶–cn→ℂ))
cncfshiftioo.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))

Assertion

Ref	Expression
cncfshiftioo	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐷–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cncfshiftioo

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioosscn 13446	. . . 4 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
3		cncfshiftioo.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
4	3	recnd 11287	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
5		eqeq1 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
6	5	rexbidv 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
7		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
8	7	eqeq2d 2746	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
9	8	cbvrexvw 3236	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
10	6, 9	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
11	10	cbvrabv 3444	. . 3 ⊢ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
12		cncfshiftioo.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶–cn→ℂ))
13		cncfshiftioo.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝐴(,)𝐵)
14	13	oveq1i 7441	. . . 4 ⊢ (𝐶–cn→ℂ) = ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)
15	12, 14	eleqtrdi 2849	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
16		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
17	2, 4, 11, 15, 16	cncfshift 45830	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))) ∈ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
18		cncfshiftioo.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇)))
19		cncfshiftioo.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))
20		cncfshiftioo.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
21		cncfshiftioo.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
22	20, 21, 3	iooshift 45475	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
23	19, 22	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
24	23	mpteq1d 5243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))) = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))))
25	18, 24	eqtrid 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑥 − 𝑇))))
26	23	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷–cn→ℂ) = ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
27	17, 25, 26	3eltr4d 2854	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐷–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  {crab 3433   ⊆ wss 3963   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152   + caddc 11156   − cmin 11490  (,)cioo 13384  –cn→ccncf 24916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-ioo 13388  df-cncf 24918

This theorem is referenced by:  fourierdlem90  46152